高中数学 排列与组合 版块六 排列组合问题的常见模型2完整讲义（学生版）（通用）

1、高中学习与思考完整讲义：排列与组合。第二节。乘法原理。学生版知识含量1.基本计数原理(1)加法原理分类和计数原则：做事有不同的方式，第一种方式有不同的方式，第二种方式有不同的方式，第一种方式有不同的方式。然后有不同的方法来完成它。也称为加法原理。乘法原理一步一步计算的原则：做一件事，它需要被分成子步骤。第一步有不同的方法，第二步有不同的方法，第一步有不同的方法。然后有不同的方法来完成它。也叫乘法原理。(3)加法原理和乘法原理的综合应用如果完成一件事情的各种方法是相互独立的，那么在计算完成这件事情的方法的数量时应该使用分类计数的原则。如果完成一件事情的步骤是相互关联的，也就是说，每一步都必须在完

2、成之前完成，那么在计算完成这件事情的方法的数量时，就应该使用逐步计数的原则。分类计数原则和分步计数原则是推导排列数和组合数公式的理论基础，也是解决排列组合问题的基本思想方法。这两个原则非常重要，必须认真学习，正确灵活地运用。2.排列和组合(1)排列：一般来说，从不同的元素中取出任意一个元素并按一定的顺序排列，叫做从不同的元素中取出元素的排列。(拍摄的对象称为元素)排列数：从不同元素中取出的元素的所有排列数被称为从不同元素中取出的元素的排列数，用符号表示。排列数的公式：和。总的安排：一般来说，把所有不同的元素都取出来的安排叫做不同元素的总安排。的阶乘：从到的正整数的连续乘积称为的阶乘，用。规定如

3、下：(2)组合：通常，从一个不同的元素中随机抽取一个元素，并将其分组，这称为一个元素与一个元素的组合。组合数：从不同元素中任意取出的所有元素的组合数，称为从不同元素中任意取出的元素的组合数，用符号表示。组合数字公式：和。组合数的两个属性：属性1:自然2:(指定)(3)排列组合综合问题要解决排列组合问题，首先必须运用两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清它是分类还是分步、排列还是组合，同时掌握一些常见排列组合问题的解法：1.特殊元素和特殊位置优先方法元素优先法：首先考虑有约束的元素的需求，然后考虑其他元素；位置优先法：首先考虑受限位置的要求，然后考虑其他位置；2.分类和分步方法：对于比较复杂的

4、排列组合问题，往往需要讨论分类或分步计算，而且要分类清楚，层次清楚，不能重复。3.排除法是一种间接解决问题的方法，它从整体上排除不合格方法的数量。4.绑定方法：某些元素必须相邻排列。您可以首先将相邻的元素“捆绑”成一个元素，并将其与其他元素排列在一起，然后将它们排列在“元素捆绑”中。5.插值方法：当一些元素相邻排列时，可以先排列其他元素，然后对不相邻的元素进行插值。6.插件板方法：将相同的元素分成多个组，每个组至少有一个分组问题。将元素排列成一行，选择一个空白空间，并为每个元素插入一个隔板。7.分组和分配方法：分组问题(分成几堆，杂乱无章)。有相等的部分，不等的部分和部分的部分。一般来说，它是

5、均匀地分成桩(组)，这必须除以！如果存在具有相同数量元素的堆(组),则它们必须是b8.错位法：把从1到1的球放入从1到1的盒子里，每个盒子里放一个球。要求球和盒子的数量不同。这种排列称为位错排列，特别是当3、4和5的位错数分别为1、2、9和44时。5、6、7元素位错排列的计算可用消去法转化为21.安排和组合应用问题，主要检查附加条件的应用问题。解决这些问题通常有三种方法：元素分析法：元素是主要元素，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；区位分析方法：区位是主要考虑因素，即先满足特殊区位的要求，再考虑其他区位；间接法：不考虑附加条件，计算排列或组合的数量，然后减去不符合要求的排列或组合的数量。

6、解题时，要注意将具体问题转化或化简为排列或组合问题；然后通过分析，确定是采用分类计数原则还是分步计数原则；然后分析话题条件，避免“选择”中的重复和遗漏；最后，列出了计算答案的公式。2.解决问题的具体策略是：(1)优先考虑特殊元素；2 .理解问题的含义后，合理准确地进行分类，分类后验证是否不重；3对于提取一些元素进行排列的问题，一般先选择后排，以防重复；(4)对于相邻元素的情况，采用绑定方法；对于单元间距排列问题，采用插入法或分割法；固定顺序问题用除法处理；几行的问题可以转化为直接行的问题；如果正面考虑太复杂，可以考虑负面考虑。对于一些排列数和组合数的问题，有必要建立模型。典型案例分析堆叠问题示

7、例1本不同的书按照以下要求进行处理。每本书里有多少子方法？(1)一堆一个，一堆两个，一堆三个；(2)甲得到一份，乙得到两份，丙得到三份；(3)一人一份，一人两份，一人三份；(4)甲、乙、丙三方均分；(5)平均分为三堆。例2有6本不同的书(1)甲、乙、丙各2份。有多少种不同的方法？分3堆，每堆2份。有多少种不同的堆叠方法？(3)分成三堆，每堆一个，每堆两个，每堆三个。有多少种不同的堆叠方法？(4)分发给甲、乙、丙三人，一人一份，一人两份，一人三份。有多少种不同的分配方法？有多少种不同的分配方式可以分配给A 1、B 1和C 4？6分为三堆，两堆各一堆，另一堆四堆。有多少种不同的堆叠方法？一旦放在三

8、层书架上，每层有两本书，有多少种不同的方法？例3七个人参加志愿劳动。以下几组有多少种不同的方法？(1)选择5人，然后分成两组，一组2人，另一组3人；选择6人，分成两组，每组3人；选择二人一组和三人一组，轮流挖土和运土。例4当一个大学生被分配到12个乡镇当村官，每个乡镇至少有一个村官时，就有不同的分配方案(用数字回答)。例5所有同排六个座位的电影票分发给四个人，每个人至少分成一张，最多分成两张，这两张票有连续的数字，那么不同子方法的数量是()美国广播公司示例6有3条总线，3个驱动器和3个导体，每条总线需要配备1个驱动器和1个导体。车辆、驾驶员和售票员有多少种匹配方案？例7三名医生和六名护士被分配

9、到三所学校对学生进行体检，每所学校被分配到一名医生和两名护士，分配方法不同染色问题示例10如图所示，在正五边形中，如果顶点A、B、C、D和E被染成三种颜色之一，从而相邻的顶点被染成不同的颜色，则不同的染色方法是()A.30种乙27种丙24种丁21种示例11在要填写的网格中，要求每行每列没有重复的数字，右侧是一种填写方式，因此有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。示例12在要填写的网格中，要求每行和每列中没有重复的数字。下面是一个填充方法，所以有不同的填充方法()A.物种b物种c物种d。示例13使用红色、黄色、蓝色和绿色给图片中的四个小方块着色(只允许

10、使用其中的几个)，以便相邻区域(具有公共边缘的小方块)具有不同的颜色，则不同着色方法的数量为()。A.学士学位示例14如图所示，小方块中总共填充了个字母，每个小方块中最多填充一个字母。如果相同的字母不在同一行，也不在不同列，则有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _种不同的填充方法(用数字回答)。示例15如图所示、和是区域。现在每个区域都有一种颜色。涂装要求：每两个相邻区域有不同的颜色，每个区域只有一种颜色。有多少种不同的绘画方法？示例16如图所示，图中的四个网格涂有六种不同的颜色，每个网格涂有一种颜色。如果要求两个相邻的网格具有不同的颜色，并且两端网格的颜色也不同，那么有几种不同的绘制方法(用数字回答)。示例17如图所示，图中的四个网格涂有六种不同的颜色，每个网格涂有一种颜色。如果要求最多使用三种颜色，并且相邻的两个网格颜色不同，则有不同的绘画方法(用数字回答)。错位排列例18