2020年上海市春季高考数学试卷含答案

1、2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分)1（4分）（2020上海）集合A1，3，B1，2，a，若AB，则a 2（4分）（2020上海）不等式1x3的解集为 3（4分）（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为 4（4分）（2020上海）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为 5（4分）（2020上海）已知3sin2x2sinx，x（0，），则x 6（4分）（2020上海）若函数ya3x+13x为偶函数，则a 7（5分）（2020上海）已知直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，若l1l2，则11与l2的距离为 8

2、（5分）（2020上海）已知二项式（2x+x）5，则展开式中x3的系数为 9（5分）（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB2，BC3，AC4，则ADAB= 10（5分）（2020上海）已知A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有 种11（5分）（2020上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1An+1An+2=0（n1，2，3），|AnAn+1|An+1An+2|n+1（n1，2，3），则|A1A5|的最小值为 12（5分）（2020上海）已知f（x）=x-1，其反函数为f1（x），若f1（x）af（x+a）有实数根，则a的取值范围为 二、

3、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13（5分）（2020上海）计算：limn3n+5n3n-1+5n-1=（）A3B53C35D514（5分）（2020上海）“”是“sin2+cos21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15（5分）（2020上海）已知椭圆x22+y21，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线16（5分）（2020上海）数列an各项均为实数，对任意nN*满足an+3an，且行列式anan+1an+2an+3=c为定值，则下

4、列选项中不可能的是（）Aa11，c1Ba12，c2Ca11，c4Da12，c0三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分)17（14分）（2020上海）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD平面ABCD（1）若PC5，求四棱锥PABCD的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长18（14分）（2020上海）已知各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，a11（1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，a4=18，求满足Sn100an时n的最小值19（14分）（2020上海）有一条长为120米的步行

5、道OA，A是垃圾投放点1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点2（t，0），函数ft（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离（1）若t60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利问：垃圾投放点2建在何处才能比建在中点时更加便利？20（16分）（2020上海）已知抛物线y2x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若t1

6、，P（1，1），Q（1，1），求证：yAyB为常数；（3）是否存在t，使得yAyB1且yPyQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由21（18分）（2020上海）已知非空集合AR，函数yf（x）的定义域为D，若对任意tA且xD，不等式f（x）f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质（1）当A1，判断f（x）x、g（x）2x是否具有A性质；（2）当A（0，1），f（x）x+1x，xa，+），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A2，m，mZ，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填

7、空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分)1（4分）（2020上海）集合A1，3，B1，2，a，若AB，则a3【考点】18：集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值【解答】解：3A，且AB，3B，a3，故答案为：3【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题2（4分）（2020上海）不等式1x3的解集为（0，13）【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集【解答】解：由1x3得1-3xx0，则x（13x）0，即x（3x1）0，解得0x13，

8、所以不等式的解集是（0，13），故答案为：（0，13）【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题3（4分）（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为2【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【分析】根据函数ytanx的周期为，求出函数ytan2x的最小正周期【解答】解：函数ytan2x的最小正周期为 2，故答案为：2【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题4（4分）（2020上海）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为2【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】设za+bi，（a，bR）根据复数z满足z+2z=6+i，利用复数的运

9、算法则、复数相等即可得出【解答】解：设za+bi，（a，bR）复数z满足z+2z=6+i，3abi6+i，可得：3a6，b1，解得a2，b1则z的实部为2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（4分）（2020上海）已知3sin2x2sinx，x（0，），则xarccos13【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论【解答】解：3sin2x2sinx，6sinxcosx2sinx，x（0，），sinx0，cosx=13，故xarccos13故答案为：arccos13【点评】本题主

10、要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键6（4分）（2020上海）若函数ya3x+13x为偶函数，则a1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a3（x）+13(-x)=a3x+13x，变形分析可得答案【解答】解：根据题意，函数ya3x+13x为偶函数，则f（x）f（x），即a3（x）+13(-x)=a3x+13x，变形可得：a（3x3x）（3x3x），必有a1；故答案为：1【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题7（5分）（2020上海）已知直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，若

11、l1l2，则11与l2的距离为2【考点】IU：两条平行直线间的距离菁优网版权所有【分析】由l1l2求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可【解答】解：直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，当l1l2时，a210，解得a1；当a1时l1与l2重合，不满足题意；当a1时l1l2，此时l1：xy10，l2：xy+10；则11与l2的距离为d=|-1-1|12+(-1)2=2故答案为：2【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题8（5分）（2020上海）已知二项式（2x+x）5，则展开式中x3的系数为10【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【分析】由C54(2x)1(x)4

12、=10x3，可得到答案【解答】解：C54(2x)1(x)4=10x3，所以展开式中x3的系数为10故答案为：10【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题9（5分）（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB2，BC3，AC4，则ADAB=194【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】根据余弦定理即可求出cosBAC=1116，并得出ADAB=12(AB+AC)AB，然后进行数量积的运算即可【解答】解：在ABC中，AB2，BC3，AC4，由余弦定理得，cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=4+16-9224=1116，ABAC=241116

13、=112，且D是BC的中点，ADAB=12(AB+AC)AB=12(AB2+ABAC) =12(4+112) =194故答案为：194【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题10（5分）（2020上海）已知A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有18种【考点】D1：分类加法计数原理菁优网版权所有【分析】先讨论a的取值，得到对应b的值，再整体求和即可【解答】解：当a3，0种，当a2，2种，当a1，4种；当a0，6种，当a1，4种；当a2，2种，当a3，0种，故共有：2+4+6+4+218故

14、答案为：18【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目11（5分）（2020上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1An+1An+2=0（n1，2，3），|AnAn+1|An+1An+2|n+1（n1，2，3），则|A1A5|的最小值为63【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】可设|A1A2|=x，从而据题意可得出|A2A3|=2x，|A3A4|=3x2，|A4A5|=83x，并设A1（0，0），根据是求|A1A5|的最小值，从而可得出A5(-x2，-23x)，从而可求出|A1A5|2=x24+49x2，从而根据基本不等式即可求

15、出|A1A5|的最小值【解答】解：设|A1A2|=x，则|A2A3|=2x，|A3A4|=3x2，|A4A5|=83x，设A1（0，0），如图，求|A1A5|的最小值，则：A2（x，0），A3(x，2x)，A4(-x2，2x)，A5(-x2，-23x)，|A1A5|2=(-x2)2+(-23x)2=x24+49x223，当且仅当x24=49x2，即x=233时取等号，|A1A5|的最小值为63故答案为：63【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题12（5分）（2020上海）已知f（x）=x-1，其反函数为f1（x）

16、，若f1（x）af（x+a）有实数根，则a的取值范围为34，+）【考点】4R：反函数菁优网版权所有【分析】因为yf1（x）a与yf（x+a）互为反函数若yf1（x）a与yf（x+a）有实数根yf（x+a）与yx有交点方程x+a-1=x，有根进而得出答案【解答】解：因为yf1（x）a与yf（x+a）互为反函数，若yf1（x）a与yf（x+a）有实数根，则yf（x+a）与yx有交点，所以x+a-1=x，即ax2x+1（x-12）2+3434，故答案为：34，+）【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13（5分）（2020上海）计算

17、：limn3n+5n3n-1+5n-1=（）A3B53C35D5【考点】8J：数列的极限菁优网版权所有【分析】把3n+5n3n-1+5n-1分子分母同时除以5n1，则答案可求【解答】解：limn3n+5n3n-1+5n-1=limn3(35)n-1+5(35)n-1+1=5故选：D【点评】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题14（5分）（2020上海）“”是“sin2+cos21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【分析】容易看出，由可得出sin2+cos21，而反之显然不成立，从而可得出“”是“si

18、n2+cos21”的充分不必要条件【解答】解：（1）若，则sin2+cos2sin2+cos21，“是“sin2+cos21“的充分条件；（2）若sin2+cos21，则sin2sin2，得不出，“”不是“sin2+cos21”的必要条件，“”是“sin2+cos21”的充分非必要条件故选：A【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，sin2+cos21，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题15（5分）（2020上海）已知椭圆x22+y21，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆

19、B双曲线C圆D抛物线【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题菁优网版权所有【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可【解答】解：AB2，CD2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设A（m，t），D（t，n），所以P（m，n），因为m22+t2=1，t22+n2=1，消去t可得：2n2-m22=1，故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题16（5分）（2020上海）数列an各项均为实数，对任意nN*满足an+3an，且行列式anan+1an+2an+3=c为定值，则下列选项中不可能的是（）Aa11，c1Ba12，c2Ca11，c4Da12，c0【考

20、点】OM：行列式菁优网版权所有【分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得【解答】解：行列式anan+1an+2an+3=anan+3an+1an+2c，对任意nN*满足an+3an，an2-an+1an+2=can+12-an+2an+3=c，作差整理得：an+1an（常数列，c0），或an+an+1+an+20，当an+an+1+an+20，则 an+1+an+2an及an+1an+2=an2-c，方程x2+anx+an2-c=0 有两根an+1，an+2，=an2-4(an2-c)=4c-3an20，因为B错，故选：B【点评】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题三、解答题（本大题共5题

21、，共14+14+14+16+1876分)17（14分）（2020上海）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD平面ABCD（1）若PC5，求四棱锥PABCD的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可（2）由已知中四棱锥PABCD的底面是边长为3的正方形，PD平面ABCD异面直线AD与PB所成角为60，可得PBC为直角三角形，且PBC60，BC3，代入求出PC后，解直角PDC可得答案【解答】解：（1）PD平面ABCD，PDDC

22、CD3，PC5，PD4，VPABCD=13324=12，所以四棱锥PABCD的体积为12（2）ABCD是正方形，PD平面ABCD，BCPD，BCCD又PDCDDBC平面PCDBCPC异面直线AD与PB所成角为60，BCAD在RtPBC中，PBC60，BC3故PC33在RtPDC中，CD3PD32【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题18（14分）（2020上海）已知各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，a11（1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，a4=18，求满足Sn100an

23、时n的最小值【考点】8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的求和公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得q，再由等比数列的求和公式，解不等式可得n的最小值【解答】解：（1）数列an为公差为d的等差数列，S1070，a11，可得10+12109d70，解得d=43，则an1+43（n1）=43n-13；（2）数列an为公比为q的等比数列，a4=18，a11，可得q3=18，即q=12，则an（12）n1，Sn=1-(12)n1-12=2（12）n1，Sn100an，即为2（12）n1100

24、（12）n1，即2n101，可得n7，即n的最小值为7【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（14分）（2020上海）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点2（t，0），函数ft（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离（1）若t60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利问：垃圾投放点2建在何处才能比建在

25、中点时更加便利？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【分析】（1）利用题目所给定义表示出f60（x）|60x|，|120x|min，分类讨论可得f60（x）；（2）利用题意可得ft（x）=|t-x|，x0.5(120+t)|120-x|，x0.5(120+t)，表示出ft（x）与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可【解答】解：（1）投放点1（120，0），2（60，0），f60（10）表示与B（10，0）距离最近的投放点（即2）的距离，所以f60（10）|6010|50，同理分析，f60（80）|6080|20，f60（95）|12095|25，由题意得，f6

26、0（x）|60x|，|120x|min，则当|60x|120x|，即x90时，f60（x）|60x|；当|60x|120x|，即x90时，f60（x）|120x|；综上f60（x）=|60-x|，x90|120-x|，x90；（2）由题意得ft（x）|tx|，|120x|min，所以ft（x）=|t-x|，x0.5(120+t)|120-x|，x0.5(120+t)，则ft（x）与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以S=12t2+14(120-t)2=34t260t+3600，由题意，SS（60），即34t260t+36002700，解得20t60，即垃圾投放点2建在（20，0）与（60，0）

27、之间时，比建在中点时更加便利【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题20（16分）（2020上海）已知抛物线y2x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若t1，P（1，1），Q（1，1），求证：yAyB为常数；（3）是否存在t，使得yAyB1且yPyQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由【考点】KN：直线与抛物线的综合菁优网版权所有【分析】（1）点M的横坐标xM（2）22，由y2x，得p=12，由此能求出M与焦点的距离（2）设M（y02，y0）

28、，直线PM：y1=y0-1y02-1（x1），当x1时，yA=y0-1y0+1，同理求出yB=-y0-1y0-1，由此能证明yAyB为常数（3）解设M（y02，y0），A（t，yA），直线MA：yy0=y0-yAy02-t（xy02），联立y2x，得y2-y02-ty0-yAy+y02-ty0-yAy0-y02=0，求出yP=y0yA-ty0-yA，同理得yQ=y0yB-1y0-yB，由此能求出存在t1，使得yAyB1且yPyQ为常数1【解答】解：（1）解：抛物线y2x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点点M纵坐标为2，点M的横坐标xM（2）

29、22，y2x，p=12，M与焦点的距离为MF=xM+p2=2+14=94（2）证明：设M（y02，y0），直线PM：y1=y0-1y02-1（x1），当x1时，yA=y0-1y0+1，直线QM：y+1=y0+1y02-1（x1），x1时，yB=-y0-1y0-1，yAyB1，yAyB为常数1（3）解：设M（y02，y0），A（t，yA），直线MA：yy0=y0-yAy02-t（xy02），联立y2x，得y2-y02-ty0-yAy+y02-ty0-yAy0-y02=0，y0+yp=y02-ty0-yA，即yP=y0yA-ty0-yA，同理得yQ=y0yB-1y0-yB，yAyB1，yPyQ=y02-ty0(yA+yB)+t2y02-y0(yA+yB)+1，要使yPyQ为常数，即t1，此时yPyQ为常数1，