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文档简介

1、7.4 平面及其方程,主要内容,2,两平面的位置关系,1,平面方程,点到平面的距离,知识点复习,设,则,而,7.4 平面及其方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面 的点法式方程,求该平面 的方程.,法向量.,量,则有,故,7.4 平面及其方程,例1 求过三点,即,解 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,7.4 平面及其方程,（平面的三点式方程）,一般地，,过三点,的平面方程为,说明:,共面,7.4 平面及其方程,特别, 当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,7.4 平面及其方程,二、平面的一般

2、方程,此方程称为平面的一般方程.,的平面,因此方程的图形是,法向量为,设任取一组满足方程,则,的数,即,7.4 平面及其方程,特别地, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox

3、 面 的平面.,7.4 平面及其方程,例2 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简, 得所求平面方程,7.7 平面及其方程,三、两平面的夹角,设平面 1的法向量为,平面 2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,7.4 平面及其方程,特别有下列结论：,7.4 平面及其方程,因此有,例3 一平面通过两点,垂直于平面 1 : x + y + z = 0, 求其方程 .,解 设所求平面的法向量为,故,得平面方程为,即,和,则所求平面,故,方程为,且,7.4 平面及其方程,外一点,求,例4 设,解 设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的关系：,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,内容小结,思考与练习,1. 求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解 已知平面,取所求平面的法向量,则所求平面 方程为,化简得,思考与练习,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,3. 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,思考与练习,两平面平行但不重合,两平面平行且重合.,思考与练习,作 业,7.4

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