第三讲金融工程定价方法

1、第三讲 金融工程定价技术,本讲内容 1.状态定价技术 2.构建无风险组合定价技术 3.风险中性定价技术 4.鞅及鞅测度,金融工具定价的关键,（1）金融工具的现金流 （2）恰当的折现率,状态价格定价技术,假如一份风险证券A，现在的市场价格是PA ，1年后市场价格会出现两种可能的情况：价格上升到uPA ，其概率为q；或者下降到dPA ，出现的概率为1-q。即1年后会出现两种不同的价格状态。,PA,q,1-q,状态价格定价技术(续),定义两基本证券（假想证券）： 基本证券1：在1年后如果市场出现上升状态，其市场价值为1元，如处于下跌状态，则其价值为零，其市场价格记为u ； 基本证券2：在1年后如果市

2、场出现上升状态，其市场价值为0元，如处于下跌状态，则其价值为1，其市场价格记为d 。,用基本证券复制风险证券A,组合B： 购买uPA份基本证券1； 购买dPB份基本证券2。 由无套利原理可知，复制与被复制证券市价的现值相等： PA=uuPA+ddPA 即：uu+dd=1 （1）,对风险证券A定价,组合C： 购买一单位基本证券1； 购买一单位基本证券2。 1年后组合C现金流为？ 组合C是一个无风险组合，其收益率应为无风险收益率rf ，有 u+d=1/(1+ rf) （2） 将式（1）、（2）两个方程联立成方程组，可得： u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d) d =u-(1+ rf

3、)/(1+ rf) (u-d),例1,假如证券A现在的市场价格为PA=100元，rf=2%，d=0.98,u=1.07，见图；证券B1年后的状态价格见图。,PA=100,PB,解,依题意有 u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d)=0.435730 d =u-(1+ rf)/(1+ rf) (u-d)=0.544662 对A证券定价 PA=uuPA+ddPA=0.435730107+0.54466298=100 对证券B定价 PB=uuPB+ddPB=0.435730103+0.54466298.5=98.52941,问题,问题1：基本证券1的市场价格和基本证券2的市场价格是由证券

4、A的状态价格确定，为什么可以用来复制证券B？ 状态价格的涵义： 两个基本证券的参数u，d唯一地确定了某个市场，则刻画在这个市场里的证券价格变化的参数u和d必须满足以下方程组 uu+dd=1 u+d=1/(1+ rf) 两组不同的u，d刻画了两个不同的市场。 用证券B的状态价格来复制证券B？ 问题2：基本证券都是假想证券，能不能用一个证券来复制另一个证券？,用证券A复制证券B,组合D：份证券A和现值为L的无风险证券。其现在的价格为： I=100+L （3） 1年后，无论市场状况如何，组合D的市场价值都与证券B一样。 如出现上升的状态，有 Iu=107+L1.02=103 如出现下降的状态，有 I

5、d=98+L1.02=98.5 将以上两个方程联立成方程组，可解得=0.5,L=49.5/1.02 代入式（3）可得证券B现在的价值I=98.52941,远期/期货合约的价值,设X为远期/期货合约在到期日T标的资产的交割价格。则对于一项远期合约多头来说，其在T时刻的价值为S(T)-X。 组合： 一项价值为S(t)的标的资产多头； 数量为Xe-rf (T-t)的现金空头(以无风险利率rf借入) 组合现金流分析 t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) T时刻：组合价值为S(T)-X 这一组合复制了远期合约的多头。 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值

6、。即 (t)=S(t) - Xe-rf (T-t) tT,远期/期货价格,如果在t时刻订约，则远期价格等于T时刻的交割价格，即F(t,T)=X，且合约的价值为零，则有 S(t) - Xe-rf (T-t) =0 即，X= S(t)erf (T-t) 故远期/期货价格为 F(t,T)= S(t)erf (T-t),支付已知现金红利资产远期合约定价,设I为现金红利在t时刻的现值。 组合 一项价值为S(t)的标的资产多头； 数量为Xe-rf (T-t) +I的现金空头(以无风险利率rf借入) 组合现金流分析 t时刻：组合价值为S(t) - Xe-rf (T-t) - I T时刻：组合价值为S(T)-

7、X 这一组合复制了支付已知现金红利资产远期合约的多头。 根据无套利原则，该远期合约在t时刻的价值一定等于该组合在t时刻的价值。即 (t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t) tT,关于远期汇率的案例,一客户要求某银行报出一年后交割的DM对US$的汇价。有关数据如下： 交割数量(A)：1,980,000DM 即期汇率(S)： US$1=1.8000DM 即期利率：一年期的美元利率(ib )为6%，一年期的DM利率为(iq )10%。 问：该银行如何确定一年期的DM/ US$的远期汇率(F) ？,远期汇率的确定过程,US$,DM,即期,远期 (一年),-1,980,000,+1,980,

8、000,-1,800,000,以10%的利率贷出DM1年,+1,800,000,-1,000,000,卖出即期美元(价1.8000),+1,000,000,以6%的利率借US$ 1年,-1,060,000,+1,060,000,以价F卖出远期DM,A/(1+iq) =1,980,000/(1+10%) =1,800,000,A/(1+iq)/s =1,800,000/1.8=1,000,000,A/(1+iq)/s(1+ ib) =1,000,000(1+6%) =1,060,000,F=S(1+ iq)/(1+ ib) =1.8(1+10%)/(1+6%),关于远期利率的案例,一客户要求某银

9、行从现在(t)开始6个月内提供为其6个月的100万的贷款。在现货市场上，利率的报价为：6个月期(T)的利率(is)为9.5%，12个月期(T)的利率(iL )为9.875%。 该银行如何确定该66的远期利率（iF ）？,远期利率的确定过程,即期,6个月,12个月,-1000000,+1000000,-954,654,以9.5%的利率贷出6个月,+954,654,以9.875%的利率借款12个月,-1,048,926,+1,048,926,以iF的利率贷出6个月,国债期货的定价方法：现金-持有定价法,(1)买入100000美元面值的一种可交割债券； （2）通过回购协议为债券融资； （3）卖出一份

10、期货合约； （4）持有债券直到交割月份的最后一日； （5）根据期货空头头寸交割债券。,现金-持有策略图,对期权定价,一个股票现在的价格为 $20 三个月后，该股票的价格或者是 $22，或者是$18，如下图 设无风险利率为12%。,Stock Price = $22 Option Price = $1,Stock Price = $18 Option Price = $0,Stock price = $20 Option Price=?,A Call Option,A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.,对看涨期权

11、进行复制,考虑一个组合：单位股票 现值为L的无风险资产 则有方程组 22+Le0.120.25=1 18+Le0.120.25=0 解得：=0.25，L=-4.3672 则期权的价格为20+L=200.25-4.3672=0.633,动态复制技术：例,有证券A、B，证券A的价格运动规律如左图，证券B在第二期期末3种不同状态下的价格如右图。,96.04,PBu,解,先看右上方的二叉树，假设用u份证券A和现在市场价值为Lu的无风险证券来构筑证券B的组合。见图。,104.86,可联立方程组 114.49 u+1.02Lu=107.67 104.86 u+1.02Lu=102.97,解出u =0.48

12、8，Lu =50.78,则PBu =107u +Lu =103,解（续）,对于右下方的二叉树，可建立方程组 104.86d +1.02Ld =102.97 96.04d +1.02Ld =98.48 解得， d=0.509, Ld=48.62, PBd=98d +Ld=98.5 再看左方的二叉树，如图。,解（续）,可用份证券A和价值为L的无风险证券的组合来复制证券B。可得方程组 107+1.02L=103 98+1.02L=98.5 解得，=0.5，L=48.53 故证券B现在的市场价格为 PB=100+L=98.52941 问题1：如采用连续复利利率计算，以上过程如何变化？,二叉树与Blac

13、k-Scholes模型,（1）相同点 对股价运动规律的假定一样 确定折现率的方法：构建无风险组合 （2）不同点 具体描述现金流的方法,证券价格变化与随机过程,弱式有效市场中的证券价格变化 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。 随机过程的分类： Discrete time; discrete variable Discrete time; continuous variable Continuous time; discrete variable Continuous time; continuous variable 严格地说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机

14、过程，但我们近似地将其看为连续变量的连续时间随机过程。,Markov Stochastic Process,Markov Stochastic Process 在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。,Cramer-Levy(克拉默-列维)定理,设X1 、X2为独立随机变量，则X1+X2（， 2），当且仅当X1 （ 1， 1 2 ）， X2 （ 2， 2 2 ），且=1+2， 2=1 2 +2 2,维纳过程(A Wiener Process ),维纳过程是一个拥有零均值和年变动率为1.0的Markov Stochastic

15、Process。 设在微小的时间段t内变量z的变化值为z。则一个维纳过程具有二种特征： (1) 由(1)可知，在一个微小的时间间隔t内 , zN（m,s）,且 Mean of z=0 Standard deviation of z=t Variance of z=t (2)对于任意两个不同时间间隔t，z的值相互独立。,维纳过程（续）,在一个相当长的时间段T内，z(T )z(0)N（m,s）,且 Mean ofz(T)z(0)=0 Variance ofz(T)z(0)=NDt=T N=T/n Standard deviation of z(T )z(0)is 推论 在任意长度的时间间隔T内，遵

16、循维纳过程的变量的变化值服从具有均值为0，标准差为 的正态分布。 对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，标准差不具有可加性。,一般维纳过程(Generalized Wiener Process),定义 漂移率(Drift Rate)是指单位时间内变量z均值的变化值(设为a)。 方差率(Variance Rate)是指单位时间的方差(设为b2 )。 变量x的一般维纳过程可表示为： dx=adt+bdz 式中，dz为维纳过程 在很小的一段时间间隔t内，x值的变化遵循 x=at+bDt 式中，N(0，1),一般维纳过程（续）,推论1：xN(m，s) x的均值=aDt x的标准差=bDt x的方差=

17、b2Dt 推论2：在任意时间间隔T内，x值的变化量遵循正态分布，且 x的均值=aT x的标准差= x的方差=b2T,伊藤过程(Ito Process ),若把变量x的漂依率和方差率当作变量x和时间t的函数，可得到伊藤过程。 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 式中，dz是一个维纳过程，a、b分别是变量x和t的函数，变量x的漂移率和方差率分别为a和b2。 考虑到离散时间，伊藤过程变为 说明：上式只有当Dt0时，才成立。,证券价格行为模型,证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为2S2的伊藤过程表示。 或 dS/S=dt+dz 式中，表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率(又称预

18、期收益率)，2表示证券收益率单位时间的方差；表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率。,证券价格行为模型（续）,在短时间Dt后，证券价格变化的比率值为： DS/S=Dt+Dt 故，有 DS/SN（Dt,Dt） 注意：由于比例变化不具有可加性，因此不能推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为Dt。,伊藤引理(Itos lemma),若变量x遵循伊藤过程，伊藤引理将会告诉我们变量x和t的函数G将遵循的随机过程。 因为一个衍生证券是标的资产S和时间t的函数，因此，伊藤引理在衍生证券的分析中占有重要的地位。,伊藤引理推导:泰勒级数展开式,函数G(x,t)的泰勒级数展开式为：,伊藤

19、引理推导: 忽略Dt的高阶项,伊藤引理推导: Substituting for Dx,伊藤引理推导: The e2Dt Term,伊藤引理推导: Taking Limits,证券价格自然对数变化过程,令G=lnS,则有； G/S=1/S ，2G/S2=-1/S2，G/t=0,由伊藤过程（ItoSlemma）可知G服从以下过程； dG=(-2/2)dt+dz,结论：lnS服从一般维纳过程，lnS在0到T时间的变化服从正态分布。,证券价格自然对数变化过程(续),即有,因此， 是正态分布。,一张完整的二叉树图,S0,S0d,S0u,S0u2,S0,S0d2,S0d3,S0d,S0u,S0u3,S0d

20、4,S0d2,S0,S0u2,S0u4,二叉树为什么能描述股价的运动,如果从t=0时刻到t=T时刻，二叉树所分得步数越来越多，适当地选择二叉树中的u和d，当所分的步数趋于无穷大时，股价变化就趋于对数正态分布。,证明,二叉树定价时股票价格变化规律为：,则数学期望值为,对于n个阶段的二叉树，其均值和方差为,如果选择：,u，d和q的选择保证了连续计息收益率在单位时间的均值和方差分别是和2 ，因此，适当选择参数，二叉树无限细分能够描述股票价格的运动规律。,股价与期权价格的描述,考虑一个组合:long sharesshort 1 call option 当221=18 or =0.25时，该组合是无风险

21、的。,构建一个无风险组合,对组合定价,无风险组合为: long 0.25 sharesshort 1 call option 该组合3个月后的价值为 220.25 1=4.50 组合的现值为 4.5e0.120.25 =4.3670,对期权定价,组合： long 0.25 sharesshort 1 option 现在的价值为 4.367 而股票的价值为 5.000 (= 0.2520 ) 故期权的价值为0.633(=5.0004.367),期权定价的一般形式,A derivative lasts for time T and is dependent on a stock,期权的定价公式 =

22、 p u + (1 p )d erT 这里，,股票价格变化过程与衍生证券价格变化过程,从上述两式可以看出，衍生证券价格G和证券价格S都受同一个不确定性来源dz的影响。,Black-Scholes 的基本原理,期权的价格和股票的价格都受同一个基本的不确定性来源的影响。 我们能够构筑一个包含股票和期权的组合，以此来消除这种不确定性来源。 此组合是瞬间的无风险并能获得瞬间的无风险收益。 这将导出 Black-Scholes differential equation,Black-Scholes微分方程(1/3),Black-Scholes微分方程(2/3),Black-Scholes微分方程(3/3

23、),任何一个价格依赖于股价的证券都满足 the differential equation,We substitute for and in these equations to get the Black-Scholes differential equation:,The return on the portfolio must be the risk-free rate. Hence,Black-Scholes微分方程的解,风险中性,风险厌恶、风险中性和风险喜好 公平的赌博：赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金相等，即赌博的结果从概率平均的意义上来说应当是不输不赢。 在没有风险补偿时

24、，风险厌恶的人拒绝公平的赌博；风险中性的人愿意无条件地参加公平赌博；风险喜好是赌徒的典型的心态。,风险中性假设,在一个假想的风险中性世界中，所有的市场参与者都是风险中性的，则所有的资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益率都等于无风险收益率。,风险中性假设（续）,如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立。,风险中性假设与无套利均衡分析,无套利均衡分析过程和结果在真实的世界里应当成立。 例3：假设一种不支付红利股票目前的市场价格为10元，我们知道在3个月后，该股票的价格要么是11元，要么是9元。现在我们要求一

25、份3个月期敲定价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价格。,风险中性定价(Risk-Neutral Valuation),步骤: （1）假定标的资产的预期收益率为无风险利率； （2）计算衍生证券到期日的预期现金流； （3）将预期现金流以无风险利率折现到即期。,风险中性定价：对远期合约定价,设一个以无红利支付股票为标的资产的远期合约多头，其到期日T的交割价格为ST。 到期日合约的价值为： ST K 远期合约在时间t(T)的价值f为： f=e-r(T-t)(ST-K) f=e-r(T-t)(ST)-Ke-r(T-t) (ST)=Se(T-t)= Ser(T-t) f=S-Ke-r(T-t),风险中

26、性定价：对期权的定价,变量m并没有出现在 the Black-Scholes differential equation 该方程不依赖任何受风险偏好影响的变量。 因此微分方程的解在真实世界和风险中性世界都是一样的。 所以，可以用风险中性定价方法来对期权进行定价。,风险中性定价：对期权的定价（续）,考虑一个在风险中性世界中的欧式看涨期权，其在到期日的价值为 max(ST X,0) 期权的价值为 c=e-rT max(ST X,0),多阶段事件树,假如证券的交易就是3个阶段，每一次交易都在每一期期末集中交易，即由事件树中各节点表示。,信息结构,t=0时刻的信息结构t： 或者交易，或者不交易，如交易

27、，到多阶段交易结束时，所发生的事件一定落在事件集31,32, 33,34之中。 t=1时刻信息结构t： 发生事件一定落在事件集31,32,33,34，而且或者落在子集合31,32,33，或者落在子集合32,33,34。 t=2时刻信息结构t： 包括t=1阶段所获得的信息，还知道所发生的事件一定落在子集合31,32， 32,33，33,34中的一个。 t=3时刻信息结构t： 包括t=2阶段所获得的信息，还知道所发生的事件必定是31,32,33,34中的一个。,鞅（定义）,鞅是一类随机过程或随机序列（链）：在任何时刻，在当时的信息结构t 的基础上，如果对随机过程S(t)的某种概率分布，对任意的s,

28、t；0st，都有 E*S(t)|s=S(s) 满足上述条件的随机过程S(t)是鞅。 在现在时刻s的已有信息结构s条件下，有未来时刻t的条件概率分布Pt*|s ，则E*S(t)|s表示随机变量S(t)在未来时刻t服从这一条件概率分布的条件数学期望。,鞅与公平赌博,设Y(t)表示一个赌徒在第t次赌博时的资本。Y(0)是他最初的赌本，而Y(t)(t1)是一个随机变量。如果赌博是公平的，则他每次的资本增益的期望应为零，即他在进行以后(次数t+1)的赌博中，他的资本期望值还是他最近一次赌博时的资本数Y(t)。 公平赌博的随机过程构成鞅，风险中性概率即为鞅概率。,等价鞅测度（等价鞅概率）,在真实世界里，证券价格遵循真实的概率P分布。对于概率测度P，另一个世界中的概率测度P*与P相对应。如果P*满足以下三个条件，就可以称P*为P的等价鞅测度（等价鞅概率）： (1) P*与P同零集。 (2)对于概率P来说，如果一个事件发生的可能性很小，则对于概率