中考数学最密试题及

1、中考数学最新最密试题中考数学最新最密试题 第一章在函数图象中，点的存 在性问题 1.11.1因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例 1 2013 年上海市中考第 24 题 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 例 6 2008 年苏州市中考第 29 题 1.21.2因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第25 题 例 2 2012 年扬州市中考第 27 题 例 3 2012 年临沂市中

2、考第 26 题 例 4 2011 年湖州市中考第 24 题 例 5 2011 年盐城市中考第 28 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年江西省中考第 25 题 1.31.3因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013 年山西省中考第 26 题 例 2 2012 年广州市中考第 24 题 例 3 2012 年杭州市中考第 22 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 1.41.4因动点产生的平行四边形

3、问题因动点产生的平行四边形问题 例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 2 2012 年福州市中考第 21 题 例 3 2012 年烟台市中考第 26 题 例 4 2011 年上海市中考第 24 题 例 5 2011 年江西省中考第 24 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年江西省中考第 24 题 1.51.5因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题 例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 7 20

4、09 年广州市中考第 25 题 1.61.6因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 3 2012 年河南省中考第 23 题 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.71.7因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题 1.81.

5、8因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例 1 2013 年天津市中考第 25 题 例 2 2012 年滨州市中考第 24 题 例 3 2012 年山西省中考第 26 题 第二章图形运动中的函数关系 问题 2.12.1由比例线段产生的函数关系问题由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2013 年宁波市中考第 26 题 例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2012 年连云港市中考第 26 题 例 4 2010 年上海市中考第 25 题 2.22.2由面积公式产生的函数关系问题由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2

6、012 年广东省中考第 22 题 例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题 例 5 2011 年山西省中考第 26 题 例 6 2011 年重庆市中考第 26 题 第三章 图形运动中的计算说理问 题 3.13.1 代数计算及通过代数计算进行说理问代数计算及通过代数计算进行说理问 题题 例 1 2013 年南京市中考第 26 题 例 2 2013 年南昌市中考第 25 题 3.23.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 例 2 2013 年江西省中考第 24 题

7、 第一章函数图象中点的存在性 问题 1.11.1因动点产生的相似三角形问因动点产生的相似三角形问 题题 1.61.6因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例例 1 20131 2013 年苏州市中考第年苏州市中考第 2929 题题 如图 1，已知抛物线y 1 2 x2bxc（b、c 是常数， 且 c0）与x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结 果均用含 c 的代数式表示） ； （2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于 点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(

8、2,0)，当 C、D、E 三点 在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上 的一动点，连结 PB、PC设PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围； 若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有 _个 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 苏州 29” ，拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到， EHA 与COB 保持相 似 点击按钮 “C、 D、 E 三点共线” ， 此时EHDCOD 拖 动点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有11 个 请打开超级画板文件名“13 苏州 29” ，拖动点 C

9、 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到， EHA 与COB 保持相 似 点击按钮 “C、 D、 E 三点共线” ， 此时EHDCOD 拖 动点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有11 个 思路点拨思路点拨 1 用 c 表示 b 以后， 把抛物线的一般式改写为两点式， 会发现 OB2OC 2当 C、D、E 三点共线时，EHACOB，EHD COD 3求PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算， P 在 BC 上方或下方 4求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中， 面积的正整数值， 再数一数个数 注 意排除点 A、C、B 三个时刻的值 满分

10、解答满分解答 （1）bc 1 2 ，点 B 的横坐标为2c （2）由y 1 2 x2(c 1 2 )xc 1 2 (x1)(x2c)， 设 E(x, 1 2 (x1)(x2c) 过点 E 作 EHx 轴于 H 由于 OB2OC，当 AE/BC 时，AH2EH 所以x1 (x1)(x2c)因此x 12c所以 E(12c,1c) 当 C、D、E 三点在同一直线上时， EH DH CO DO 所 以 1cc 2c1 2 整理，得 2c23c20解得 c2 或c 1 2 （舍 去） 所以抛物线的解析式为y 1 2 x2 3 2 x2 （3）当 P 在 BC 下方时，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC

11、于 F 直线 BC 的解析式为y 1 2 x2 设P(m, 1 m2 3 22 m2)， 那 么F(m, 1 2 m2)， FP 1 2 m22m 所以S PBC S PBF S PCF 1 FP(x 2 2 B x C ) 2FP m24m (m2) 4 因此当 P 在 BC 下方时，PBC 的最大值为 4 当 P 在 BC 上方时，因为 SABC5，所以 SPBC 5 综上所述，0S5 若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共 有 11 个 考点伸展考点伸展 点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中，PBC 的 面积为整数，依次为（5） ，4，3，2，1， （0） ，

12、1，2，3， 4，3，2，1， （0） 当 P 在 BC 下方， S4 时， 点 P 在 BC 的中点的正下方， 一象限内的抛物线上运动， 可以体验到， 当四边形 PBAB 是等腰梯形时， 四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 思路点拨思路点拨 F 是 BC 的中点 例例 2 2012 2 2012 年菏泽市中考第年菏泽市中考第 2121 题题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其 顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时 针旋转 90，得到三角形 ABO （1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析 式； （2）设点 P

13、是第一象限内抛物线上的一个动点，是 否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB 是哪种 形状的四边形？并写出它的两条性质 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 菏泽 21” ，拖动点 P 在第 一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形 PBAB 是等腰梯形时，四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21” ，拖动点 P 在第 1四边形PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，可 以转化为四边形 PBOB 的

14、面积是 ABO 面积的 3 倍 2联结 PO，四边形 PBOB 可以分割为两个三角形 3 过点向 x 轴作垂线， 四边形 PBOB 也可以分割为 一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答满分解答 （1） AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90， 点 A、 B 的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2) 因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)、B(2, 0)，设解析 式为 ya(x1)(x2)， 代入 B(0, 2)，得 a1 所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2) x2 x2 （2）SABO1 如果 S 四边形PBAB4 SABO4，那么S四边形PBOB3 S ABO3 如图 2，作 PDOB

15、，垂足为 D 设点 P 的坐标为 (x，x2x2) S 1111 梯形PBOD 2 DO(BO PD) 2 x(2 x2 x2) 2 x3 2 S 1 DBPD 1 (2 x)(x2 x 2) 1 x3 3 2 PDB 2222 x 2 所以S 四边形PBAD S 梯形PBOD S PDB x22x+2 解方程x22x23，得 x1x21 所以点 P 的坐标为(1，2) 图 2图 3 图 4 （3）如图3，四边形PBAB 是等腰梯形，它的性质 有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个 内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底 中点的直线 考点伸展考点伸展 第（2）题求四边形 P

16、BOB 的面积，也可以如图 4 那样分割图形，这样运算过程更简单 S 11 PBO 2 BOx P 2 2x x 11 BO y P 2(x2 x 2) x2 x 2 22 所以S 四边形PBAD S PBO S PBO x22x+2 S PBO 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得 到点 P： 作AOB关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点 E 的坐标为(1，2) 而矩形 EBOD 与AOB、BOP 是等底等高的，所以 图 1 四边形 EBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍因此点 E 就 是要探求的点 P 例例 3 2012 3 2012 年河南省中考第年河南省中考第 2323 题

17、题 如图 1，在平面直角坐标系中， 直线y 1 2 x1与抛物 线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点A 在 x 轴上，点 B 的 纵坐标为 3 点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点 （不 与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C， 作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长， 并求出线段 PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否 存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为910？ 若存在，直接写出 m 的值；若不存在

18、，请说明理由 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 河南 23” ，拖动点 P 在 直线 AB 下方的抛物线上运动，可以体验到，PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当 C 是 AB 的中点时，PD 达到最大值观察面积比的度量值， 可以 体验到，左右两个三角形的面积比可以是 910，也可 以是 109 思路点拨思路点拨 1第（1）题由于 CP/y 轴，把ACP 转化为它的 同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经 做好了铺垫 3PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面 积比等于对应高 DN 与 BM 的比 4两个三角形的面积比为910，要分

19、两种情况讨 论 满分解答 （1）设直线y 1 2 x1与 y 轴交于点 E，那么 A( 2,0)，B(4,3)，E(0,1) 在 RtAEO 中，OA2，OE1，所以AE 5所 以sinAEO 2 5 5 因 为PC/EO ， 所 以 ACP AEO 因 此 sinACP 2 5 5 将 A(2,0)、B(4,3)分别代入 yax2bx3，得 4a2b3 0, 4b3 3. 16a 解得a 1 2 ，b 1 2 （2）由P(m, 111 2 m2 2 m3)，C(m, 2 m1)， 得PC (1 2 m1)( 1 2 m2 1 2 m3) 1 2 m2m4 所以 PD PCsinACP 2 5

20、2 51 5 PC 5 ( 2 m2m 4) 5 5 (m 所以 PD 的最大值为 9 5 5 （3）当 SPCDSPCB910 时，m 当 SPCDSPCB109 时，m 5 ； 2 m (x x 0)交于点 B(2， 1) 过点P(p, p1)(p1)作 x 轴的平行 mm 线分别交曲线y (x0)和y (x0)于 M、N 两 xx 点 （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2） 若点 P 在直线 y2 上， 求证： PMBPNA； （3）是否存在实数 p，使得 SAMN4SAMP？若存 在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明 理由 如图 1，直线 l 经过点 A(1，

21、0)，且与双曲线y 32 9 图 2 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是：PCD 与PCB 是同底边 PC 的 两个三角形，面积比等于对应高DN 与 BM 的比 而 DN PDcosPDN PDcosACP 52 51 2 1 (m m4) (m2)(m4) 5525 图 1 ， BM4m 当S PCD S PCB 9 10 195 (m2)(m4) (4m)解得m 2510 当S PCD S PCB 10 9 11032 (m2)(m4) (4m)解得m 959 时 ， 动感体验动感体验 时 ， 请打开几何画板文件名“11 南通 28” ，拖动点 P 在 射线 AB 上运动，可以体验到，当

22、直线MN 经过（0，2） 点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形； AMN 和 AMP 是两个同高的三角形， MN4MP 存在两种情况 例例 4 2011 4 2011 年南通市中考第年南通市中考第 2828 题题 思路点拨思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把 SAMN4SAMP转化为 MN4MP， 按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论 满分解答满分解答 m 上， 所以m2 设 x 直线 l 的解析式为y kxb，代入点 A(1，0)和点 B(2， k b 0, k 1, 1)，得解得所以直线 l 的解析式为 2k b 1.b 1. y x1 （

23、2）由点P(p, p1)(p1)的坐标可知，点 P 在直 线y x1上 x 轴的上方如图 2，当 y2 时，点 P 的 坐标为(3，2)此时点 M 的坐标为(1，2)，点 N 的坐标 为(1，2) 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可 知PMB 为等腰直角三角形 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系， 可知PNA 为等腰直角三角形 所以PMBPNA （1） 因为点B(2， 1)在双曲线y 图 2图 3 图 4 （3）AMN 和AMP 是两个同高的三角形，底边 MN 和 MP 在同一条直线上 当 SAMN4SAMP时，MN4MP 如图 1，四边形O

24、ABC 是矩形，点A、C 的坐标分别 如图 3，当 M 在 NP 上时，xMxN4(xPxM)因 为(3,0)，(0,1)点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 1 132 2 2 1 此 或 () 4(x1) 解 得 x 2 不重合） ，过点 D 作直线y xb交折线 OAB 于点 x x x 1 131 13 （此时点P在x轴下方， 舍去） 此时p 22 如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时，xMxN4(xM 152 2 2 解得xP)因此或 x () 4(x1) 2x xx x x 1515 （此时点 P 在 x 轴下方， 舍去） 此时p 22 例例 5 20105 2010

25、 年广州市中考第年广州市中考第 2525 题题 2 E （1） 记ODE 的面积为 S， 求 S 与 b 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直 线 DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变 化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理 由 考点伸展考点伸展 在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，AMN90，此时点M 的坐标为 （1，2） ，点 P 的坐标为（3，2） 情形二，如图 6，MAN90，此时斜边 MN 上的 中线等于斜边的一半 不存在ANM90

26、的情况 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 广州 25” ，拖动点D 由 C 向 B 运动，观察 S 随 b 变化的函数图象，可以体验到， E 在 OA 上时，S 随 b 的增大而增大；E 在 AB 上时，S 随 b 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 D 由 C 向 B 运动，可以观察到， E 在 OA 上时，重叠部分的形 状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换 图 5图 6 思路点拨思路点拨 1数形结合， 用 b 表示线段 OE、CD、AE、BE 的长 2求ODE 的面积，要分两种情况当E 在 OA 上 时，OE 边对应的高等于 OC；当 E 在 AB

27、 边上时，要利用 割补法求ODE 的面积 3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边 形 4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般 用勾股定理 满分解答满分解答 (1)如图 2，当 E 在 OA 上时，由y 1 xb可 2 知，点 E 的坐标为 (2b,0)，OE2b此时 SS ODE 1 2 OEOC 1 2 2b1 b 如图 3， 当 E 在 AB 上时， 把 y1 代入y 1 2 xb 可知， 点 D 的坐标为(2b2,1)， CD2b2， BD52b 把 x3 代入y 1 2 xb可知，点 E 的坐标为(3,b 3 2 )， AEb 35 2 ，BE 2 b此时 SS 矩形 OA

28、BCSOAE SBDE SOCD 3 1 2 3(b 3 2 ) 1 2 ( 51 2 b)(52b) 2 1(2b2) b2 5 2 b (2)如图 4，因为四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 关于直 线 DE 对称，因此 DMDN，那么重叠部分是邻边相等的 平行四边形，即四边形 DMEN 是菱形 作 DHOA，垂足为 H由于 CD2b2，OE2b， 所以 EH2 设菱形 DMEN 的边长为 m在 RtDEH 中，DH1， NH2m，DNm，所 以 12(2m)2m2解得 m 5 4 所以重叠部分菱形 DMEN 的面积为 5 4 图 2图 3 图 4 考点伸展考点伸展 把本题中的矩形

29、OABC 绕着它的对称中心旋转，如果 重叠部分的形状是菱形（如图 5） ，那么这个菱形的最小面 积为 1，如图 6 所示；最大面积为 5 3 ，如图 7 所示 图 5图 6 图 7 例例 6 2010 6 2010 年扬州市中考第年扬州市中考第 2828 题题 如图 1，在ABC 中，C90，AC3，BC4， CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直 线与ABC 的直角边相交于点 F，设AEx，AEF 的面 积为 y （1）求线段 AD 的长； （2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， 求y与x的函数关系式 （写出自变量x的取值范围） ； 当 x 取何

30、值时，y 有最大值？并求出最大值 （3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ， 点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x 的值；若 不存在直线 EF，请说明理由 图 1备用图 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 “10 扬州 28” ， 拖动点 E 在 AB 上运动， 从 y 随 x 变化的图象可以体验到， 当 F 在 AC 上时， y 随 x 的增大而增大；当 F 在 BC 上时，y 随 x 变化的图象 是开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的 顶点双击按钮“第（ 3）题” ，我们已

31、经设定好了EF 平分 ABC 的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到， “面积 AEF”的值可以等于 3，也就是说，存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分双击按钮“第（ 2）题”可以切 换。 思路点拨思路点拨 1第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨 论 x 的临界点 2第（2）题要按照点 F 的位置分两种情况讨论 3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列 关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断 满分解答满分解答 (1) 在 RtABC 中， AC3，BC4，所以AB5在 RtACD 中，AD ACcos A 3 39 5 5 (2) 如图 2，当 F 在 AC 上

32、时，0 x 9 5 在 Rt AEF中，EF AE tan A 4 3 x 所以 y 1 2 AEEF 2 3 x2 如图 3，当 F 在 BC 上时， 9 5 x 5在 RtBEF 中， EF BE tan B 3 4 (5 x) 所以 y 1 2 AEEF 3 8 x2 15 8 x 当0 x 9254 5 时，y 3 x2的最大值为 25 ； 当 9 5 x 5时， y 3 x2 15 8 x 3 8(x 5 2 )2 7575 8 32 的最大值为 32 因此，当x 5 2 时，y 的最大值为 75 32 图 2图 3 图 4 (3)ABC 的周长等于 12，面积等于 6 先假设 EF

33、 平分ABC 的周长，那么 AEx，AF6 x ， x的 变 化 范 围 为3 x 5 因 此 S 1 2 AF sin A 1 2 x(6 x) 4 5 2 AEF AE 5 x(x6) 解方程 2 5 x(x6) 3，得x 3 1 2 6 因为x 3 1 2 6在 3x5 范围内（如图4） ，因 此存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分 考点伸展考点伸展 如果把第（3）题的条件“点 F 在直角边 AC 上”改 为“点 F 在直角边 BC 上” ，那么就不存在直线 EF 将 ABC 的周长和面积同时平分 先假设 EF 平分ABC 的周长，那么 AEx，BE5 x，BFx1 因此 S

34、1 2 BF sin B 1 2 (5 x)(x1) 3 5 3 BEF BE 10 (x24x 解 方 程 3 10 (x24x5) 3 整 理 ， 得 x24x5 0此方程无实数根 例例 7 20097 2009 年兰州市中考第年兰州市中考第 2929 题题 如图 1，正方形 ABCD 中，点A、B 的坐标分别为（0， 10） ， （8，4） ，点C 在第一象限动点P 在正方形 ABCD 的 边上，从点 A 出发沿 ABCD 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴上运动，当P 点到 D 点时，两点同时停 止运动，设运动的时间为t 秒 （1）当P 点在边 AB 上运动时，点Q 的横坐标

35、x（长 度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图 2 所示， 请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度； （2）求正方形边长及顶点C 的坐标； （3）在（1）中当 t 为何值时，OPQ 的面积最大， 并求此时 P 点的坐标 （4）如果点 P、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿 A BCD 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等，若能，写出 所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由 图 1图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“09 兰州 29” ，拖动点 Q 在 x 轴上运动，可以体验到，点 Q 运动的起点为（1，0） ； 当 P 在 AB 上时，OPQ 的面积随 x 变

36、化的图象是开口 向下的抛物线的一部分；观察点 P 与 OQ 的垂直平分线 的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ双击 按钮“POPQ，P 在 AB 上”和“ POPQ，P 在 CD 上” ， 可以准确显示 POPQ 思路点拨思路点拨 1过点B、C、P 向 x 轴、y 轴作垂线段，就会构造 出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线 段，用含有 t 的式子表示这些线段是解题的基础 2求点C 的坐标，为求直线BC、CD 的解析式作铺 垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备 3不论点 P 在 AB、BC 还是 CD 上，点 P 所在的直 角三角形的三边比总是345，灵活运用方便解题

37、4 根据二次函数的解析式求函数的最值时， 要注意 定义域与对称轴的位置关系 满分解答满分解答 （1）Q(1,0)，点 P 每秒钟运动 1 个单位长度 （2）过点B 作 BEy 轴于点 E，过点C 作 x 轴的垂 线交直线 BE 于 F，交 x 轴于 H 在 RtABE 中，BE8，AE1046，所以 AB 10由ABEBCF，知 BFAE4，CFBE6所以 EF8614， CH8412 因此点 C 的坐标为 （14， 12） （3）过点 P 作 PMy 轴于 M，PNx轴于 N因 为 PM/BE， 所以 APAMMP AB AF BF ， 即 tAMMP 10 6 8 因 此AM 34 5 t

38、, PM 5 t于是 PN OM 10 3 5 t, ON PM 4 5 t 设 OPQ的 面 积 为S( 平 方 单 位 ) ， 那 么 S 113 2 OQPN 2 (1t)(10 5 t) 3 10 t2 47 10 t 5，定义 域为 0t10 因为抛物线开口向下，对称轴为直线t 47 6 ，所以 当t 4794 6 时，OPQ 的面积最大此时P 的坐标为( 15 ， 53 10 ) （4）当t 5 3 或t 295 13 时,OP 与 PQ 相等 图 3图 4 考点伸展考点伸展 附加题的一般思路是： 点 Q 的横坐标是点 P 的横坐标 的 2 倍先求直线 AB、BC、CD 的解析式，

39、根据直线的解 析式设点 P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程 PO PQ 附加题也可以这样解： 如图 4，在 RtAMP 中，设 AM3m，MP4 m， AP5m，那么 OQ8m根据 AP、OQ 的长列方程组 5m t, 解得 5 8m 1t, t 3 如图 5，在 RtGMP 中，设 GM3m，MP4 m， GP5m，那么 OQ8m在 RtGAD 中，GD7.5根据 GP、OQ 的长列方程组 5m 37.5t, 295 8m 1t, 解得t 13 如图 6，设MP4m，那么OQ8m根据BP、OQ 的长列方程组 5m10 t 10, 解得 8m 1t, t 5 3 ， 但这时点 P 不 在

40、 BC 上 图 5图 6 1.71.7因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例例 1 2013 1 2013 年上海市杨浦区中考模年上海市杨浦区中考模 拟第拟第 2525 题题 如图 1，已知O 的半径长为 3，点 A 是O 上一定 点，点 P 为O 上不同于点 A 的动点 （1）当tan A 1 2 时，求 AP 的长； （2）如果Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如 图 2） ，设 APx，QPy，求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当tan A 4 3 时（如图 3） ， 存在M 与O 相内切，同时与Q 相外切，且 OM OQ，

41、试求M 的半径的长 图 1图 2 图 3 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 杨浦 25” ，拖动点 P 在 O 上运动，可以体验到，等腰三角形QPO 与等腰三角 形 OAP 保持相似，y 与 x 成反比例M、O 和Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形 请打开超级画板文件名“13 杨浦 25” ，拖动点 P 在 O 上运动，可以体验到， y 与 x 成反比例拖动点 P 使得QP 5 2 ，拖动点 M 使得M 的半径约为 0.82，M 与O相内切， 同时与Q相外切 拖动点P使得QP 5 2 ， 拖动点 M 使得M 的半径约为 9，M 与O、Q 都 内切 思路点拨思路点拨 1第（1）题的

42、计算用到垂径定理和勾股定理 2第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两 个等腰三角形相似 3第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心 距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程 满分解答满分解答 （1）如图 4，过点 O 作 OHAP，那么 AP2AH 在 RtOAH 中，OA3，tan A 1 2 ，设OHm，AH 2m，那么 m2(2m)232 解得m 3 5 所以AP 2AH 4m 12 5 55 55 (r )2 (r 3)2 ( )2解得 r9 22 （2）如图 5，联结 OQ、OP，那么QPO、OAP 是 等腰三角形 又因为底角P 公用，所以QPOOAP 因此 QP OP ，即

43、y 3 POPA3x 由此得到y 9 定义域是 0 x6 x 图 4图 5 （3）如图 6，联结 OP，作 OP 的垂直平分线交 AP 于 Q，垂足为 D，那么 QP、QO 是Q 的半径 在 RtQPD 中，PD 1 PO 3 ，tan P tan A 4 ，因 223 例例 2 20122 2012 年河北省中考第年河北省中考第 2525 题题 如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴 上，CBO45，CD/AB，CDA90点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动， 运动时间为 t 秒 （1）求点 C 的坐标； （2）当BCP15时

44、，求t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半 径的P 随点 P 的运动而变化， 当 P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线） 相切时，求 t 的值 图 1 此QP 5 2 如图 7，设M 的半径为 r 由M 与O 内切，r O 3，可得圆心距 OM3r 由M 与Q 外切， r Q QP 5 ，可得圆心距 2 QM 5 r 2 在 RtQOM 中，QO 5 ，OM3r，QM 5 r， 22 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 河北 25” ，拖动圆心 P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P 可以与直线 BC、直 线 DC、直线 AD 相切，不能与直线 AB 相切 由勾股定理

45、，得 955 ( r)2 (3 r)2 ( )2解得r 1122 答案答案 （1）点 C 的坐标为(0,3) （2）如图 2，当 P 在 B 的右侧，BCP15时， PCO30，t 43； 如图 3，当 P 在 B 的左侧，BCP15时，CPO 30，t 43 3 图 6图 7 图 8 考点伸展考点伸展 如图 8，在第（3）题情景下，如果M 与O、Q 都内切，那么M 的半径是多少？ 同样的，设M 的半径为 r 由M 与O 内切，r O 3，可得圆心距 OMr3 由M 与Q 内切， r Q QP 5 ，可得圆心距 2 QM r 5 2 图 2图 3 （3）如图 4，当P 与直线 BC 相切时，t

46、1； 如图 5，当P 与直线 DC 相切时，t4； 如图 6，当P 与直线 AD 相切时，t5.6 在Rt QOM中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 1 (2 3 3t)解得t 4 3 6 2 如图 3，由PQPB，得等边三角形 PBQ所以Q 是 AB 的中点，t1 如图 4，由 PQPC，得t 2 3 3t解得 t t 3 3 P、C 重合时，t2如图 5，当 图 4图 5 图 6 例例 3 20123 2012 年无锡市中考模拟第年无锡市中考模拟第 2828 题题 如图 1， 菱形 ABCD 的边长为 2 厘米， DAB60 点 P 从 A 出发， 以每秒3厘米的速度沿 AC 向 C 作匀

47、速运动； 与此同时，点 Q 也从点 A 出发，以每秒 1 厘米的速度沿射 线作匀速运动当点P 到达点 C 时，P、Q 都停止运动设 点 P 运动的时间为 t 秒 （1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ/BC； （2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个 运动过程中，t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公 共点和2个公共点？ 图一 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到， P 与线段 BC 的位置关系依次是 相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共 点，相交只有 1 个公共点，线段在圆

48、的内部没有公共点 请打开超级画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到， P 与线段 BC 的位置关系依次是 相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共 点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点 答案答案 （1）因为 AQ t ， AP 3t 2 3 t AB2AC2 ，所以 AQAP AB AC 因此 PQ/BC （ 2 ） 如 图2 ， 由PQ PH 1 2 PC， 得 因此，当t 4 3 6或 1t33或 t2 时， P 与边 BC 有 1 个公共点 当4 36t1 时，P 与边 BC 有 2 个公共点 图 2图 3图 4图 5

49、 1.81.8因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例例 1 20131 2013 年天津市中考第年天津市中考第 2525 题题 在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，点 E 在 OB 上，且OAEOBA （1）如图 1，求点 E 的坐标； （2） 如图 2， 将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO， 连结 AB、BE 设 AAm，其中 0m2，使用含 m 的式子表 示 AB2BE2，并求出使 AB2BE2取得最小值时点 E 的坐标； 当 ABBE取得最小值时，求点 E的坐标（直接 写出结果即可） 图 1图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 天津 2

50、5” ，拖动点A在线 段 AO 上运动， 可以体验到， 当 A运动到 AO 的中点时， AB2 BE2取得最小值当 A、B、E三点共线时，ABBE取 得最小值 请打开超级画板文件名“13 天津 25” ，拖动点A在线 段 AO 上运动， 可以体验到， 当 A运动到 AO 的中点时， AB2 BE2取得最小值当 A、B、E三点共线时，ABBE取 得最小值 思路点拨思路点拨 1图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等， EEAAm 2求AB2BE2的最小值，第一感觉是用勾股定理列 关于 m 的式子 3 求 ABBE的最小值， 第一感觉是典型的 “牛喝水” 问题轴对称，两点之间线段最短 满分解答满

51、分解答 （1）由OAEOBA，AOEBOA，得AOE BOA 所以 AOBO OE OA 因此 24 OE 2 解得 OE1所以 E(0,1) （2）如图 3，在 RtAOB 中，OB4，OA2m， 所以 AB216(2m)2 在 RtBEE中，BE3，EEm，所以 BE29m2 所以 AB2BE216(2m)29m22(m1)2 27 所以当 m1 时， AB2BE2取得最小值， 最小值为 27 此时点 A是 AO 的中点，点 E向右平移了 1 个单位， 所以 E(1,1) 如图 4，当 ABBE取得最小值时，求点 E的坐标 为( 8 7 ,1) 图 3图 4 考点伸展考点伸展 第（2）题这

52、样解：如图4，过点B 作 y 轴的垂线 l，作点 E关于直线 l 的对称点 E， 所以 ABBEABBE 当 A、B、E三点共线时，ABBE取得最小值，最 小值为线段 AE 在 RtAOE中，AO2，OE7，所以 AE 53 当 A、B、E三点共线时， AOAO BO EO 所以 m 4 2 7 解得m 8 7 此时E(8 7 ,1) 例例 2 20122 2012 年滨州市中考第年滨州市中考第 2424 题题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc 经过 A(2, 4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点 （1）求抛物线 yax2bxc 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线

53、对称轴上的一点，求 AM OM 的最小值 例例 3 20123 2012 年山西省中考第年山西省中考第 2626 题题 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x 3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛 物线的顶点 （1）求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的坐标； （2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点 Q试探究：随着点 P 的运动，在抛物线 上是否存在点 Q，使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3） 请在直线 AC 上找一点 M，

54、使BDM 的周长最 小，求出点 M 的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 “12 滨州 24” ， 拖动点 M 在抛 物线的对称轴上运动（如图 2） ，可以体验到，当 M 落在 线段 AB 上时，根据两点之间线段最短， 可以知道此时 AM OM 最小（如图 3） 请打开超级画板文件名“12 滨州 24” ，拖动点 M， M 落在线段 AB 上时， AMOM 最小 答案答案 （1）y 1 x2 x。 （2）AMOM 的最小 2 值为4 2 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 山西 26” ，拖动点 P 在 x 轴上运动，可以体验到，点 Q 有 3 个时刻可以落

55、在抛 物线上拖动点 M 在直线 AC 上运动，可以体验到，当 M 落在 BD 上时，MBMD 最小，MBD 的周长最小 思路点拨思路点拨 1第（2）题探究平行四边形，按照 AP 为边或者 对角线分两种情况讨论 2第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点 B 关于“河流”AC 的对称点 B，那么 M 落在 BD 上时， MBMD 最小，MBD 的周长最小 满分解答满分解答 图 2图 3 （1） 由 yx22x3(x1)(x3)(x1)2 4， 得 A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4) 直线 AC 的解析式是 y3x3 （2）Q1(2, 3)，Q2(17, 3)，Q3(1

56、7, 3) （3）设点 B 关于直线 AC 的对称点为 B，联结 BB 交 AC 于 F 联结 BD，BD 与交 AC 的交点就是要探求的点M 作 BEx 轴于 E，那么BBEBAFCAO AFBFAB 在 RtBAF 中，AB4，所以 1310 12 BF 10 BEBEBB 在Rt BBE中 ， 1310 241236 ，所以BE ，BE 5510 3621 所以OE BE OB 3 所以点B的坐标为 55 21 12 (,) 55 因为点 M 在直线 y3x3 上， 设点 M 的坐标为(x, 3x 3) DDMM yD yByM yB 由，得所以 BDBM xD xBxM xB 1212

57、 43x3 5 5 2121 1x 55 99 132 解得x 所以点 M 的坐标为( ,) 353535 BB 2BF 第二部分函数图象中点的存 在性问题 2.12.1由比例线段产生的函数关系由比例线段产生的函数关系 问题问题 例例 1 20131 2013 年宁波市中考第年宁波市中考第 2626 题题 如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为(0,4)， 点 B 的坐标为(4,0)， 点 C 的坐标为(4,0)， 点P在射线AB上运动， 连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P、D、 B 三点作Q，与 y 轴 的另一个交点为 E，延 长 DQ 交Q 于 F

58、，连 结 EF、BF （1） 求直线 AB 的 函数解析式； （2）当点 P 在线 段 AB（不包括 A、B 两 点）上时 求证：BDEADP； 设 DEx， DFy， 请求出 y 关于 x 的函数解析式； （3） 请你探究： 点 P 在运动过程中， 是否存在以 B、 D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2 1？如果存在，求出此时点 P 的坐标；如果不存在，请说 明理由图 1 图 2图 3 考点伸展考点伸展 第（2）题的解题思路是这样的： 如图 4，当 AP 是平行四边形的边时，CQ/AP，所以 点 C、Q 关于抛物线的对称轴对称，点Q 的坐标为(2, 3) 如图 5，当 AP 是平行四边形的对角线时，点 C、Q 分居 x 轴两侧，C、Q 到 x 轴的距离相等 解方程x22x33，得x 17所以点 Q 的 坐标为(17, 3)或 (17, 3) 图 4图 5 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 宁波 26” ，拖动点 P 在 射线 AB 上运动， 可以体验到， DEF 保持等腰直角三角 形的形状，y 是 x 的一次函数观察 BDBF 的度量值， 可以体验到，BDBF 可以等于 2，也可以等于 0.5 请打开超级画板文件名“13 宁波 26” ，拖动点 P 在 射线 AB 上运动， 可以