第五章三节二次型和对称矩阵的有定性.ppt

1、第三节 二次型和对称矩阵的有定性,一、正定二次型和正定矩阵,定义5.6,设n元二次型 ，其中A为n阶实 对称矩阵。如果对于任意的 ，有,则称该二次型为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。,例1,设二次型,则f 为正定二次型，因为对于任意的,都有,若二次型 ，,则g不是正定二次型。,实际上,对于,定理5.5,可逆线性变换不改变二次型的正定性。,定理5.6,推论,n阶对角矩阵,为正定二次型的充分必要条件是,定理5.7,二次型 为正定二次型的充分 必要条件是它的正惯性指数等于n.,推论1,实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于 单位矩阵E.即存在可逆矩阵C，有,推论2,推论3,实对称矩阵A为正定

2、矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得,如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。,定理5.8,实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 特征值都是正数。,例2,如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 也是正定矩阵。,证法1,由 ，有,即 也是对称矩阵。,又A为正定矩阵，所以存在可逆矩阵C，有,于是,记,则,所以 也是正定矩阵。,证法2,如果A为正定矩阵，其特征值为 ，,则,而矩阵 的特征值为 ，且,所以 也是正定矩阵。,例3,设A为 矩阵，且A的秩r (A)= n，,证明 为正定矩阵。,证,因为,故 是n阶对称矩阵。,又r(A)= n，可知齐次线性方程组AX= 0仅有零解。,所以，对

3、于任意的,必有,于是,即二次型 为正定二次型，矩阵 为正定矩阵。,定义5.7,设n阶矩阵 A的子式,称为矩阵A的k阶顺序主子式。,定理5.9,实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 顺序主子式都大于零。即,例4,判断二次型,是否为正定二次型。,解法1,用配方法将二次型化为标准形,由此得二次型的标准形,其正惯性指数为3。,故该二次型为正定二次型。,解法2,二次型f 的矩阵为,而A的特征多项式,得A的特征值,由于A的特征值全为正数，知A为正定矩阵。,对应的二次型为正定二次型。,解法3,只需判定二次型矩阵A 的顺序主子式是否全大于零。,因为二次型f 的矩阵,中各阶主子式,故A为正定矩阵，对应

4、的二次型为正定二次型。,例5,设二次型,试问t为何值时，该二次型为正定二次型。,解,该二次型的矩阵为,当A的各顺序主子式都大于零时，A为正定矩阵， 对应的二次型为正定二次型。,解之得,即当 时，二次型 为正定二次型。,二、二次型的有定性,定义5.8,设二次型,(1) 若对于任意的 有,则称二次型f 为负定的，实对称矩阵称为负定矩阵。,(2) 若对于任意的 有,且存在 使得,则称二次型f 为半正定(半负定)的，实对称矩阵A 称为半正定(半负定)矩阵。,(3) 若二次型 既不是半正定的，也 不是半负定的，则称二次型f 是不定的，实对称矩阵也称 为不定矩阵。,定理5.10,设二次型,则下列各条件等价

5、：,(1) 为负定二次型；,(3) 实对称矩阵A合同于-E；,(4) 实对称矩阵A的特征值均小于零；,(5) 实对称矩阵A的奇数阶矩阵顺序主子式小于零，偶数 阶顺序主子式大于零。,(2) 的负惯性指数为n；,定理5.11,设二次型,则下列各条件等价：,(1) 为半正定二次型；,(2) 的正惯性指数为p= rn；,(3) 实对称矩阵A合同于 ,且rn；,(4) 实对称矩阵A的所有特征值大于或等于零，且至少存在 一个特征值等于零。,例6,设矩阵,虽然A的主子式,但A并不是半正定矩阵。,实际上，矩阵A对应的二次型,当 时，,当 时，,由此看出：二次型 是不定的，A也是不定的。,例7,设二次型,试判断 是否为正定二次型。,解,二次型的矩阵,A的特