提高篇——动态规划专题课件

1、提高篇动态规划专题,1,学习交流PPT,动态规划 递归 递推,一种精妙的算法思想。 特点： 没有固定的写法 具体问题具体分析 需要： 多练习、多思考、多总结,2,学习交流PPT,什么是动态规划,最优化问题,1,复杂问题,2,分解子问题,3,记录每个解,4,Dynamic Programming,动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想。将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。动态规划会将每个求解过的子问题的解记录下来，这样可以提高计算效率，但不能说这种做法就是动态规划的核心。,3,学习交流PPT,动态规划的递归写法,【理解】如何记录子问题的解，来避

2、免下次遇到相同的子问题时的重复计算。,斐波那契数列：F0=1,F1=1, Fn=Fn-1+Fn-2(n=2),int F(int n) if (n=0|n=1) return 1; else return F(n-1)+F(n-2); ,一般可以使用递归或者递推的写法来实现动态规划，其中递归写法在此处又称作记忆化搜索。,缺点：重复计算。当n=5时，F(5)=F(4)+F(3),接下来计算F(4)=F(3)+F(2),这样F(3)就被计算了两次。如果n很大，时间复杂度会高达O(2n)。,4,学习交流PPT,避免重复计算,开一个一维数组dp，用于保存已经计算过的结果，其中dpn记录F(n)的结果，

3、并用dpn=-1表示F(n)当前还没有被计算过。 int dpmaxn; int F(int n) if (n=0|n=1) return 1; /递归边界 if (dpn!=-1) return dpn; /已经计算过，直接返回结果，不再重复计算 else dpn=F(n-1)+F(n-2); /计算F(n)，并保存至dpn return dpn; /返回F(n)的结果 ,记忆化搜索,时间复杂度O(2n)降到了O(n),5,学习交流PPT,时间复杂度对比图,斐波那契数列递归图O(2n),斐波那契数列记忆化搜索O(n),6,学习交流PPT,重叠子问题（Overlapping Subproble

4、ms）,如果一个问题可以被分解为若干个子问题，且这些子问题会重复出现，那么就称这个问题拥有重叠子问题。 一个问题必须拥有重叠子问题，才能使用动态规划去解决。,7,学习交流PPT,动态规划的递推写法,8,学习交流PPT,动态规划的递推写法,如果开一个二维数组f，其中fij存放第i层的第j个数字，那么就有f11=5,f21=8,f22=3,f31=12,f54=9,f55=4。 如果尝试穷举所有路径，然后记录路径上的数字和的最大值，那么由于每层中的每个数字都会有两条分支路径，因此时间复杂度为O(2n)，这在n很大的情况下是不可以接受的。那么，产生这么大复杂度的原因是什么？ 从5出发，按587的路线

5、来到7，并枚举从7出发的到达最底层的所有路径。但是，之后当按537的路线再次来到7时，又会去枚举从7出发的到达最底层的所有路径，这就导致了从7出发的到达最底层的所有路径都被反复地访问。其实，可以把路径上能产生的最大和记录下来，这样就可以避免重复计算。 所以令dpij表示从第i行第j个数字出发的到达最底层的所有路径中能得到的最大和，例如dp32就是7的最大和。那么dp11就是最终答案，现在想办法求出它。 注意一个细节：如果要求出“从位置（1,1）到达最底层的最大和”dp11，那么一定要先求出它的两个子问题“从位置（2,1）到达最底层的最大和dp21”和“从位置（2,2）到达最底层的最大和dp22

6、”，即进行了一次决策：走数字5的左下还是右下。于是dp11就是dp21和dp22的较大值加上5。公式：dp11=max(dp21,dp22)+f11,9,学习交流PPT,动态规划的递推写法,归纳：如果要求出dpij，那么一定要求出它的两个子问题“从位置(i+1,j)到达最底层的最大和dpi+1j”和“从位置(i+1,j+1)到达最底层的最大和dpi+1j+1”，即进行了一次决策：走位置(i,j)的左下还是右下。公式： dpij=max(dpi+1j,dpi+1j+1)+fij 把dpij称为问题的状态，公式称为状态转移方程，它把状态dpij转移为dpi+1j和dpi+1j+1。可以发现，状态d

7、pij只与第i+1层的状态有关，而与其他层的状态无关。那么如果总是将层号增大，什么时候会到头呢？其实，数塔的最后一层的dp值总是等于元素本身，即dpnj=fnj(1=j=n)，把这种可以直接确定其结果的部分称为边界，而动态规划的递推写法总是从这些边界出发，通过状态转移方程扩散到整个dp数组。 这样就可以从最底层各位置的dp值开始，不断往上求出每一层各位置的dp值，最后就会得到dp11，即为想要的答案。,10,学习交流PPT,动态规划的递推写法（代码）,#include #include using namespace std; const int maxn=1000; int fmaxnmax

8、n,dpmaxnmaxn; int main() int n; cinn; for(int i=1;ifij; /输入数塔 for(int j=1;j=1;i-) for(int j=1;j=i;j+) dpij=max(dpi+1j,dpi+1j+1)+fij; /动态转移方程 coutdp11endl; return 0; ,11,学习交流PPT,动态规划的递推写法,输入数据 5 5 8 3 12 7 16 4 10 11 6 9 5 3 9 4,输出结果 44,12,学习交流PPT,动态规划的递推写法,对比递归和递推写法： 递归也可实现（即从dp11开始递归，直至到达边界时返回结果）。是

9、自顶向下（Top-down Approach），即从目标问题开始，将它分解成子问题的组合，直到分解至边界为止。 递推是从底向上（Bottom-up Approach），即从边界开始，不断向上解决问题，直到解决了目标问题。,概念：如果一个问题的最优解可以由其子问题的最优解有效地构造出来，那么称这个问题拥有最优子结构（Optimal Substructure）。,13,学习交流PPT,可以使用动态规划的条件,一个问题必须拥有重叠子问题和最优子结构，才能使用动态规划去解决。,14,学习交流PPT,分治与动态规划,相同点：将问题分解为子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解。 不同点：分治的子问题不重

10、叠。动态规划的问题拥有重叠子问题。 例如：归并排序和快速排序都分别处理左序列和右序列，然后将左右序列的结果合并，过程中不出现重叠子问题，因此他们使用的都是分治法。另外，分治法解决的问题不一定是最优化问题，而动态规划解决的问题一定是最优化问题。,15,学习交流PPT,贪心与动态规划,相同点：要求原问题必须有最优子结构。 不同点：贪心法的计算方式“自顶向下”，但并不等待子问题求解完毕后再选择使用哪一个，而是通过一种策略直接选择一个子问题去求解，没被选择的子问题直接抛弃。这种所谓“最优选择”的正确性需要用归纳法证明。而动态规划不管是采用自底向上还是自顶向下的计算方式，都是从边界开始向上得到目标问题的

11、解（即考虑所有子问题）。 贪心：壮士断腕的决策，只要选择，绝不后悔。 动态规划：要看哪个选择笑到最后，暂时领先说明不了问题。,16,学习交流PPT,最大连续子序列和,【问题描述】 给定一个数字序列A1,A2,An,求i,j(1=i=j=n),使得Ai+Aj最大，输出这个最大和。 【样例】 输入：-2 11 -4 13 -5 -2 输出：20,17,学习交流PPT,步骤1：令状态dpi表示以Ai作为末尾的连续序列的最大和（Ai必须作为末尾）。,那么dp0=-2 dp1=11 dp2=7 (11+(-4)=7) dp3=20 (11+(-4)+13=20) dp4=15 (11+(-4)+13+(

12、-5)=15) dp5=13 (11+(-4)+13+(-5)+(-2)=13) 于是转换成求dp0,dp1,dpn-1中的最大值，想办法求解dp数组。,原序列：-2 11 -4 13 -5 -2,18,学习交流PPT,步骤2：因为dpi以Ai结尾的连续序列，那么只有两种情况：,这个最大和的连续序列只有一个元素，即Ai。dpi=Ai 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处Ap开始(pi)，一直到Ai结尾。dpi=dpi-1+Ai 状态转移方程： dpi=maxAi,dpi-1+Ai 边界dp0=A0，从小到大枚举i，即可得到整个dp数组。,19,学习交流PPT,#include #inc

13、lude #include #include using namespace std; const int maxn=10010; int Amaxn,dpmaxn;/Ai存放序列，dpi存放以Ai结尾的连续序列的最大和 int main() int n; scanf(%d,20,学习交流PPT,for(int i=1;idpk) k=i; printf(%dn,dpk);/coutdpk)endl; system(pause); return 0; ,21,学习交流PPT,状态的无后效性,当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上

14、进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。 即每次计算状态dpi，都只会设计dpi-1，而不直接用到dpi-1蕴含的历史信息。,22,学习交流PPT,动态规划核心,对动态规划可解的问题来说，总会有很多设计状态的方式，但并不是所有状态都具有无后效性，因此必须设计一个拥有无后效性的状态以及相应的状态转移方程，否则动态规划就没有办法得到正确结果。事实上，如何设计状态和状态转移方程，才是动态规划的核心，而它们也是动态规划最难的地方。,23,学习交流PPT,问题 A: 最大连续子序列（时间限制:1 Sec内存限制:32 MB）,题目描述 给定K个整数的序列N1,N2,.,NK，其任意连续子序列可

15、表示为Ni,Ni+1,.,Nj，其中1=i=j=K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列-2,11,-4,13,-5,-2，其最大连续子序列为11,-4,13，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。 输入 测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K(K=10000)，第2行给出K个整数，中间用空格分隔，每个数的绝对值不超过100。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。 输出 对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小

16、的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。,24,学习交流PPT,样例输入 5 -3 9 -2 5 -4 3 -2 -3 -1 0 样例输出 12 9 5 0 -2 -1,25,学习交流PPT,提示（较难）,首先可以想到的做法是枚举每个区间的和，预处理sumi来表示区间1,i的和之后通过减法我们可以O(1)时间获得区间i,j的和，因此这个做法的时间复杂度为O(n2)。 然后这题的数据范围较大，因此还需作进一步优化才可以AC。记第i个元素为ai，定义dpi表示以下标i结尾的区间的最大和，那么dpi的计算有2种选择，一种是含有ai-1，一

17、种是不含有ai-1，前者的最大值为dpi-1+ai，后者的最大值为ai。而两者取舍的区别在于dpi-1是否大于0。,26,学习交流PPT,最长不下降子序列（LIS）,【问题描述】 在一个数字序列中，找到一个最长的子序列（可以不连续），使得这个子序列是不下降（非递减）的。 【样例】 输入：8 1 2 3 -1 -2 7 9 输出：5（长度）/即1 2 3 7 9,27,学习交流PPT,令dpi表示以Ai结尾的最长不下降子序列长度（和最大连续子序列和问题一样，以Ai结尾是强制的要求）。这样对Ai俩说就会有两种可能： （1）如果存在Ai之前的元素Sj(jdpi（即把Ai跟在以Aj结尾的LIS后面时能

18、比当前以Ai结尾的LIS长度更长），那么就把Ai跟在以Aj结尾的LIS后面，形成一条更长的不下降子序列（令dpi=dpj+1）。 （2）如果Ai之前的元素都比Ai大，那么Ai就只好自己形成一条LIS，但是长度为1，即这个子序列里面只有一个Ai。 最后以Ai结尾的LIS长度就是（1）（2）中能形成的最大长度。,28,学习交流PPT,状态转移方程,dpi=max1,dpj+1 (j=1,2,i-1 const int N=100; int AN,dpN; int main() int n; cinn; for(int i=1;iAi; int ans=-1; /记录最大的dpi for(int i

19、=1;i=Aj /状态转移方程，用以更新dpi ,ans=max(ans,dpi); coutansendl; return 0; ,30,学习交流PPT,问题 A: 最长上升子序列（2 Sec64 MB）,题目描述 一个数列ai如果满足条件a1a2 . aN，那么它是一个有序的上升数列。我们取数列(a1,a2, .,aN)的任一子序列(ai1,ai2, .,aiK)使得1 =i1i2 . iK=N。例如，数列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)的有序上升子序列，像(1, 7)，(3, 4, 8)和许多其他的子序列。在所有的子序列中，最长的上升子序列的长度是4，如(1, 3, 5, 8)

20、。 现在你要写一个程序，从给出的数列中找到它的最长上升子序列。 输入 输入包含两行，第一行只有一个整数N（1 = N = 1000），表示数列的长度。 第二行有N个自然数ai，0 = ai= 10000，两个数之间用空格隔开。 输出 输出只有一行，包含一个整数，表示最长上升子序列的长度。 样例输入 7 1 7 3 5 9 4 8,样例输出 4,31,学习交流PPT,最长公共子序列（LCS）,给定两个字符串（或数字序列）A和B，求一个字符串，使得这个字符串是A和B的最长公共部分（子序列可以不连续）。 样例： 如样例所示，字符串“sadstory”与“adminsorry”的最长公共子序列为“ad

21、sory”，长度为6。,32,学习交流PPT,令dpij表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS长度（下标从1开始），如dp45表示“sads”与“admin”的LCS长度。那么可以根据Ai和Bj的情况，分为两种决策： （1）若Ai=Bj，则字符串A与字符串B的LCS增加了1位，即有dpij=dpi-1j-1+1。 （2）若Ai!=Bj，则字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS无法延长，因此dpij将会继承dpi-1j与dpij-1中的较大值，即有dpij=maxdpi-aj，dpij-1。,33,学习交流PPT,状态转移方程：,边界：dpi0=dp0j=0(0=i=n,0=i=m) 时间复杂度：O(nm) 输入数据： sadstory adminsorry,输出结果： 6,34,学习交流PPT,最长回文子串,给出一个字符串S，求S的最长回文子串的长度。 样例： 字符串“PATZJUJZTACCBCC”的最长回文子串为“ATZJUJZTA”，长度为9。,35,学习交流PPT,最长回文子串,是否能转换为最长公共子序列（LCS）来求解？ 把字符串S倒过来变成字符串T，然后对S和T进行LCS模型求解