高中数学解题36个大招

1、数学破题 36 个大招目 录高考数学常考问题-大闯关（36 关）错误！未定义书签。目 录1第 1 关： 极值点偏移问题-对数不等式法错误！未定义书签。第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法7第 3 关： 数列求和问题解题策略 8 法10第 4 关： 绝对值不等式解法问题7 大类型15第 5 关： 三角函数最值问题解题 9 法22第 6 关： 求轨迹方程问题6 大常用方法28第 7 关： 参数方程与极坐标问题“考点”面面看41第 8 关： 均值不等式问题拼凑 8 法48第 9 关： 不等式恒成立问题8 种解法探析54第 10 关： 圆锥曲线最值问题5 大方面60第 11 关： 排列组合应用问

2、题解题 21 法64第 12 关： 几何概型问题5 类重要题型71第 13 关： 直线中的对称问题4 类对称题型74第 14 关： 利用导数证明不等式问题4 大解题技巧76第 15 关： 函数中易混问题11 对82第 16 关： 三项展开式问题破解“四法”88第 17 关： 由递推关系求数列通项问题“不动点”法89第 18 关： 类比推理问题高考命题新亮点93第 19 关： 函数定义域问题知识大盘点99第 20 关： 求函数值域问题7 类题型 16 种方法107第 21 关： 求函数解析式问题7 种求法130第 22 关：解答立体几何问题5 大数学思想方法134第 23 关： 数列通项公式常见

3、 9 种求法140第 24 关：导数应用问题9 种错解剖析152第 25 关：三角函数与平面向量综合问题6 种类型155第 26 关：概率题错解分类剖析7 大类型162第 27 关：抽象函数问题分类解析165第 28 关：三次函数专题全解全析169第 29 关：二次函数在闭区间上的最值问题大盘点181第 30 关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描192第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇193第 32 关：数学解题的“灵魂变奏曲”转化思想197第 33 关：函数零点问题求解策略209第 34 关：求离心率取值范围常见 6 法214第 35 关：高考数学选择题解题策略217第 36 关

4、：高考数学填空题解题策略228以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目 1：（2015 长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 a.b.c.d.有极小值点，且【答案】c【解析】函数导函数：有极值点，而极值，a 正确. 有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而，b 正确，c 错误而+得：，即 d 成立.题目 2：（2011 辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，-得：，化简得：而根据对数平均值不等式：等式代换到上

5、述不等式根据：（由得出）式变为：，在函数单减区间中，即：题目 3：(2010 天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得：根据对数平均值不等式题目 4：（2014 江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即：根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为:第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法求解参数的取值范围是一类常见题型近年来在各地的模拟试题以及高

6、考试题中更是屡屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例 1.对于满足 0的一切实数，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p时 y0 恒成立，求 x 的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于

7、 0 恒成立的问题解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意由题设知当 0时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k) f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)g(k)f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，。七 数形结合由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例

8、 9 求函数的最小值。分析 法一：将表达式改写成y 可看成连接两点 a(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 a 的切线与半圆相切与点 b,则可求得所以 y 的最小值为（此时）.法二：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。八 判别式法例 10 求函数的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由 y=3，tanx=-1，由九 分类讨论法含参数的三角函数

9、的值域问题，需要对参数进行讨论。例 11 设，用 a 表示 f(x)的最大值 m(a).解：令 sinx=t,则（1） 当，即在0，1上递增，（2） 当即时，在0，1上先增后减，（3） 当即在0，1上递减，以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。第 6 关： 求轨迹方程问题6 大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点 p 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，

10、也有人将此方法称为定义法。2. 直译法：如果动点 p 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 p 满足的等量关系易于建立， 则可以先表示出点 p 所满足的几何上的等量关系，再用点 p 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 p 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数， 分别建立 p 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程 f（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 p 的运动是由另外某一点 p的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点

11、坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 p（x，y），用（x，y）表示出相关点 p的坐标，然后把 p的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 p 的轨迹方程。5. 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含 参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程）， 该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点

12、p 的运动规律，即 p 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。 检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4. 求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1. p 是椭圆=1 上的动点，过 p 作椭圆长轴的垂线，垂足为 m，则 pm 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）a、b、c、d、=1【答案】

13、：b【解答】:令中点坐标为,则点 p 的坐标为(代入椭圆方程得,选 b2. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）abcd【答案】：d【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选 d3: 一动圆与圆 o：外切，而与圆 c：内切，那么动圆的圆心 m 的轨迹是：a：抛物线 b：圆 c：椭圆【答案】：dd：双曲线一支【解答】令动圆半径为 r，则有，则|mo|-|mc|=2，满足双曲线定义。故选 d。4: 点 p(x0，y0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点 m（2x0，y0）的轨迹是（）a.焦点在 x 轴上的椭圆b. 焦点在 y 轴上的椭圆c. 焦点在 y

14、轴上的双曲线d. 焦点在 x 轴上的双曲线【答案】：a【解答】:令 m 的坐标为则代入圆的方程中得,选 a【互动平台】一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时， 要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知 的顶点 a，b 的坐标分别为（-4，0），（4，0），c 为动点，且满足求点 c 的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，

15、图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式 1】: 1:已知圆的圆心为 m1，圆的圆心为 m2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 p 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 r，由两圆外切的条件可得：，。12动圆圆心 p 的轨迹是以 m 、m 为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 o：外切，而与圆 c：内切，那么动圆的圆心

16、 m 的轨迹是：a：抛物线 b：圆 c：椭圆 d：双曲线一支【解答】令动圆半径为 r，则有，则|mo|-|mc|=2，满足双曲线定义。故选 d。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。全国高中资料启东中学资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280例 2：一条线段 ab的长等于 2a,两个端点 a和 b分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 ab中点 p的轨迹方程？ 解 设 m 点的

17、坐标为由平几的中线定理：在直角三角形 aob中，om=m点的轨迹是以 o为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 om=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1） 代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方 法求其轨迹。2） 列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹 方程。3） 运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4） 借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借

18、助平面几何中的有关定理、性质、勾股 定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 p（x,y）到两定点 a（3，0）和 b（3，0）的距离的比等于 2（即 ），求动点 p的轨迹方程？【解答】|pa|=代入 得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 p（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 a 点，l2 交 y 轴于 b

19、点，求线段 ab 的中点 m 的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 m 的运动是由直线 l1 引发的，可设出 l1 的斜率 k 作为参数，建立动点 m 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 m（x，y），设直线 l1 的方程为 y4k（x2），（k）m 为 ab 的中点，消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，ab 中点为 m（1，2），满足上述轨迹方程； 当 k 不存在时，ab 中点为 m（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，m 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论

20、呢？只需利用 pab 为直角三角形的几何特性：解法 2：设 m（x，y），连结 mp，则 a（2x，0），b（0，2y），l1l2，pab 为直角三角形化简，得 x2y50，此即 m 的轨迹方程。分析 3：设 m（x，y），由已知 l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 m 点坐标表示 a、b 两点坐标。事实上，由 m 为 ab 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 m（x，y），m 为 ab 中点，a（2x，0），b（0，2y）。又 l1，l2 过点 p（2，4），且 l1l2papb，从而 kpakpb1，注意到 l1x 轴时，l2y

21、轴，此时 a（2，0），b（0，4）中点 m（1，2），经检验，它也满足方程 x2y50综上可知，点 m 的轨迹方程为 x2y50。【点评】1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了 kpakpb1，这些等量关系用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 o：x2 +y2= 4 外一点 a（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦 bc 的中点 m 的轨迹解法一：“几何法”设点

22、 m 的坐标为（x,y）,因为点 m 是弦 bc 的中点，所以 ombc,所以|om | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16化简得：（x2）2+ y2 =4由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 m 的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以 m 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 o 内的部分。解法二：“参数法”设点 m 的坐标为（x,y），b（x1,y1）,c（x2,y2）直线 ab 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0 (*),由点 m 为 bc 的中点，

23、所以 x=.(1) , 又 ombc，所以 k=(2)由方程（1）（2）消去 k 得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.所以点 m 的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以 m 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 o 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4.轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 a、b、m，其中 a 为定点，而 b、m 为动点，且点 b 的运动是有规律的，显然 m 的运动是由 b 的运动而引发的，可见 m、b 为相关点，故采用相关点法求动点 m 的轨迹方程。【解析】设动点 m 的坐标为（x，y），而设 b 点坐标为

24、（x0，y0）则由 m 为线段 ab 中点，可得即点 b 坐标可表为（2x2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 p(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，a、b 是圆上两动点，且满足apb=90，求矩形 apbq的顶点 q 的轨迹方程【解析】： 设 ab 的中点为 r，坐标为(x,y)，则在 rtabp 中，|ar|=|pr|又因为 r 是弦 ab 的中点，依垂径定理在rtoar 中，|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此

25、点 r 在一个圆上，而当 r 在此圆上运动时，q 点即在所求的轨迹上运动设 q(x,y)，r(x1,y1)，因为 r 是 pq 的中点，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（i） 若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（ii） 在 轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知，设，解法一：（i）设，则 则，由得即qq 群：238455466于是的中点坐标为当不与 轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减

26、得，即将代入上式，化简得当与 轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是（ii）假设在 轴上存在定点，使为常数当不与 轴垂直时，设直线的方程是 代入有则是上述方程的两个实根，所以， 于是因为是与 无关的常数，所以，即，此时=当与 轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（i）同解法一的（i）有当不与 轴垂直时，设直线的方程是 代入有则是上述方程的两个实根，所以由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与 轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（ii） 假设在 轴上存在定点点，使为常数，当不与 轴垂直时，由（i）有， 以上同解法一

27、的（ii）【误区警示】1. 错误诊断【例题 5】中，b，c 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，求点 a 的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|ab|+|ac|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为【错因剖析】abc 为三角形，故 a，b，c 不能三点共线。【正确解答】abc 为三角形， 故 a， b， c 不能三点共线。轨迹方程里应除去点， 即轨迹方程为2. 误区警示1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后， 应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥

28、法外， 要将其“捉拿归案”。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。【课外作业】【基础训练】1: 已知两点给出下列曲线方程： ； ； ； ，在曲线上存在点 p 满足的所有曲线方程是（）abcd【答案】:d【解答】: 要使得曲线上存在点 p 满足,即要使得曲线与 mn 的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 d2. 两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 o 作圆的弦 0

29、a，则弦的中点 m 的轨迹方程是 .【解答】:令 m 点的坐标为(,则 a 的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数 m 随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 。【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数 m 得：故所求动点的轨迹方程为。5:点 m 到点 f（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，则点 m 的轨迹方程为 。【分析】：点 m 到点 f（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，意味着点 m 到点 f（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点

30、 m 的轨迹方程。【解答】：依题意，点 m 到点 f（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点 m 的轨迹是以 f（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为 【分析】:设动点为 p，由题意，则依照点 p 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 a、b 两点，动点 c 在抛物线上，求abc 重心 p 的轨迹方程。【分析】：抛物线的焦点为。设abc 重心 p 的坐标为，点 c 的坐标为。其中【解答】：因点是重心，则由

31、分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（【能力训练】8. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 f（，0），直线 y=x1 与其相交于 m、n 两点，mn 中点的横坐标为， 求此双曲线方程。【解答】：设双曲线方程为。将 y=x1 代入方程整理得。由韦达定理得。又有 ，联立方程组，解得。此双曲线的方程为 。9. 已知动点 p 到定点 f（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 p 的轨迹方程。【解答】：设点 p 的坐标为（x，y），则由题意可得。（1） 当 x3 时，方程变为，化简得。（2） 当 x3 时，方程变为，化简得 。故所求的点 p 的轨迹方程是或 10. 过原点

32、作直线 l和抛物线交于 a、b 两点，求线段 ab 的中点 m 的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程 ， 得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。由消去 k 得。又，所以。点 m 的轨迹方程为。【创新应用】11. 一个圆形纸片，圆心为 o，f 为圆内一定点，m 是圆周上一动点，把纸片折叠使 m 与 f 重合，然后抹平纸片，折痕为 cd，设 cd 与 om 交于 p，则 p 的轨迹是（）a:椭圆b:双曲线c:抛物线d:圆【答案】：a【解答】：由对称性可知|pf|=|pm|，则|pf|+|po|=|pm|+|po|=r（r 为圆的半径），则 p 的轨迹是椭圆，选 a第 7 关： 参数方程与极坐标问题“考点