2016新课标创新人教A版数学必修2 1.2空间几何体的三视图和直观图

1、第1课时中心投影与平行投影及空间几何体的三视图核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P11P14，回答下列问题(1)电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件放电影成像与太阳光成像原理一样吗？提示：不一样电影成像中的光线有何特点？太阳光照人成影像的光线又有何特点？提示：前者是光由一点向外散射，后者是一束平行光线(2)如梦似幻这是来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客去北京的必到之地水立方的外观形状是什

2、么？提示：长方体假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？若你在水立方的正上方观察水立方又看到什么？提示：水立方的一个侧面；水立方的一个表面根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？提示：可以2归纳总结，核心必记(1)投影的概念及分类定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面中心投影光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影中心投影的投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影平行投影的投影线是平行的在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫

3、做正投影，否则叫做斜投影(2)三视图定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样问题思考(1)画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？提示：正确由三视图都是正投影可知正确(2)球的三视图与它的摆放位置有关吗？提示：无关球的三视图无论怎么放置都是圆面课前反思通过以

4、上预习，必须掌握的几个知识点(1)中心投影和平行投影的概念是什么？有什么区别？(2)三视图的定义是什么？(3)三视图有什么特征？观察图形，思考下面的问题：思考1中心投影和平行投影有什么区别？名师指津：(1)中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，主要用于绘画领域(2)平行投影形成的直观图能比较精确地反映原来物体的形状和特征，因此更多应用于工程制图和技术图样思考2中心投影和平行投影有什么性质？名师指津：(1)中心投影中投影线交于一点(2)平行投影中：直线或线段的投影仍是直线或线段，平行直线的投影仍然平行或重合平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长与投射面平行的平面图形，它的投影

5、与这个图形全等讲一讲1下列说法中：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；两条相交直线的平行投影是两条相交直线其中正确的个数为()A0 B1C2 D3尝试解答由平行投影和中心投影的定义可知正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，不正确答案B判断几何体投影形状的方法及画投影的方法(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清

6、楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影练一练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()解析：选A由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.观察下面图形，思考如下问题：思考1三视图的尺寸有什么要求？名师指津：每个视图都反映物体两个

7、方向上的尺寸正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸思考2三视图的摆放规则是什么？名师指津：一个物体的三视图摆放规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样思考3三视图中对实、虚线有什么要求？名师指津：三视图中规定：能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示讲一讲2画出图中正四棱锥和圆台的三视图(尺寸不作严格要求)尝试解答正四棱锥的三视图如图所示：圆台的三视图如图所示：画三视图应遵循的原则和注意事项(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”(2)三视图的排

8、列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性练一练2画出如图所示几何体的三视图解：(1)此几何体的三视图如图所示；(2)此几何体的三视图如图所示讲一讲3根据图中的物体的三视图，画出物体的形状思路点拨解答本题根据各种几何体的结构特征，充分发挥空间想象能力，先确定是什么几何体，再画出图形尝试解答(1)由正视图和俯视图知该几何体是五棱台，如图(1)(2)由正视图、侧视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状是四边形，再结合正视图、侧视图所给

9、信息知该几何体为四棱锥，如图(2)由三视图还原空间几何体的步骤练一练3根据图中的物体的三视图，画出物体的形状解：(1)由三视图可知，下面为棱柱、上面为正方体，故表示物体的实物图形如图(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解中心投影与平行投影，能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图，难点是能识别三视图所表示的立体模型2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法，见讲1.(2)画三视图应遵循的原则和注意事项，见讲2.(3)由三视图还原空间几何体的步骤，见讲3.3本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影，如讲1.课下能

10、力提升(三)学业水平达标练题组1平行投影和中心投影1直线的平行投影可能是()A点 B线段C射线 D曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有()AL，K BCCK DL，K，C解析：选AN，L和K属中心投影，C属平行投影3一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是_线段；直线；圆；梯形；长方体解析：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点答案：题组2简单几何体的

11、三视图4下列说法正确的是()A任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.5如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是_解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件答案：(1)(3)(4)6如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图解：三视图如图所示题组3由三视图还原空间几何体7(2016贵港高一检测)若一个几

12、何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A圆柱 B三棱柱 C圆锥 D球体解析：选C正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥8(2016晋城高一检测)如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是_解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥答案：正四棱锥9如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是_，图(2)是_，图(3)是_(写出视图名称)解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图答案：正视图侧视图俯视图能力提升综合练1下列命题中正确的是()A矩形的平行投影一定是矩形B

13、梯形的平行投影一定是梯形C两条相交直线的投影可能平行D一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线因此A、B、C均错，故D正确2沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台解析：选D由俯视图可排除A，B，由正视图可排除C，故选D.4(2016洛阳高一检测)如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正

14、视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为()解析：选A显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线故A正确5(2016松原高一检测)由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由_块小正方体木块搭成解析：小木块的排列方式如图所示由图知，几何体由7块小正方体木块搭成答案：76(2016贵阳高一检测)若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为_、_.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：247如图

15、，物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正解：正视图正确，侧视图和俯视图错误，正确的画法如图所示8某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)第2课时空间几何体的直观图核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P16P18，回答下列问题美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系(1)在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观

16、，不一定(2)正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形；为了增加直观性(3)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同2归纳总结，核心必记(1)斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图斜二测画法是一种特殊的平行投影画法(2)用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段已知图形中平行于x

17、轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半(3)用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可画z轴，z轴过点O，且与x轴的夹角为90，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图擦去辅助线，被遮线用虚线表示问题思考(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定例如正方形的直观图为平行四边形(2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤是：；(2)用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤是：

18、.观察下面图形，思考如下问题：思考1斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？名师指津：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半思考2斜二测画法中如何建立坐标系？名师指津：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等思考3直观图中的哪些量“变”、哪些量“不变”？名师指津：(1)平面图形用其直观图表示时

19、，一般说来，平行关系不变；(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(3)有些线段的度量关系也发生变化因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是为了使图形富有立体感讲一讲1按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图尝试解答画法：(1)如图(1)作AGx轴于G，作DHx轴于H.(2)画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图(2)中的x轴上取OBOB，OGO G，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴

20、与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图(3)画平面图形的直观图的技巧(1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x轴或y轴平行，且与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出练一练1用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为

21、y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOCOBOC2 cm，在y轴上取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示讲一讲2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图尝试解答(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图.简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2)画底面：根

22、据平面图形的直观图画法确定底面(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点(4)连线成图练一练2如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图解：(1)画轴画x轴、y轴和z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面按x轴、y轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱过点A、B、C、D、E分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA、BB、CC、DD、EE都等于正视图的高(4)成图顺次连接A、B、C、D、E，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图所示讲一讲3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D

23、1OD11.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积思路点拨 按斜二测画法规则还原四边形的平面图形，再根据平面图形计算其面积尝试解答如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11；OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.(1)由直观图还原平面图形关键有两点：平行x轴的线段长度不变，平行y轴线段变为原来的2倍；对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中

24、的位置(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是.练一练3如图所示的平行四边形ABCD是一个平面图形的直观图，且DAB45，请画出它的实际图形解：(1)在直观图ABC中建立坐标系xAy，如图(1)，再建立一个直角坐标系xOy.(2)如图(2)所示，在x轴上截取线段ABAB，在y轴上截取线段AD，使AD2AD.(3)过B作BCAD，过D作DCAB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形ABCD的实际图形如图(3)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简

25、单平面图形和立体图形的直观图2本节课要重点掌握的规律方法(1)画平面图形直观图的方法步骤，见讲1.(2)画简单几何体直观图的方法步骤，见讲2.(3)直观图与原图形之间的关系，见讲3.3本节课的易错点是三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换，如讲3.课下能力提升(四)学业水平达标练题组1斜二测画法1用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴、y轴，且A90，则在直观图中A()A45 B135C45或135 D90解析：选C在画直观图时，A的两边依然分别平行于x轴、y轴，而xOy45或135.2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交

26、的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点解析：选B根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直3关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确4如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是ABC的直观图的是()A B C D解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，两图分别是xOy成135和45的坐标系中的直观图5画出水平放置的四边形

27、OBCD(如图所示)的直观图解：(1)过点C作CEx轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x轴、y轴，使xOy45.(2)如图(2)所示，在x轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y轴上取一点D，使得ODOD；过E作ECy轴，使ECEC.(3)连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形OBCD就是所求的直观图题组2由直观图还原平面图形6如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A平行四边形 B梯形C菱形 D矩形解析：选D由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DAAB，并且ADBC，ABCD，故四边形ABCD为矩形7(2016淄博高一检测

28、)如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()AAB BACCBC DAD解析：选B由直观图可知ABC是以B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长8已知ABC的直观图如图所示，则原ABC的面积为_解析：由题意，易知在ABC中，ACAB，且AC6，AB3.SABC639.答案：9能力提升综合练1(2016潍坊高一检测)水平放置的ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形ABC，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形解析：选C如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故ABC是钝角三角形2如图所示的正方形OABC的边长为1

29、 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6 cmB8 cmC(23) cm D(22) cm解析：选B直观图中，OB，原图形中OCAB3，OABC1，原图形的周长是2(31)8.3(2016大连高一检测)如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为()A2B4C2D4解析：选D由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形2S直观图，得OBh22OB，OBOB，h4.4(2016开封高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观

30、图中这两个顶点之间的距离为()A2 cmB3 cmC2.5 cmD5 cm解析：选D圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235 cm，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为_解析：由于该矩形的面积为S5420，所以由公式SS，得其直观图的面积为SS5.答案：56一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，ABC45，ABAD1，DCBC，则原平面图形的面积为_解析：过A作AEBC，垂足为E.DCBC且ADBC，ADCE是矩形，ECAD1.由ABC45，ABAD1知BE，原平面图形是梯形且上、下两底边

31、长分别为1和1，高为2，原平面图形的面积为22.答案：27如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形解：画法：(1)如图，画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图中，过B作BDy轴，交x轴于D，在图中，在x轴上取ODOD，过D作DBy轴，并使DB2DB.(3)连接AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图.8如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积核心必知1预习

32、教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P23P27，回答下列问题(1)在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图(教材图1.31)，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？提示：正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是围成它们的各个面面积的和，也就是展开图的面积如图所示几何体表面积展开图平面图形面积(2)北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递，圣火由“祥云”火炬承载，传遍五洲四海，宏扬奥林匹克精神“祥云”火炬外型是细长的圆台形式，长72 cm，重985克，燃料为丙烷能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算

33、圆台的表面积能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？提示：可以，即计算其容积2归纳总结，核心必记(1)多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积(2)旋转体的表面积圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：S(r2r2rlrl)(3)体积公式柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则VSh.台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则V(SS)h.问题思考(1)如何求圆锥的侧面展开

34、图的弧长？提示：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长(2)求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径(3)简单组合体分割成几个几何体，其表面积有变化吗？其体积呢？提示：表面积变大了，而体积不变课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)多面体的表面积是_；旋转体的表面积是；(2)怎样求多面体、旋转体的表面积？；(3)怎样求柱体、锥体、台体的体积？.观察下列几何体的展开图：思考1怎样认识棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积？名师指津：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是由

35、平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和思考2 怎样认识旋转体的侧面积与表面积公式？名师指津：(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题讲一讲1(1)将边长为1的正方形以其一边所在的

36、直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D (2)(2016潍坊高一检测)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍尝试解答(1)由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.(2)由已知得l2r，2，故选D.答案(1)C(2)D空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理；(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和练一练1(2016泸州高一

37、检测)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积解：过点S作SDBC，交BC于点D.因为BCa，SDa.所以SSBCBCSDaaa2.因此，四面体SABC的表面积S4a2a2.观察下面图形，思考如下问题：思考怎样理解柱体、锥体和台体的体积公式？名师指津：对于柱体、锥体、台体的体积公式的几点认识：(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”

38、的方法求台体的体积讲一讲2三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比尝试解答设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABCh，VCA1B1C1SA1B1C1h.又V台h(S4S2S)，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1.体积比为124.求几何体体积的常用方法练一练2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_解析：VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.答案：讲一讲3已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视

39、图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A24 B24C24 D24思路点拨 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据尝试解答该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于32431224.答案A求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量(2)设计计算方法根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理利用“切割”、“补形”的方法求体积(3)计算求值根据设计的计算方法求值练一练3(2016重庆高一检测)某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A180 B. 20

40、0 C220 D240解析：选D几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为(28)4240.四个侧面的面积和为(2852)10200.所以四棱柱的表面积为S40200240.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析：由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故该几何体的体积为1616.答案：1616课堂归纳感悟提升1本节课的重点是通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法，难点是会求组合体的表面积与体积2本节课要重

41、点掌握的规律方法(1)求空间几何体侧面积、表面积的方法技巧，见讲1.(2)求空间几何体体积的常用方法，见讲2.(3)求与组合体有关的表面积和体积的方法，见讲3.3本节课的易错点是求与三视图有关的几何体体积和表面积时易把相关数据弄错，如讲3.课下能力提升(五)学业水平达标练题组1柱体、锥体、台体的侧面积与表面积1棱长为3的正方体的表面积为()A27 B64 C54 D36解析：选C根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形从而，其表面积为63254.2若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1 C1 D.2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h2r，

42、其母线长lr.S侧rlr2，S底r2.则S底S侧1.3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6 C5 D3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.4一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为_解析：由底面周长为2可得底面半径为1.S底2r22，S侧2rh4，所以S表S底S侧6.答案：6题组2柱体、锥体、台体的体积5若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3 B60 cm3 C64 cm3 D125 cm3解析：选B长方体即为

43、四棱柱，其体积为底面积高，即为34560 cm3.6(2016朔州高一检测)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ADC的体积是()A. B.C. D1解析：选A三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.7若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2r22，r1，则高h .V圆锥r2 h.答案：题组3与三视图有关的表面积、体积问题8(2016广州高一检测)一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A12 B18 C24 D36解析：选C由三视图知该几何体为圆锥，底

44、面半径r3，母线l5，S表rlr224.9(2016贵港高一检测)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3 C. D6解析：选B由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.10若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.解析：由三视图可知原几何体如图所示所以VVABC A1B1C1VMABCSABC5SABC334534330624.答案：24能力提升综合练1如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.解析：选CVCABCV棱柱，VCAAB

45、B1.2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2 C4 D8解析：选B设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以V圆柱r22r2r32.3一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B2C12 D2解析：选B根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积2212()22.故选B.4(2015邯郸高一检测)在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A11 B1C1 D12解析：选C如图，三棱锥D1AB

46、1C的各面均是正三角形， 其边长为正方体的面对角线设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥4(a)22a2，S正方体6a2，故S锥S正方体1.5表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，rlr23，且l2r.解得r1，即直径为2.答案：26(2016贵阳高一检测)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析：圆台的轴截面是

47、下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为3(寸)答案：37若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2rl，得l6r.又S圆锥r2r6r7r215，得r，圆锥的高h，Vr2h.8已知一个几何体的三视图如下，试求它的表面积和体积(单位： cm)解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱，且直棱柱的某个侧面在水平面上直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，.所以此几何体的体积VS梯形h(12)11(cm3)表面积S表 2S底S侧(12)12(112)1(7)(cm2)第2课时球的体积和表面积核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P27P28，回答下列问题从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷这种思想就是朴素的极限思想(1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积？提示：可以(2)求球的表面积和体积需要什么条件？提示：已知球的半径即可2归纳总结，核心必记(1)球的