孙会元固体物理基础4.1晶格振动的经典处理.ppt

1、4.1晶格振动的典型处理，二、一维度单原子链、声支、三、一维度双原子链、光支，本节的主要内容为：一、简调近似、四、三次元情况、一、简调近似、基本模型：1 .假设晶体中的络离子仍可由布拉佛格子的格箭头Rn标识牌，则将Rn理解为络离子的实际平均平衡位置2 .络离子实际上围绕平衡位置进行小的振动，其瞬时位置与平衡位置的偏差远小于络离子间距。 从经典力学的角度来看，晶格振动是典型的小振动问题。 根据上述模型，可以假定晶体中的原子或络离子在任何实际时间点的位置(瞬时二进制位向量)计算为：两个原子之间的相互作用势计算为：晶体的总势函数计算为：注意，展开式中的1/2因子合计基于每个相邻对的相互作用进行了两次

2、计算。 式的第一项是各原子位于平衡位置时的相互作用电势，作为电势的基准点为零。 其他所有原子作用于Rn原子的合力，正如明显在平衡位置为零一样，之后的系数也为零。 所以，第二项是零。 这是展开式中最初非零的项，如果总势能中只剩下这一项，则称为简单调和近似。 简单调和近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点。 但是，对于热胀冷缩和热传导等问题的处理，必须考虑高次项，主要是位移的3次项和4次项，被称为非简并性项。 以下，以一维度原子链模型为例进行研究，二、一维度单原子链、声支、1、模型和振动方程式，(1)模型：一维度单原子链的原子间距离(光栅常数)为a，布拉维晶格的格箭头Rn=na，全长为L=Na，

3、n为原子总数，原子质量为m。 牛顿的第二定律表明，链中任何原子的运动方程式都是un偏离以na为中心振动的原子的链方向的平衡位置。 对于由n个原子构成的一维度的单原子链，有n个方程式。 (2) .振动方程式及其格波解，1/4变为1/2，是因为每个邻近的对象只考虑一次，用简单的调和近似，而且只考虑最近的邻近原子间的相互作用。 有：显然需要n个这样的方程。 与弹簧振子受到的弹性复原力F=-kx相比，上式右边相当于原子振动受到的复原力，是弹性复原力系数。 上述方程式的解是波的形式。 为了区别于电子，将晶格振动的波矢量设为q，容易验证运动方程式具有以下形式的晶格波解：运动方程式表示，所给的解的形式为，各

4、原子在中原以相同的频率、以相同振幅a振动，邻接的原子间的相位差为aq，晶格中的各原子间的振动相互存在一定的二进制位相关关系意味着原子的振动形成了波，这种波被称为晶格波(lattice wave )，波长也称为.晶格波是晶格振动的简单的正图形，或是简单的正图形。 为了获得色散关系，把设定的解代入运动方程式，则变成、所以格波的色散关系与n无关，所以与得到的q的对应关系(色散关系)适用于n个联立方程式中的任何一个。 将：其中：代入运动方程式，可发现在增益：周期性边界条件下对波向量的取值进行量化。 已知弹性波在介质中的波向量是连续的，因此波向量值的这种差异是格波和弹性波的差异之一。 q的取值由边界条件

5、决定，采用碳-卡门边条件，即，其中l为整数，b=2/a为一维度的单原子链的倒晶格基矢量。 2 .波动向量的值与格波的特征、以及色散关系：可被绘制表示，并且从色散关系方程开始：1 )是波动向量q的周期函数，如可以从方程和图中看到的，Gh=2h/a是反格向量，而h是整数。 波矢量q为q Gh时，原子的振动频率不变，记述相同的格波。即，下图所示的2列横波实际上表示原子的相同物理运动，波长短的晶格波包含更多的振动，但是关于原子自身的振动，等价于用这2列的波分别记述，对应于频率相同的振动模式。 也就是说，原子的振动频率和振幅都发生变化。 此外，在这个范围之外的波形向量可以向平移中的固定反向格式向量移到第

6、一brean分区，但是不提供新的关晶格振动模式。 因此，为了确保q取值的唯一性，必须将q取值限制为简化的布里渊区。 也就是说，物理上有意义的波矢量q的取值有范围，这是格波和介电弹性波的另一个不同。 通常，将第一布里渊区内的波形向量称为简约波向量，根据波形向量的取值可知各个波形向量在波形向量空间中，另外，由于第一布里渊区的长度为2/a，所以在第一布里渊区共用波形向量q的取值，是格波的色散关系式吗另外，在布里渊区的边界q=/a，群速度为零，但最大也是不连续介质中波浪的重要特征之一。 (合计n个值)，即，第一布里昂区域中的晶格振动的波动矢量的数量与结晶原单元的数量相等。 这也是格波的独立波矢量数，均

7、匀分布在第一布里渊区，取n个离散的值。 即，整数l是可能的3 ) .在长波的极限和声枝，即长波的极限，频率的线性取决于波矢量q，如图中的折断线表示。 如果波长长，那么所对应的波形向量可以被认为是弹性连续介质，其中在起始级曲线随着q的增加而开始线性上升并且q是零的长波的极限处。 此时格波传播的速度(群速度)是上式中的波矢量前的系数，对应于速度的最大值，群速度(/q )和相速度(/q )相等，即，在长波极限波长=2/q远大于光栅常数a，离散的晶格点可以近似连续分布， 频率和波矢量q的关系与声波在介质中的传播类似，因此将长波的界限称为声支(acoustic branch )，与各组(，(q )对应的振动模式也称为对应的声模式(acoustic mode )，