张量分析第三章

1、在第三章张量代数中，在第一章中，三维向量空间v由张量映射定义，张量空间的阶为m。i1，i2，i3是v中的标准正交坐标系。那么，的基数是，张量可以表示为：任何，在pm中，在下面的写作中，向量空间的张量积符号将被省略，当它没有被混淆的时候。如：3.1张量代数运算，张量空间由1.5节中的多线性映射给出。零张量和加性逆元素被定义为任何相同阶的张量，(，1.5-10)。然后，同阶张量的加法和减法，(1.5-7)和(1.5-8)给出张量，(同阶)加法运算和张量数乘法运算。如果您按(1.5-9)和(3.1-1)，计算定义如下。并且数字乘法运算被定义为：(3.1-2)。根据(3.1-1)和(3.1-2)，很容

2、易得到：(3.1-3)。除了加法、减法和数字乘法，乘法也可以定义为张量运算。然而，应该特别注意张量之间的乘法。根据不同的规则定义了许多乘法运算。在向量乘法中，这一点由向量之间的点乘和叉乘表示(向量本身是一阶张量)。因此，当谈到张量之间的乘法时(不一定是同一阶的张量)，有必要指出什么定律定义了乘法。张量积：让张量，那么a和b的张量积定义为：(3.1-4)。从定义中可以看出，ab和ba是m n阶的张量，一般来说，abba(两个量的张量积一般不满足交换定律)。对于任何一个，设置给定的i1，im；j1，jn值，都是确定的实数。记住。然后，(3.1-4a)，张量之间的张量积运算具有以下性质：1、(3.1

3、-5)、2、(3.1-5a)，(证明由读者自己完成)，r点乘(积):让，a和b张量的r点乘：然后定义，(3.1-6)，当m=n=r，这被称为一个整点乘以b。它被记为：(3.1-7)。从(3.1-6)的定义中，可以知道：(3.1-8)，但必须注意的是，一般来说：(3.1-9)，任何阶的张量都是由(3.1-4a)和(3.1-6)给出的。在处理实际的物理和数学问题时，更常见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘法。假设u和v是一阶张量(向量)。a、b和c是二阶张量。然后，一阶张量和一阶张量的张量积：(3.1-10a)，二阶张量和一阶张量：(3.1-10b)，一阶张量和二阶张量：(3.1-10c)，二阶张

4、量和二阶张量：(3.1-10d) (3.1-10f)，(1)二阶张量和一阶张量的点乘：(3.1-10g)，(3.1-10h)二阶张量和二阶张量的点乘：(3.1-10h)。也就是说，那些满足：(3.1-11)的张量分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。由上述公式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有如下性质：1、2、(3.1-12)，记住。也就是说。它也被称为单位二阶张量。3，(3.1-13)，记住，是，也就是说。它也被称为单位二阶张量。证明：1，对于任何、2，存在另一个二阶张量，四阶单位张量的唯一性证明留待实践。和满足。然后，(唯一性)，实例1:如图31所示，描述刚体的角速度(其用于刚

5、体的整个运动)。与r无关。也就是说，刚体的角速度和度数都等于刚体上的任何一点。物点的密度为(r)；速度矢量是u (r)。然后，包含在微分体积dv中的质量(r) dv到o点的运动力矩是：并且证明了物体到o点的运动力矩是：这里它被称为物体到o点的第二惯性矩张量(注意：j不是四阶单位张量。但在j表达式中，i是二阶单位张量)。证书：示例2:如图32所示的受力对象。如果物体在一定的约束下处于平衡状态。尝试分析r点的应力状态.在物体的r点，四面体oabc被切割成三个平行于坐标平面的平面和一个斜面，如图3-2(b)所示。提取的四面体和物体其余部分之间的作用是通过四面体上的力来连接的。假设obc、oac、oa

6、b、abc表面上的力的平均分布度为t1、t2、t3和t3。四面体中每单位体积有一个外力f=fi，ii。注意，n是abc平面上的单位外法向量；作业成本法的领域是.那么三角形obc，oac，oab的面积分别为：根据第2.5节(g)的面积矢量符号，在坐标系o中有：i1，i2，i3中的t1，t2，t3和t3可以表示为：这是从牛顿第二定律(在这种情况下是平衡方程)得到的，其中v是四面体的体积；(r)是密度；a是加速度。当h，0:v 0；(r) v 0 .同时，t1、t2、t3和t3是通过r点的四个平面上的内力分布程度(不是平面a、a1、a2、a3上的平均内力分布程度)。t、t1、t2、t3和t3是通过r

7、的应力和力矢量.=(r)叫做r点的应力张量。到我；j的固定值表示点r的外法线方向是沿着ij的ii，方向应力矢量的大小是ij。同时，还表明，一旦给出了r点三个坐标平面上各坐标方向的应力矢量，单位矢量n就作为该点通过r点的外法，直线斜截面上的应力矢量是唯一确定的。或者应力张量，描述一个小的应力状态。3.2仿射量(二阶张量)，在3.1的例1和例2中，惯性矩的二阶张量j和应力的二阶张量通过讨论旋转刚体的动量矩和物体中点的平衡给出；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛引入(如几何中的度量二阶张量、连续统中的变形梯度二阶张量等)。)。因此，二阶张量的分析具有重要的现实意义。这一部分和随后的部分将着

8、重分析二阶张量。二阶张量根据张量积的运算可以看作是由张量积的运算决定的两个向量。也就是说，如果o；i1，i2，i3是v的坐标系。然后，每组aij(九个实数)决定了唯一的二阶张量。所有二阶张量和量根据张量加法和数乘法构成向量(广义向量)空间p2。另一方面，对于任何一个a p2，u v都有：显然，二阶张量a是对于任何一个矢量u v的。左点乘()和右点乘()分别实现了从一阶矢量空间v到一阶矢量空间v的映射：3.2-1。一般来说，a的左点乘和右点乘是不同的映射。也就是、和可以从公式(3.1-8)中得知，公式(3.1-8)表明a的左右点乘是线性映射。如果定义为：(3.2-2)，那么(3.2-2)的所有一

9、阶向量空间与一阶向量空间是线性的，并且(3.2-3)的映射(左点乘法或右点乘法)中的集合a构成向量和量(广义向量)空间p2。由张量积定义的二阶张量uv和由线性映射定义的二阶张量a，如果进行点乘运算，将实现a v和b v之间的对应。那么紫外线和是同一二阶张量的两种不同形式。因为：向量a对于任何给定的大小和方向。在不同的基底上，的坐标表示是不同的。如图33所示。a在二维衬底上，o；i1，i2表示为：if，是另一组基底。和，在o；i1，i2可以表示为：那么a表示为：显然，两组基底上的a的坐标分别为(2，2)和。也就是说，不同基上向量的线性表示是不同的。因此，由张量积在不同基ii ij (i，j=，1

10、，2，3)上定义的二阶张量a=u v的线性表示也是不同的。设v有两组标准正交基，o；i1，i2，i3和，并且，(a)，其中二阶张量a在由(i，j=1，2，3)形成的基底上，被表示为：并且基底变换的公式(a)被替换为：(3.2-3)，这是第二个-从这个公式可以看出，二阶张量a可以表示为：(3.2-4)，注：(3.2-5)，a是二阶张量a的矩阵表示。例4:让平面位置向量，给出一组四个数字：并证明a构成二阶(平面)张量a，证明：解：a构成二阶(平面)张量a，集，定义：(3.2-6)，tra二阶张量a追踪运算。跟踪操作具有以下属性：1，(线性属性)，2，3，(3.2-7)，证明：1，2，3，证明。设置

11、ap 2。如果a满足：(3.2-8)，那么a称为对称二阶张量。设置ap 2。如果a满足：(3.2-9)，那么a称为反对称二阶张量。如果你记得：(3.2-10)，比方说，是a的转置。对称和反对称二阶张量可以表示为：(a是对称二阶张量)，(a是反对称二阶张量)，由(3.2-10)给出的转置本质上是从p 2到p 2的运算。也就是说，任何ap 2的转置操作都具有以下属性：1、2、3、4和证明：1、2、3、4。试着证明任何一个p2都可以唯一地分解成对称和反对称张量的和。证明：根据张量a的加(减)算法分别是：as和aa。然后：表明它是一个对称的二阶张量；aa是反对称二阶张量。也就是说，可以表示为对称二阶张

12、量和反对称二阶张量的和。如果a也可以表示为：从，我们可以得到：显然a的对称和反对称分解是唯一的。上述例子不仅说明任何二阶张量都可以唯一地分解为对称二阶张量和反对称二阶张量的和。此外，给出了这种分解的对称和反对称表示的结果。也就是说，(3.2-12)，as和aa分别是a的对称和反对称部分。例6:证明：1，2，证书：1，当a=1时，有：2，示例7:已知：尝试：1，2，3；解：1从(3.1-2.2)得到二阶张量的逆和行列式：2，3，3.3，让ap2。如果bp2存在，那么：(3.3-1)，那么b被称为二阶张量a的逆二阶张量，并且被表示为a-1。到二阶张量a，bp2。如果a和b的倒数存在。然后：二阶张量

13、的逆的性质：1，2，3，4，5，(3.2-2)，证明：1，(组合定律3.1-9)，(3.1-12)，2，从单位二阶张量性质，得到：从逆的定义，有：4，设p2；a，b，c，v和，被定义为，(3.3-3)，det a被称为二阶张量a的行列式，二阶张量行列式具有如下性质：1，2，3，4，5，(3.3-4)，证明：1，然后：2、定义为：3、4，这已经在2的证明中给出了。5，例8:试着找出ap2行列式的分量表示。在(3.3-3)定义的行列式表达式中，向量a、b、c和v是任意的非共面向量。让v中的标准正交基为i1、i2和i3。然后：例9:让甲，乙，丙，和，ap2 .试用证书：证书：证书已完成。示例10:标

14、准正交基i1、i2和i3选自：和。在(3.3-3)中，a、b和c分别取为i1、i2和i3。然后：证书完成。例11:试着找出例6中二阶张量的行列式值。解：设是二阶张量。如果检测到a0。那么a就叫做正则二阶张量。如果deta=0。那么a就叫做退化二阶张量。正则二阶张量具有以下性质：1 .如果a是正则二阶张量。那么，它是一个规则的二阶张量。2，r1，r2，r3v线性独立向量。那么当a是正则二阶张量时，它是线性独立的。3，如果a是正则二阶张量。那么a的反义词就存在。证明：1，如果a是正则二阶张量。然后：从(3.3-4)性质3得到，所以它是一个规则的二阶张量。2、a=r1、b=r2、c=r3。那么，r1

15、、r2和r3是线性独立的。即线性独立。3，(a-1存在)，表示公式仅在deta0时有效。也就是说，当a-1存在的时候。当deta-10，-1是正则二阶张量时。另一方面，当deta0时，a b o的向量a和b是：这表示a通过与向量点乘将向量转换成另一个向量。并且它的变换是一一对应的(如果向量a，向量b，向量，由于正则二阶张量实现了一对一的对应变换，所以它被反转和替换。也就是说，a-1的逆存在。设q是二阶张量。然后q被称为正交二阶张量。正交二阶张量q具有以下性质：1，2，3，(3.3-6)，证明：1，2，设a=b于1。然后：3、证书完成。例12，试图证明正交二阶张量q将在v中变换标准正交坐标系o；i1、i2、i3的基向量被