史上高中阶段最全的数列求和(10种)

1、数列的求和,一.公式法：,等差数列的前n项和公式： 等比数列的前n项和公式 , 2+4+6+2n= ； 1+3+5+（2n-1）= ；,n2+n,n2,二、错位相减法求和 例如 是等差数列， 是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和 四、并项求和 例如求10029929829722212的和 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项,六。倒序相加法： 如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和

2、，这一求和的方法称为倒序相加法. 七。归纳猜想法 ： 先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。 八。奇偶法 通过分组，对n分奇偶讨论求和,九。通项分析求和法,十。周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并,(3)求数列1,34,567,78910， ，前n项和sn.,例1.求和： (1)sn111111,例1：,求和：,10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数,例2、已知,求s,解：,倒序相加法,如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把

3、正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.,类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,变式探究,已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)， 求其前n项和,例3.,例3.已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n项和,思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与等比数列a0，a，a2，an1对应项的积，可用错位相减法求和,解析：设sn13a5a2(2n1)an1 a得，asna3a25a3(2n1)an ： (1a)sn12a2a22a32an1(2n1)an.,当a1时，snn2.,点评：若数列an，bn分

4、别是等差、等比数列，则求数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法,错位相减法：,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比,2. 设数列 满足a13a232a33n1an ，an*. (1)求数列 的通项； (2)设bn ，求数列 的前n项和sn.,变式探究,2设数列 满足a13a232a33n1an ，an*. (1)求数列 的通项； (2)设bn ，求数列 的前n项和sn.,解析：(1)a13a232a33n1an ，,(2) bnn3n，sn13232333n3n， 3sn132233334(n1)3nn3n1

5、 两式相减，得2sn332333nn3n1，,设数列an的前n项和为sn，点(n， )(nn*)均在函数y=3x-2的图象上. （1）求数列an的通项公式； （2） ，tn是数列bn的前n项和，求使得tn 对所有nn*都成立的最小正整数m.,例4.,（1）依题意得 =3n-2， 即sn=3n2-2n. 当n2时，an=sn-sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5； 当n=1时，a1=s1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nn*).,（2）由(1)得bn= 故tn=b1+b2+bn 因此，使得 (nn*)成立的m必须满足 ,即m10. 故满足要求的最小正

6、整数m为10., ,列项求和法：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）,1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan1an),常见的拆项公式有：,常见的裂项公式有：,7,nn！=（n+1）！-n！；,8,9, ,【分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.,【解析】,求数列 ,的前n项和.,变式探究：,例5.求下面数列的前n项和,解（1）：该数列的通项

7、公式为,cn=an+bn,(an、bn为等差或等比数列。）,反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个等比2n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.,分组求和法,+,n,1,练习1.求数列,+,2,3,+,的前n项和 。,2,+,解：,=,+,=,+,分组求和法,2求数列1,34,567,78910，前n项和sn.,例6： 1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,并项求和,练习： 已知sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1), 1)求s20,s21 2)求sn,s20=-1+3+(

8、-5)+7+（-37）+39,s21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）,=20,=-21,例7：已知数列 5，55，555，5555，求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项和公式。,练习：求和 sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ +(1+2+22+2n-1),通项分析求和,通项,=2n-1,先求通项 再处理通项,(2) 数列an中，an2n(1)n，求sn.,4m22m2(n1)2(n1)2n2n2.,解析（2）an2n2(1)n，若n2m， 则sns2m2(1232m)2 (1)k 2(1232m)(2m1)2mn(n1) 若n2m1，则sn

9、s2m1s2ma2m (2m1)2m22m(1)2m (2m1)2m2(2m1),练习：,变式探究,1已知等差数列 的首项为1，前10项的和为145，求a2a4.,解析：首先由s1010a1 145d3， 则ana1(n1)d3n2a2n32n2， a2a4a2n3(2222n)2n 3 2n32n12n6.,2求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和,3.在等差数列 中，a13，d2，sn是其前n项的和，求： s .,在等差数列 中，a13，d2，sn是其前n项的和，求：s .,解析：,4.(2010年广州一模)已知数列an满足对任意的nn*，都有an0，且 (a1a2an)2. (1)求a

10、1，a2的值； (2)求数列an的通项公式an； (3)设数列 的前n项和为sn，不等式sn loga(1a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围,解析：(1)当n1时，有 ， 由于an0，所以a11.,由于a2a11，即当n1时都有an1an1， 所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列故ann.,1要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法 2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决 3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和,4解决