专题-物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题

1、万有引力计算天体质量和密度,物 理 专 题,一、天体质量计算的几种方法 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力 应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：,(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力， 即 m月 r2，可求得地球质量M地 . (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运

2、动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G m月 . 解得地球的质量为M地rv2/G.,(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G m月v G m月. 以上两式消去r，解得 M地v3T/(2G) (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 mgG ， 解得地球质量为M地 .,由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即gG ，则M ，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万

3、有引力提供，列出方程： G m rm m2r来求得质量M 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体),二、天体密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度 由mg 和M R3， 得 . 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径,(2)利用天体的卫星来求天体的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程： G m r，M R3， 得 . 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R， 则天体密度为： .,例题1 已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面重力加速度大致相等，试估算海王星的质量(已知地球质量M

4、地6.01024 kg),解析： 设海王星质量M海，半径为R海，地球质量M地，半径R地，对海王星而言，处于海王星表面的物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力 即mg海G 可得 g海 同理地球表面的重力加速度g地 因g海g地，所以G G M海16M地9.61025 kg.,例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量 解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力,解析： 设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为

5、g，由万有引力定律得 Fmg 飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 m R 联立以上两式得,例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体的密度又是多少？,解析： 利用公式M ，计算出天体质量，再利用 计算天体的密度 其中r为天体运动的轨道半径，R为中心天体的半径， 只有贴近中心天体表面运行时才有rR.设卫星的质量为m， 天体的质量为M，卫星在天体表面运行时，G m R ， 得M 根据数学知识星球的体积V4

6、/3 R3. 所以天体的密度M/V 若卫星距天体表面高为h处运行，则有,本课小结,动力学分析,计算方法,典型例题,下节课 再见,一、计算天体的质量 1地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ，则M ，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量,2太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力 充当向心力，即G m2r，而 ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道 半径，得到太阳质量M . 3其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出

7、行星的质量,一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，,二、天体密度的估算 1.密度公式 只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度. 2.计算天体密度的两种常用方法 （1）由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度.,巩固练习1：宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量多大？,巩固练习2：地球绕太阳公转的轨道半径为1.49 1011m，公转的周期是3.16107s，太阳的质量是多少？,解析：设该星球表面重力

8、加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则hgt2 sv0t 该星球质量M：g 由式得M.,（2）若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由 特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.,M 根据数学知识星球的体积VR3. 所以天体的密度. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 Gm(Rh),1.天文学家根据观察研究得出：银河系中心可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”6109km的星球以2.0106 m/s速度绕它旋转已知万有引力常量G6.67 1011Nm2/kg2，求该“黑洞”的质量,2太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%