第五章梁弯曲时的位移.ppt

1、1,第五章 梁弯曲时的位移, 梁的挠曲线近似微分方程及其积分, 按叠加原理计算梁的挠度和转角, 梁的刚度校核 提高梁刚度的措施, 梁的位移 挠度及转角, 梁内的弯曲应变能,返回,2,一、基本概念,1. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面,5-1 梁的位移 挠度及转角,3,（1）挠度（ w）: 横截面形心 C ( 即轴线上的点 ) 在垂直于 x 轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。,2. 度量梁变形后横截面位移的两个基本量,4,（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该 截面的转角。,y,A,B,x,5

2、,二、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。,挠曲线方程为,式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。,挠曲线,y,A,B,x,6,三、挠度与转角的关系：,挠曲线,y,A,B,x,7,四、挠度和转角符号的规定,挠度：向下为正，向上为负。,转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。,挠曲线,y,A,B,x,8,横截面形心铅垂方向的位移挠度 w,横截面相对于初始位置转过的角度转角 ,梁的横截面产生两种主要位移：,简支梁弯曲时的总体变形,微段变形累加的结果,9,五、梁的位移分析的工程意义,1.齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使

3、用寿命；若变形过大，使传动失效。,变形带来的弊端：,10,五、梁的位移分析的工程意义,当变形足够大时，可以有效接通电路；,当变形不够大时，不能有效接通电路；,2.继电器中的簧片,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,11,横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移 的影响, 则,一、梁的挠曲线近似微分方程,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,12,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,13,在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。,w 0 , M 0,w 0,因此, M 与 w 的正负号相反,曲线向下凸 时 ：,曲

4、线向上凸 时 :,14,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w2 项。,与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为,15,再积分一次, 得挠度方程,上式积分一次得转角方程,若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成,16,二、用积分法求弯曲变形,挠度方程：,转角方程：,式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。,17,在简支梁中， 左右两铰支座处的 挠度 wA 和 wB 都应等于零。,在悬臂梁 中，固定端处的挠度 w 和转角 A 都应等于零。,边界条件,wA= 0,w

5、B = 0,wA= 0,A= 0,18,连续性条件,在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。,19,例题1：确定梁的连续条件,A,B,C,D,F,G,20,例题2：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其 最大挠度 wmax 和最大转角 max .,21,弯矩方程为,解：,挠曲线的近似微分方程为,22,对挠曲线近似微分方程进行积分,23,边界条件为 :,C1=0 C2=0,将边界条件代入(3) (4)两式中,可得,24,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,C1=0 C2=0,25,26,例题3：图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,

6、 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max .,27,解: 由对称性可知，梁的两个支座力为,28,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,29,30,边界条件为 :,31,将边界条件代入 (c) , (d) 两式得,梁的转角方程和挠度方程分别为,32,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,33,在梁跨中点 l/2 处有 最大挠度值,34,例题4 ：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力F 的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其 最大挠度和最大转角。,35,解: 梁的两个支反力为

7、,36,两段梁的弯矩方程分别为,37,两段梁的挠曲线方程分别为,38,代入方程可解得:,39,将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,40,41,当 a b时，x1 a 最大挠度确实在第一段梁中,42,梁中点 C 处的挠度为,结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.,43,44,例题5：计算等强度梁的最大挠度,45,解：,I 为固定端截面的惯性矩,46,47,48,边界条件：,49,转角方程：,挠度方程：,50

8、,将 x = 0 代入上式得自由端的转角，挠度,51,5-3 按叠加法求计算梁的挠度和转角,叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力） 同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独 作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所 引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其 转角是在同一平面内( 如均在 xy 平面内 ) 时, 则叠加就是代数和,这就是叠加原理。,52,例题6：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的 转角 A , B 。,53,解：将梁上荷载分

9、为两项简单 的荷载，如图。b,c 所示,(b),B,B,(C),54,(b),B,B,(C),55,例题:试利用叠加法， 求图所示抗弯刚度为 EI 的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角 A , B 。,56,解： 可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,57,（1）正对称荷载作用下,58,（2）反对称荷载作用下,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度 为 l /2 的简支梁,在跨中C截面处，挠度 fc 等于零 ，但 转角不等于零 且该截面的 弯矩也等于零,59,C,A,B,60,将相应的位移进行叠加, 即得,61,62,解：将外伸梁沿 B 截面截成两段，将AB 段看成

10、B 端 固定的悬臂梁，BC 段看成简支梁。,63,B 截面两侧的相互作用 力为：,2qa,64,就是外伸梁 AC 的 B ，fD,简支梁 BC 的受力情况 与外伸梁 AC 的 BC 段的 受力情况相同,由简支梁 BC 求得的 B ，wD,65,简支梁 BC 的变形就是 MB 和均布荷载 q 分别 引起变形的叠加。,66,(1)求 B ，wD,67,由叠加原理得,68,(2) 求 wA,由于简支梁上 B 截面的转动，代动 AB 段一起作刚体运 动，使 A 端产生挠度 w1,悬臂梁 AB 本身的弯曲变形，使 A 端产生挠度 w2,2qa,2qa,69,因此，A端的总挠度应为,由附录 1V 查得,2

11、qa,2qa,70,5-5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施,一、梁的刚度校核,式中：wmax 为梁上最大的挠度；l 为梁的跨长； w / l 为 梁的许可挠度与的跨长比值。,71,梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有 关外，还取决于以下三个因素：,材料 梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；,截面 梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；,跨长 梁的位移与跨长 l 的 n 次幂成正比。,二、提高梁的刚度的措施,72,1. 增大梁的抗弯刚度 EI,工程中常采用工字形, 箱形截面,为了减小梁的位移，可采取下列措施,2. 调整跨长和改变结构,设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。

12、这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。,73,桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了 缩短跨长而减小梁的最大挠度值。,A,B,q,74,A,B,q,同时，由于梁的外伸部分的 自重作用，将使梁的 AB 跨 产生向上的挠度，从而使AB 跨向下的挠度能够被抵消 一部分，而有所减小。,增加梁的支座也可以减小 梁的挠度。,75,5 - 6 梁内的弯曲应变能,一、梁在纯弯曲时的应变能,梁在纯弯曲时，各横截面 的弯矩 M 都等于外力偶矩 m ，在线弹性范围内有,曲率：,圆心角：,76, 与 m 成线性关系,外力偶所做的功,纯弯曲时梁的应变能,77,二、横力弯曲时梁的应变能,横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能 和 剪切应变能。,在工程中常用的梁，剪切应变能比弯曲应变能小的多， 因而剪切应变能不计。,取一微梁段,因弯矩的增量是一阶无穷小， 可略去不计。,78,所以这段梁的应变能为,全梁的应变能为,式中： M(x) 为梁任横截面上的弯矩表达式。,79,由于,于是,以上应变能的公式只有当梁在线弹性范围内工作时才适用。,80,例题：弯曲刚度为 EI 的梁悬臂受一集中荷载 F 作用。试求 梁内的应变能 Ve ，并利用功能原理求 A 端的挠度 wA 。,wA,81,解：由功能原理，荷载作功等于梁内的应变能,荷载作功为,wA