常微分方程课件

1、第五章 常微分方程,1.可分离变量的微分方程 2.一阶线性微分方程 3.可降阶的二阶微分方程 4.二阶常系数微分方程,微分方程：一般地，我们称表示未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程为微分方程。例如：y+xy=2x,ydy=2xdx 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程是偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如： y=2x 是一阶的,y +(y)3=2xy是二阶的,基本概念,一般地，n阶微分方程的形式为 F(x,y,y,y,y(n)=0, （） 其中y(n)必

2、须出现，其他均可省略。,微分方程的解 如果函数y=y(x)满足方程(),即将y=y(x)及其 各阶导数代入方程()恒成立，则称函数y=y(x)为方程()的解。 例如： y=x2， y=x2+3， y=x2+C都是一阶微分方程 的解。 微分方程的通解： 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程 的阶数。则称这样的解是微分方程的通解。 例如： y=x2+C是一阶微分方程 的通解。 又如：y=c1cosx+c2sinx是二阶微分方程y+y=0的通解,微分方程的特解： 确定了任意常数的解为微分方程的特解 例如：y=2cosx+3sinx是二阶微分方程y+y=0的特解 初始条件： 一

3、阶微分方程的初始条件为 当x=x0时，y=y0或者 二阶微分方程的初始条件是 当x=x0时，y=y0,y=y1时，或者写成 其中x0,y0,y1都是给定的值,初值问题：求微分方程满足初始条件的特解问题成为微分方程的初值问题。例如：,5.2一阶微分方程,1.可分离变量的微分方程,2.齐次方程,3.一阶线性微分方程,Q(x)=0， 方程为一阶线性齐次微分方程,Q(x) 0, 为一阶线性非齐次微分方程,1.可分离变量的微分方程的解法,形如 的微分方程为可分离变量的微分方程 解法：先分离变量 两边分别积分 即可得解,例1：求微分方程 的通解,解：分离变量得,两边积分,得,例3：求初值问题 的特解,解：

4、分离变量得：,两边积分得,方程通解为,又因为x=-2时y=4,所以初值问题的解为,07.04,9.微分方程的通解为,19.求微分方程 的通解,07.10,二,07.10,09.04,X2+y2=C,2.齐次方程：,如果一阶微分方程 中的f(x,y)可以表示为 ，则方程化为,我们称这种方程为齐次方程,2.齐次方程的解法,令 ，则,代入原方程得,即,为可分离变量的微分方程，求解即可,例8：解微分方程,解：由原方程得,即,令,分离变量得,两边积分得,将 代入，得原方程的解为,3.一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得

5、,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,09.04,微分方程y-y=x2+1是（ ）,A.一阶线性微分方程 B.二阶线性微分方程 C.齐次微分方程 D.可分离变量的微分方程,A,(09.04),的通解为,说明：注意用变量代换将方程化为已知类型的方程,例13, 解方程,解：取 y 作自变量:,是关于y的线性方程,其中P(y)=-1,Q(y)=y，利用以下公式计算即可。,(09.10),D,20.已知曲线y=f(x)上任意点(x,y)处的切线斜率为 y-x，且曲线过原点，求此曲

6、线方程。,解：由题意知y=y-x即y-y=-x，所以,又因为y(0)=0,所以C=-1 所以所求曲线方程为y=x+1-ex,08.10,08.10,4.下列微分方程中为线性微分方程的是（ ）,B,20.求微分方程 的通解。,参考答案：,08.04,20.求微分方程 的通解。,(07.04),参考答案：,5.3可降阶的二阶微分方程,1. 型的微分方程,2. 型的微分方程,3. 型的微分方程,1.,即,依次通过 2 次积分, 可得含 2个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1：求微分方程 y=e3x-sinx 的通解,解：对方程两边连续积分两次，得,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为

7、,则得,再一次积分, 得原方程的通解,2.,例3：求二阶微分方程y=y+x的通解。,解：令y=p,则y=p,代入原方程得 p=p+x即 p-p=x,此方程为以x为自变量,以p为函数的一阶线性微分方程,因此由公式知：,两边积分得,其中P(x)=-1,Q(x) =x,例4. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,3.,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,这是一个以y为自变量，以p为未知函数的,一阶微分方程,例5：求二阶微分方程 2yy+y2=0 的通解,解：这是 型的二阶微分方程,令p=y,则,代入

8、原方程得,这是以y为自变量，以p为未知函数的可分离变量的微分方程,分离变量得,两边积分得,分离变量得,两边积分得：,所以,9.微分方程,的一个特解,2010.07,(10.4),5.4二阶线性微分方程解的结构,1.二阶线性齐次微分方程,2.二阶线性非齐次微分方程,程称为二阶线性微分方程.,称为二阶线性齐次微分方程.,称为二阶线性非齐次微分方程.,1二阶线性微分方程的定义,形如,这样的微分方程,/,或者,2.两个函数的线性相关性,设y1(x)与y2(x)是定义在区间I上的两个函数，如果存在常数,使得对于一切xI,都有y1(x)=y2(x),则称y1(x)与y2(x)在区间I上线性相关，否则称他们

9、线性无关。,例如：在R上，,sinx与cosx,sinxcosx与sin2x,线性无关，,线性相关,定理2：设y1(x)与y2(x) 是二阶线性齐次微分方程两个线性无关,的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x) 是该方程的通解,其中C1、C2为任意常数,3.二阶线性齐次微分方程解的结构,定理1：设y1(x)与y2(x)都是二阶线性齐次微分方程的解，则对,任意常数C1、C2都有y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解,3.二阶线性非齐次微分方程解的结构,定理3：设y*(x)是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，,y(x)是对应的齐次微分方程的通解，则,是二阶线性非齐次微分方程()的通解,

10、y=y(x)+y*(x),定理4：若二阶线性非齐次微分方程的右端f(x)=f1(x)+f2(x),y1* (x)与y2* (x)分别是,与,的解,则y1* (x)+y2* (x) 是,5.5二阶常系数线性微分方程,1.二阶常系数线性非齐次微分方程,2.二阶常系数线性齐次微分方程,二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的一般形式是 y+ py+qy=f(x)， 其中p、q均为常数。 二阶常系数线性齐次微分方程： y+ py+qy=0 二阶常系数线性非齐次微分方程： y+ py+qy=f(x) (f(x)0),1.二阶常系数齐次线性微分方程,考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使yp

11、yqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解,分析,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,特征方程： r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程。,特征根： r2+pr+q=0的根r1、r2叫做微分方程y+py+qy=0的特征根,(1) p2-4q0时方程有两个不等实根r1、r2,微分方程有两个线性无关的特解,所以微分方程的通解为,(2). p2-4q=0有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解

12、为,特征根为,特征方程r2+pr+q=0,(3). p2-4q0有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,(1)特征方程有两个相异实根r1、r2时，通解为,特征方程的根与通解的关系：,(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时，通解为,(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a ib 时，通解为 y=eax (c1cos b x+c2sin b x)。,特征方程： r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程。,可以验证eaxcosb、eaxsinb是方程的两个线性无关的解。,下页,求微分方程 y+ py+qy=0 的通解的步骤为： 第一步 写出微分方程的特征方程

13、r2+pr+q=0。 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2。 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况，按照写出微分方程的通解。,下页,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解：,特征方程为,解得,故所求通解为,例,20. 求微分方程y+ y-12y=0的通解.,09.10,20.求微分方程 满足初始条件.,10.04,的特解,(07.10),(A),(09.04),9.微分方程y+4y=0的通解为y=,08.04,C1sin2x+C2cos2x,4.微分方程 的一个特解为,07.04,A.B.C.D.,B,二阶常系

14、数非齐次线性方程,对应的齐次方程,2二阶常系数非齐次线性微分方程解法,对应的齐次方程为,若y*是非齐次微分方程的一个特解，,方程的通解，则非齐次微分方程的通解为,是对应的齐次,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,设,是非齐次方程的解，,解,对应齐次方程的通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例,例4：求微分方程y+y-2y=-4x的一个特解,解：这是二阶常系数线性非齐次微分方程，,对应的齐次方程的特征方程为：,代入原微分方程得：,所以原微分方程的一个特解为,例4：求微分方程y+y-2y=-4x的通解,解：我们上题已求出他的一个特解，,所以只需再求出其对应齐次方程y+y-2y

15、=0的通解即可,所以对应齐次方程的通解为：,所以原微分方程的通解为：,4.微分方程 的一个特解为,07.04,A.B.C.D.,09.10,B,1.可分离变量的微分方程的解法,形如 的微分方程为可分离变量的微分方程 解法：先分离变量 两边分别积分 即可得解,内容小结,2.一阶线性齐次微分方程,分离变量,两边积分得,故通解为,内容小结,解法：,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,3. 一阶线性非齐次微分方程,原方程的通解,即,内容小结,内容小结,4.可降阶的二阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,5.二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （

16、2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,内容小结,设,是非齐次方程的解，,5.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,内容小结,历年真题,4.微分方程 的一个特解为（） A.B.C.D. 9.微分方程的通解为 19.求微分方程 的通解,B,(07.04),20.求微分方程 的通解。,(07.04),08.04,4.常微分方程的一个特解可设为（ ） (b0 x2+b1x)e3x B. (b0 x2+b1x)xe3x C. (b0 x2+b1x+b2)e3x D. (b0 x2+b1x+b2)xe3x,9.微分方程y+4y=0的通解为y=,20.求微分方程 的通解。,D,C1sin2x+C2cos2x,参考答案：,08.10,4.下列微分方程中为线性微分方程的是（ ）,B,9.微分方程 y+y=8 的一个特解为y*=,8,19.求微分方程y-2y-3y=0的通解.,解：特征