物理竞赛辅导-力学(08简)

1、第二十五届非物理a组 将于2008年12月14日（星期日） 下午2：004：00 在清华,一、命题原则 提高学生能力，既要考察学生对课内学过的基础知识的掌握，又要考察学生自学能力、灵活运用知识解决问题的能力。因此，命题将不拘于教学大纲，也不受教材限制，但不出偏题和繁琐题。,宋 敏,1、最近几年获得诺贝尔物理学奖的项目名称(1999年16届，1988年5届)； 2、嫦娥一号奔月，神州七号发射成功,三大题：满分120分,一、填空题（112题）：每空2分，48分,二、计算题（1316题）：13分,三、计算题（17，18题，19题）：10分,题型：,有步骤分！,宋 敏,力 学,质点力学,刚体力学,20

2、30分，,闭卷,参考书：赵凯华力学,宋 敏,一、描述质点（或刚体）运动的物理量,线量（平面运动） 角量（圆周运动）,位矢,角位置,位移,角位移,速度,角速度,角加速度,宋 敏,运动学的两类问题：,1) 已知a(t),2) 已知a(v),3) 已知a(x),(1)已知运动方程，求质点的速度和加速度,(2) 已知速度(或加速度)，求运动方程(或速度).,宋 敏,质点（刚体）动力学,基础：牛顿三定律,演绎：,力的时间积累,力的空间积累,动量和 角动量定理,动能定理,宋 敏,二、质点或刚体的动力学方程,1、（质点）牛顿第二定律：,通常应用其分量形式,2、（刚体定轴转动）转动定律：,3. 刚体的平面平行

3、运动如滚动：质心平动绕质心的转动,宋 敏,三、（两体）有相对运动：非惯性系？ 惯性系？质心系,1、非惯性系，考虑惯性力：,3、用质心系：,2、惯性系：,宋 敏,四、三大守恒定律,（一）、动量定理与动量守恒定律,1、动量定理：,2、动量守恒定律：惯性系：,合外力为零,变质量问题：,宋 敏,（二）、功能关系、机械能守恒定律,1、动能定理,3、机械能守恒定律,重力势能，引力势能，弹性势能,2. 系统的功能原理：,变力作功,宋 敏,（三）、角动量和角动量守恒定律,2、角动量定理,3、角动量守恒定律,合外力矩为零,1、角动量,质点：,刚体：,宋 敏,12,培养综合解题能力,“翻译”为有物理意义的数学表达

4、式,1）保持或脱离接触,2）恰好作圆周运动,仅由重力提供向心力,绳,（而不是 ）,保持接触,脱离接触,杆 恰好作圆周运动,宋 敏,13,4）两板之中将一板抽出,6）m2刚被提起，n=0, t=m2g,5）两物体无相对滑动,7）弹簧被最大压缩：,3) 摩擦系数的讨论,宋 敏,1a：作直线运动的质点，在t0时，它沿x轴方向的速度为vx=ax，其中a 为一个非零常量，已知t=0时，质点位于x00的位置，那么质点运动过程中的加速度ax与位置x的函数关系为ax= ,质点位置x与时间t之间的函数关系为x= .,1.2.2,15届1,题型一：,宋 敏,22届2,1b：由t=0时振子的位置x0和速度v0，可确

5、定临界阻尼振动 （式中为已知量）中的待定常量a1、a2，分别为_， t=0时振子加速度为a0= .,宋 敏,1c、由空气中垂直下落的物体所受空气阻力f与空气的密度、物体的有效横截面积s、下落的速率v的平方成正比，阻力的大小可表示为f=csv2，其中c为阻力系数，一般在0.20.5之间， =1.2kg/m3，物体下落经过一段时间将达匀速，这称为终极速率。试估算质量为80kg、有效横截面积为0.6m2的某人从高空跳下，他下落的终极速率v终= km/hr(千米/小时）,1.2.5,16届1,宋 敏,1d、半径为r的小球在空气中下降速度为v时，所受空气阻力为 f(v)=3.110-4rv+0.87r2

6、v2， 式中各量均为国际单位制。则半径为2mm的雨滴在降落过程中所能达到的最大速度（即收尾速度）为 ms-1,1.2.6,14届2,宋 敏,2a、一倾角为的斜面，放置在光滑的桌面上，两者间的摩擦系数为(tg ),欲使木块相对斜面静止，则木块的加速度必须满足（ c ）,光滑桌面,1.1.6,7届1,宋 敏,2b、在斜角为的固定斜面上有一与斜面垂直的固定光滑细棍，一条长为l、质量线密度为的匀质细绳平直地放在斜面上，细绳的长度方向与斜面底边垂直，下端尚未接触斜面底边。细绳的上端绕过细棍连接一个质量为m的小球，小球几乎贴近细棍，设绳、小球与斜面间的摩擦系数相同，其数值等于tg/2，系统开始时处于静止状

7、态。,（1）如果而后小球能沿斜面下滑，试求小球质量m的可取值，并给出其下限值m0,17届15，1.3.8,宋 敏,(2)若小球质量为（1）问中的m0，小球因受扰动而下滑，不考虑绳是否会甩离细棍，试求小球下滑xl距离时的下滑速度v和下滑加速度a （3）接（2）问，再求小球从下滑距离达l/2处到下滑距离达l处所经历的时间t,宋 敏,3. 将劲度系数为k，自由长度l，质量m的均匀柱形弹性体竖值朝下，上端固定，下端用手托住。(1)设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰为l，试求此时手向上的托力f0；(2) 而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体下端分离，求此期间手的托力作的功w。,21届18,变力作功

8、w：,宋 敏,4b. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面间的夹角 始终不变，求，a1，a2，,4a. 车厢内的平台c与车厢一起向左匀加速运动，物块a通过一滑轮与物块b通过轻绳连接，物块a与桌面间摩擦系数=0.25，a，b的质量ma=20kg, mb=30kg, 车厢以a0=2m/s2向左运动，假定稳定后绳将倾斜不晃，求绳中张力。,20届14,23届13,宋 敏,20届14,1.3.15,4a,宋 敏,24,5a. 质量分别为m1m2的两物块与劲度系数k

9、的轻弹簧构成的系统如图，物块与地面光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为l，物块静止，将右侧水平外力撤去后，系统质心c可获得的最大加速度是_，可获得的最大速度是_。,m1,m2,f,19届1,宋 敏,5b. 一水平放置的轻弹簧，倔强系数为k，其一端系一质量为m的滑块a，a旁有一质量相同的滑块b，两滑块与桌面间皆无摩擦。若加外力将a、b一起推进，使弹簧由原长缩短d，然后撤销外力，则b离开a时速度为 ( )。,解：,撤销外力后，a、b一起向右加速(弹力)，直到弹簧恢复原长时，达到最大的共同速度，以后a减速， b向右匀速运动，ab分离。在b刚要离开a时，由机械能守恒,a,b,8届1,宋 敏,5c. 如

10、图所示，一质量为m的物块处于无质量的直立弹簧之上h处，自静止下落，设弹簧的倔强系数为k，问物块所能获得的最大动能是多少？( )。,解：物体自由下落后压缩弹簧，直至弹性力等于重力时速度最大。设此时弹簧被压下x 距离，,机械能守恒，,m,h,k,三届3,1.1.4,宋 敏,y,x,a,m,m,v,6a 、一质量为m的小球从一个半径为r、质量为m的光滑半圆柱顶点下滑，半圆柱底面和水平面光滑接触， （1）写出小球在下滑过程中未离开柱面这段时间内相对地面的o-xy坐标系的运动轨迹方程_。 (2)如果半圆柱固定，小球离开柱面时相对y轴的偏转角_,21届2,动量守恒, 机械能守恒，相对运动,题型二、动量守恒

11、定律：,宋 敏,6c、如图所示，具有半圆柱形凹槽的木块放置在光滑的地面上，木块质量为m，质量为m的质点从最高处由静止滑下，摩擦力忽略不计，求质点下滑至最低点时给木块的压力。,1.3.9,1.3.3,7届四1,2届四1,动量守恒, 机械能守恒，相对运动,宋 敏,7a：平直铁轨上停着一节质量为m的车厢，有若干名质量同为m的学生列队前行，教员押后，他们都以相同速度v0跑向车厢。每名学生在接近车厢时，又以2v0速度跑着上车坐下，教员却因跑步速度没变而恰好未能上车。由此知，学生人数为_，全过程中由教员、学生和车厢构成的系统，动能损失为_。,20届1，1.2.23,7b：一质量为m的铁道平板车，沿一水平直

12、线轨道运动(忽略摩擦)。开始时，车静止不动，现有n个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为vr。问：在下列两种情况下， (1) n个人同时跳离； (2) 一个一个地跳离，平板车的末速是多少？所得结果为何不同？,9届三（1），1.3.5,宋 敏,8a：光滑水平面上有一内壁光滑的固定圆环，三个质量为m1， m2 ，m3的小球沿着环的内壁作圆周运动，初始时刻各球的速度大小和方向如图，而后小球间发生非弹性碰撞，那么三个小球最终会停止运动的条件是_.从初始状态到最终全部停止运动的过程中，系统的动能、动量和相对圆环中心的角动量中不守恒的量为_,17届2,根据角动量守恒,宋 敏,8b

13、：光滑水平桌面上有4个相同的匀质光滑小球，其中 球2、3、4静止，如图，球1具有向右初速度v0 。设小球之间是弹性碰撞，最后这四个球中停下的是_(答：2)，运动的球中速度最小值为_(答：v0 /5),20届2，,8c： 23届1：在每边长为 l 的正方形光滑台球桌面abcd上，有两个静止的小球p和q，其中p到ab边和ad边的距离同为l /4，q到cd边和ad边的距离也为l /4。p球对准s点以速度v运动，相继与bc及cd边弹性碰撞后，恰好能打中q。则s点与c距离为_，p从开始运动直到与q相碰，经过的时间为_（ 答l /4，）,s,p,q,c,a,b,d,宋 敏,题型三1. 转动惯量和振动周期,

14、3) 正交轴定理:,1). 对同一轴j具有可叠加性,题型三、刚体动力学,1. 转动惯量:,宋 敏,2. 复摆的振动周期:,l,宋 敏,9a：圆心记为o，半径为r，质量为4m的匀质圆板，内切地割去半径为r/2的小圆板后，剩余的板块如图，其质心位置记为c。过o、c分别设置垂直于板面的转轴，相对这两个转轴的转动惯量各为_，_。,o,.,20届3,2.2.11,.,o1,y,宋 敏,9b：两根长均为l，质量均为m的匀质细杆固接成的对称t字形。过t形尺上任一点作垂直于t形尺所在平面的转动， t形尺相对该转轴便有一转动惯量，(1)试求这些转动惯量中的最大值jmax；(2)若t字形尺绕jmax对应的水平光滑

15、轴作无摩擦小角度摆动，求摆动周期t。,o,c,质心c距轴o的距离为：,复摆的摆动周期：,12届17,17届3,1.2.2,宋 敏,9c：一质量为m、长l的均匀细杆op，可绕一端o在竖直平面内自由摆动（无摩擦）。（1）细杆相对此转轴的转动惯量；（2）当最大的摆角较小时，摆动周期？,2.2.7,19届2,宋 敏,37,题型三2 平面平行运动,质心被限制在一个平面上运动。如车轮滚动,克尼希定理：刚体的运动,质心的平动, 绕质心的转动,宋 敏,38,纯滚动条件：,c,ac,f,a,接触点的瞬时速度为0，瞬时切向加速度为0,接触点a, va=0，at = 0,顶点b, vb= vc +r= 2 r,b,

16、宋 敏,39,10a：质量、半径相同的匀质圆环a、匀质圆盘b和匀质球体c，开始时旋转角速度同为0，在水平地面上从同一“起跑线”以相同的水平初速度朝同一方向运动。若a, b, c与地面间的摩擦因数相同，那么a, b, c中最先达到匀速纯滚动状态的是_，最终动能损失量最大的是_：,23届6,宋 敏,40,10b：半径为r的圆环静止在水平地面上，t=0时开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t0时刻，环上最低点的加速度大小为_, (r2t2)最高点的加速度大小为_,解：滚动可视为质心的平动加绕质心的转动，,a,c,b,ac,对接地点a，瞬时速度和切向加速度为0，,18届8,2.2.10,对b点，,宋

17、 敏,41,11a：一个人想用竿子（长为l）打在岩石上的办法把竿子折断，为此，他用手拿住竿子的一端，让竿绕这端作无位移转动，他希望当竿打在岩石瞬时，手受到的冲击力最小，竿的哪一点打在岩石上最好？,11b：一质量为m、长l的均匀细杆op，可绕一端o在竖直平面内自由摆动（无摩擦）。今让此杆从水平状态自由地摆下，(1)当细杆摆到角位置时，它的转动 角速度和转动角加速度；(2)当=90时， 转轴为细杆提供的支持力n=(),9届1,2.1.3,14届1，2.2.8,宋 敏,42,12a：一质量m、半径r的匀质圆板静止在光滑水平面上，极短时间内使其受水平冲量i，如图，圆板中心o点将因此获得速度v0=_，同

18、时，圆板将绕过o点的竖直轴以角速度=_旋转,o,r/2,22届1,解：可分解为质心的运动绕质心的转动，,质心的动量定理,角动量定理：,宋 敏,43,12b：一刚体质量m无转动竖直自由下落，图中水平虚线对应过刚体唯一的最低点p1的水平切平面，图中竖值虚线p1p2对应过p1点的铅垂线，c为刚体质心。设c与p1p2 的距离d，刚体对c的转动惯量ic，icmd2,已知刚体与地面是弹性碰撞，且无水平摩擦力，求刚体碰撞地面后弹离时的质心速度和角速度。,19届18,宋 敏,44,13：如图，光滑水平面上有一半径为r的固定圆环，长2l的匀质细杆ab开始时绕中心c点旋转，c点靠在环上，且无初速度。假设而后细杆可

19、无相对滑动地绕着圆环外侧运动，直到细杆的b端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环间的摩擦系数处处相同，求 的取值范围。,22届18,a,b,c,宋 敏,45,14a、质量为m的小圆环套在一长为l、质量为m的光滑均匀杆ab上，杆可以绕过其a端的固定轴在水平面上自由旋转，开始时，杆旋转的角速度为0，而小环位于a点处当小环受到一微小扰动后，即沿杆向外滑行，试求当小环脱离杆时的速度（方向用与杆的夹角表示）,2.3.4,5届（上海）二2,题型三3、质点刚体综合动力学问题,宋 敏,46,14b、有一长为l，质量为m的匀质细杆，置于光滑的水平面上，可绕过杆中心o点的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与

20、杆相同的小球沿与杆垂直的速度v飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆端点，如图所示。 （1）定量分析系统碰撞后的运动状态； （2）若去掉固定轴，杆中点不固定再求碰撞后系统的运动状态。,2.3.6,16届11,o,宋 敏,47,14c、在光滑的水平桌面上，整齐地互相平行的排列着一组长为l,质量为m的均匀细杆，杆间距离是足够大的，今有一质量为m的小球以垂直于杆的速度v0与细杆一端作弹性碰撞，随着细杆的旋转，此杆的另一端又与小球弹性相碰，而后小球相继再与第二杆、第三杆、相碰，问当m/m为何值时，m才能仍以v0穿出细杆阵列？,2.3.7,动能守恒,动量守恒,角动量守恒,4届三（1）,宋 敏,48,15、长l，

21、质量m的匀质重梯上端a靠在光滑的竖直墙上，下端b落在水平地面上，梯子与地面的夹角为600。一个质量也为m的胖男子从b端缓慢爬梯，到达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过中点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦因数=_。若换成质量为2m/3的瘦男子，从b端缓慢爬梯，为使梯子不滑动，他可到达的最高位置与b端相距_。,23届4,答：,宋 敏,题型四、行星运动,1、开普勒三定律,2、行星的轨道运动：,v1,v2,r-,r+,a,c,b,宋 敏,根据e判断行星的轨道类型：,宋 敏,3、宇宙速度：,1)、第一宇宙速度：,2)、第二宇宙速度：,宋 敏,16a、质量m的质点固定不动，在它的万有引力作用下，质

22、量m的质点绕m作半径r的圆周运动，取圆轨道上的p点为参考点，在图中1处，m所受万有引力相对p点的力矩为_，m相对p点的角动量为_。在图中2处，m所受万有引力相对p点的力矩为_， m相对p点的角动量为_。,1.2.19，15届-4,例：行星、人造卫星的运动,p,2,1,m,宋 敏,16b、人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径将如何变化？（ d ） a)速度减少，半径增大； b)速度减少，半径减少； c)速度增大，半径增大； d)速度增大，半径减少。,1.1.16,宋 敏,16c、哈雷彗星的周期是76年，已知它离太阳最近距离是8.91010m，则它离太阳的最远

23、距离约为地球平均轨道的_倍。已知地球平均轨道半径为14.951010m 。,1.2.20，13届9,宋 敏,17a、行星原本绕着恒星s作圆周运动。设s在很短时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减小为原来的倍，行星随即进入椭圆轨道绕s运行，求该椭圆轨道的偏心率e.,20届18，1.3.16,17b、一火箭在环绕地球的椭圆轨道上运动，为使它进入逃逸轨道需要增加能量，为此发动机进行了短暂的点火，把火箭的速度改变了v，只有当这次点火在轨道_点，且沿_方向时，所需v最小。,21届1,宋 敏,17c、一个m的卫星绕着m, r的大星体作半径为2r的圆运动。从远处飞来一个2m，速度为 的小流星，恰好沿着卫星的运动方向追上卫星，并和卫星激烈相撞，组成一个新星体。假定碰后新星速度仍沿原来方向. (1)用计算表明新星的运动轨道类型，计算轨道的偏心率e；(2)如果流星沿着卫星速度的反方向发生如上碰撞，计算偏心率，给出新星体能否与大星体