学海导航高考数学第一轮总复习5.2向量的字符运算课件 文 广西专

1、1,第五章,平面向量,2,5.2 向量的字符运算,3,一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角. 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，=_，当且仅当a、b反方向时，=_，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.,0,180,4,2.如果a，b的夹角为_，则称a与b垂直，记作_. 3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即_. 规定0a=_. 当ab时，=_，这时ab=_. 二、ab的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.,90,ab,|a|b|c

2、os,ab=|a|b|cos,0,90,0,5,设是a与b的夹角，则_称作a在b方向上的投影. 11 _称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 12 _时，它是正数；当 13 _时,它是负数；当=90时,它是零. 2.ab的几何意义. ab等于 14 _与b在a方向上的投影的乘积. 3.ab的性质. 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：,|a|cos,|b|cos,090,90180,|a|,6,(1)ea=ae=|a|cos; (2)ab 15 _; (3)当a与b同向时，ab= 16 _；当a与b反向时，ab= 17 _；特别地，aa=a2=|a|2，

3、或|a|= 18 _; (4)cos= 19 _; (5)|ab|a|b|.,ab=0,|a|b|,-|a|b|,7,盘点指南：0;180;90;ab;|a|b|cos;ab=|a|b|cos;0;90;0;|a|cos; 11 |b|cos; 12 090; 13 90180; 14 |a|; 15 ab=0; 16 |a|b|; 17 -|a|b|; 18 ; 19,8,已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=_. 解： 所以|5a-b|=7.,7,9,若a,b,c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (

4、a+b)c=ac+bc C. m(a+b)=m a+mb D. (ab)c=a(bc) 解：A、B、C是运算律，而ab=R, bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立.故选D.,D,10,在ABC中，已知向量 与 满足 且 则ABC为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：在ABC中， (M在BAC的平分线上)，,11,由 知 所以 ，则ABC是等腰三角形； 因为 所以 则BAC=60， 所以ABC是等边三角形. 故选D.,12,1. 在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则 的最小值是_. 解：设 所以 故填-2.,

5、题型1 向量的数量积运算,13,点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.,14,已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为 ，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，cd？ 解：要使cd，即cd=0， 即(5a+3b)(3a+kb)=0， 所以15a2+(9+5k)ab+3kb2=0， 所以154+(9+5k)23cos +3k9=0， 解得k= . 所以当k= 时，c与d垂直.,15,2. 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4，|b|=2.求： (1)|a+b|;(2)|3a-

6、4b|;(3)(a-2b)(a+b). 解：依题意得 ab=|a|b|cos=42cos120=-4. (1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12， 所以|a+b|=,题型2 向量的模,16,(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 =1619， 所以|3a-4b|= . (3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2 =42-(-4)-222=12. 点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平

7、方根即可.,17,已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120. (1)求证：(a-b)c； (2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范围. 解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120， 所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0, 所以(a-b)c=0，所以(a-b)c.,18,(2)解法1：因为|ka+b+c|1，即|ka+b+c|21， 即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1, 因为ab=bc=ac=- ， 所以k2-2k0，所以k2. 解法2：由已知a+b+c=0,

8、故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|, |ka+b+c|1(kR) |k-1|1 k2.,19,3. 已知向量a、b、c两两所夹的角都为120,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与a的夹角. 解：由已知得(a+b+c)a=a2+ab+ac =1+12cos120+13cos120= ， 又|a+b+c|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =1+4+9+212cos120+213 cos120+223cos120=3，,题型3 向量的夹角,20,所以|a+b+c|= . 设a+b+c与a的夹角为， 则 又0，所以= . 故向量a+b+c与a的夹角为 .,21,点评：求两向量的夹角，就是先利用数量积与模的积之比求得夹角的余弦值，而数量积与模的积又是通过基本向量之间的和、差、数量积运算而求得，这正体现了运算的综合性与交互性.,22,23,24,25,1. 向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题. 2. 向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积