第四章 折现因子(资产定价-北大,史树中).ppt

1、第一部分 资产定价理论,第四章 折现因子,资产定价 Asset Pricing 4,2,本章要点,本章要讨论的问题是：“一个折现因子刚好是某个随机变量，它由偿付生成价格， p=E(mx). 这个表达式意味着什么？是否总能求得这样的折现因子？” 两条定理：1. 存在折现因子使所有偿付可用 p=E(mx) 定价当且仅当单一价格法则成立。2.存在正折现因子使所有偿付可用 p=E(mx) 定价当且仅当无套利机会。,资产定价 Asset Pricing 4,3,4.1 单一价格法则和折现因子的存在性,单一价格法则的定义：价格是线性函数。 单一价格法则等价于折现因子存在。 讨论的框架是不完全（未定权益）市

2、场。 定义偿付空间 X，其含义是所有可交易的偿付。它是 S 维空间的一个线性子空间。即它满足 (A1) (自由组合形成),资产定价 Asset Pricing 4,4,单一价格法则,(A2) (单一价格法则，线性性) 定理：给定自由组合形成 A1 和单一价格法则 A2, 存在唯一的偿付 ，使得 对于所有 成立。,资产定价 Asset Pricing 4,5,几何证明,X 是偿付空间的一个线性子空间。,资产定价 Asset Pricing 4,6,几何证明（续）,价格为常数的集合是偿付空间中的一个超平面。 超平面的法向量就可形成 x*.,资产定价 Asset Pricing 4,7,代数证明,我

3、们把 X 看作由 N 个 S 维向量 张成的向量空间。它们的价格为 N 维向量 偿付空间中的元素都可用这 N 个向量的线性组合来表示：,资产定价 Asset Pricing 4,8,代数证明（续）,所求 x* 也有同样的形式，从而它满足 由此得到 这里可要求方阵 可逆。从而 。这个x* 满足下列要求：,资产定价 Asset Pricing 4,9,定理说了什么和没说什么？,定理说 x* 在 X 中是唯一的，但是没有说m 是唯一的。当 X 不是 S 维空间（完全市场）时，满足条件的 m=x*+ 有无限多个，其中 与 X 正交。,资产定价 Asset Pricing 4,10,定理说了什么和没说什

4、么？（续）,“x* 是任何随机折现因子 m 在偿付空间 X 上的射影。这是一个非常重要的事实：任何折现因子 m 对于偿付集 X 的定价含义都与 m 在 X 上的射影的定价含义是一样的。” 代数上，,资产定价 Asset Pricing 4,11,定理说了什么和没说什么？（续）,“上面，我们从投资者或未定权益市场出发，导出了折现因子。p=E(mx) 蕴含定价函数的线性性，以至的单一价格法则，这是在这些状况下的一条非常鲜明的陈述。这里，我们反方向工作。市场是不完全的，其中未定权益对某些自然状态而言是不可采纳的。我们发现单一价格法则蕴含一个线性定价函数，而线性定价函数蕴含至少存在一个折现因子。”,资

5、产定价 Asset Pricing 4,12,定理说了什么和没说什么？（续）,“我们允许任意的组合形成，以及某种完全性对于结果来说是重要的。如果一个投资者不能形成一个组合 ax+by, 他们不能够强求这个组合的价格等于它的组成成分的价格。单一价格法则不是兼蓄并收的；它是一个关于偏好的假定，尽管它很弱。定理的要点在于，正是关于偏好的足够多的信息，来导出折现因子的存在。”,资产定价 Asset Pricing 4,13,4.2 无套利和正折现因子,无套利的定义：正偿付蕴含正价格。存在严格正折现因子 m 使得 p=E(mx) 当且仅当无套利机会。 具体地说，偿付空间 X 和定价函数 p(x) 无套利

6、机会是指每个满足总 (几乎肯定)非负(x0)、而又以正概率为正 (x0) 的偿付 x 总有正价格 p(x)0. 注意套利的含义，大多数人把套利理解为单一价格法则不成立。,资产定价 Asset Pricing 4,14,基本定理,定理 1：p=E(mx) 和 m(s)0 蕴含无套利。 这一定理的证明非常简单。 定理 2：无套利蕴含存在严格正的折现因子 m0, 使得 p=E(mx) xX. 这一定理在完全市场情形的证明很简单，但是对于不完全市场，证明很困难。,资产定价 Asset Pricing 4,15,无套利蕴含 m0 的反例,如果m0 不成立，那么如图可以看出套利的存在。,资产定价 Asse

7、t Pricing 4,16,完全市场时的定理 2 的证明,无套利蕴含单一价格法则，故存在 x* 使得 p=E(x*x), 并且在完全市场中它是唯一的。假设对于某些状态 x*0. 那么对于在这些状态上为一，其他状态为零的偿付 x 是严格正的。但是它的价格 是负的。与无套利矛盾。 也可由 Arrow-Debreu 证券的价格都是正的来证明。,资产定价 Asset Pricing 4,17,不完全市场时的定理 2 的证明,这时需要从 m=x*+中选取特殊的 。,资产定价 Asset Pricing 4,18,不完全市场时的定理 2 的证明（续）,令 这是 中的线性子空间。由无套利假设，它与 只相交

8、于0点。（由凸集分离定理）存在线性函数 ，使得 对于这个 F，存在 ，使得 由此可得 m 必须是正的。,资产定价 Asset Pricing 4,19,定理说了什么和没说什么？,定理说折现因子 m0 存在，但并没有说 m0 是唯一的。 定理说折现因子 m0 存在，但并没有说 每个折现因子 m 都是正的。 定理表明，我们可以把任何定义在 X 上的定价函数延拓到整个 ，并且仍然没有任何套利机会。,资产定价 Asset Pricing 4,20,定理说了什么和没说什么？（续）,严格正的折现因子可想象为可能的未定权益（Arrow-Debreu 证券）的价格。 一个观察到的价格和偿付的不完全集合是否可能由某个完全市场，未定权益经济来生成？答案是肯定的，尤其是其中还可保持无套利性。这样的完全市场和定价函数有无限多个。 无套利是另一个偏好和市场均衡的非常弱的特征。,资产定价 Asset Pricing 4,21,4.3 一个取代公式,前面公式中的 是一个二阶矩矩阵。对实际应用来说，更好的是取协方差矩阵。由此可得 其中 这只需注意到 但是对这个和求逆不太方便。,资产定价 Asset Pricing 4,22,怎样求 x*?,这样 x* 就可看作偿付的震荡的线性函数： 再由 可解得 如果无风险利率可交易，则 一般情况