高中数学 典型例题 直线与平面的平行的判定和性质 新课标（通用）

1、典型例题1例1简单总结下列问题的结论，画画说明(1)与直线平面、直线的位置关系如何？(2)与直线、直线、直线、直线的位置关系如何？分析： (1)由图(1)可见；或(2)由图(2)可见；或说明：这个问题是考察直线和平面的位置关系的例题，必须注意各种位置关系的画法和表示方法典型例题2例2是有平行四边形的平面外的点，在其中点求证据：平面分析：要证明平面外的直线与平面平行，只要平面内的直线与已知的直线平行即可证明：如图所示，网络链接，交给点四边形是平行四边形连接在平面内，且为中央线1在平面外平面说明：为了用线面平行的判定定理来证明线面平行，在平面内发现直线与已知的直线平行是很重要的，如何寻找直线呢？两

2、条直线首先要保证同一平面，所以总是设法把已知的直线作为平面与已知的平面相交，只要能证明已知的直线和交线平行，就可以立即得出结论。 证明该线面平行的步骤可归纳如下通过直线的平面得到交线，线平行则线面平行典型例题3例3穿过两个不同面的直线，除此之外的点可以平行于几个平面？ 证明你的结论分析：考虑到点的不同位置，可以分为两种情况进行讨论解： (1)如果点位于其自身确定的平面与(或)平行，则即使越过点，也无法生成与其平行的平面(2)如果点的位置不平行于其自身定义的平面(或平行于其自身定义的平面)，则该点可以交叉而不重叠，因为点越过了另一个点。 因为是规定的平面，所以从线面平行判定定理可知：一个平面都能

3、够平行。所以必须是“0个或1个”的平面解释：本问题的解答容易忽略点的不同位置的讨论，错过第(1)的情况得出了形成一个平面的错误结论。 思考问题要全面，应该分别对情况进行分类讨论。典型例题4例4平面外的两条平行直线中的一条与该平面平行，另外一条也与该平面平行已知：直线、平面寻求证据。证明：如图所示，通过平面内的点作为平面设防卡卡卡卡2222222221另外，再见122222222222222222261说明：根据判定定理，只要在内部找到直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以与平面交叉，我们经常把平面称为辅助平面，它起桥梁的作用，可以把空间问题转化为平面问题以与向平面几何添加辅助线

4、相同的方式，在建构辅助平面时，首先确认该平面存在，例如，在本例中，基于直线和直线以外的点决定一个平面来创建辅助平面.典型例题5众所周知，四面体片的所有臭氧长度都是可以求得的(1)异面直线的公垂线段及的长度(2)与异面直线所成的角分析：从异面直线的垂线概念中求异面直线的垂线段，求其距离的异面直线所成的角可以用平移构造法求解解： (1)如图所示，分别取的中点、连接从已知中得到22222222222222222222221可以证明一样的事情是公垂线段里面有2220是.(2)取的中点、连接2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6中网络链接从余弦定理得到是.1与异面直线所成的角说明：注意立体几何问题转换为平

5、面问题解决，应在对云同步简要描述转换过程后再进行评价典型例题6例6直线与平面平行，通过该平面内的点，与该直线平行的直线一定在该平面内.已知：直线寻求证据。分析：因为平行于过点的直线是唯一存在的，所以本问题是为了证明不存在平行于平面外的直线是定性命题，而使用反证法证明：如图所示，为通过直线和点的平面，并且喀喀喀喀喀22222喀喀喀喀喀喀像这样，通过点上平行于两条直线和云同步，与平行公理相不符点必含说明： (1)本例的结论可作为直接证明问题的依据(2)本例可以用相同的方法证明，只改变记述方式如上图所示，通过直线和点构成平面，22222卡卡卡卡卡卡6这样，与所有点平行的直线，根据平行公理，这样的直线

6、只有一条2222222卡卡卡卡卡卡卡卡6典型例题7下面的命题正确的个数是().(1)直线上无数点不在平面内时(2)如果直线与平面内的无数直线平行，(3)如果直线与平面平行，则与平面内的任意直线平行(4)如直线在平面外，A.0个B.1个C.2个D.3个分析：本题考察空间直线与平面的位置关系。 正确理解三个位置关系定义是解题的关键。 直线和平面的位置关系除了用直线和平面的共同点的数量分类外，还留心了直线在平面内可以用有木有进行分类。解： (1)因为没有说明直线上无数的点不在平面内，有的点不在平面内，所以直线即使平行于平面也有可能与直线相交。 解题时要注意“无数”不是“一切”。 (2)直线与内无数直

7、线平行，但可能在平面内，所以直线不一定平行。 (3)这是初次学习直线与平面平行的性质时常见的错误，通过教学用具我们容易看到(4)直线在平面上的情况下，由于与和相交，所以有时不一定平行。所以选a说明：在判断问题中两条直线与一个平面的位置关系时，在解决问题时必须考虑分类完整、全面。 直线，如果一切平行，和的位置关系可能平行，也可能相交，如直线，和的位置关系可能平行，也可能包含在其中典型例题8如图例子8所示，当两个线面平行中的一个与已知平面相交时，另一个也与该平面相交。已知：直线.求证：直线与平面相交分析：利用转换为平面的问题得到解决，并确定了辅助平面，从而集中使用了与问题相关的因素，建立了新的线面

8、关系，降低了三次元的二次元，使其能够充分利用平数知识。解： 72222222222222222能确定为的平面卡卡卡卡222222222平面与平面通过升交点的直线在平面内两条平行直线，与其中一条直线相交因为一定和直线交叉，所以可以设置，也可以不在平面内(如果在平面内，因为和超过交叉的直线和和，所以重叠，内在，和已知不符点)。直线和平面相交说明：证明直线与平面相交的一般方法是证明直线与平面只有一个共同点。否定直线在平面内以及直线与平面平行的这个结论，只要一条直线通过平面内的一点，或者通过平面外的一点，该直线就一定与平面相交(这个结论可以用反证法证明)。典型例题9如图9所示，穿过两个不同平面的直线之

9、一证明只有一个平面平行于另一个直线。知道：不同面的直线。 求证明：过去有平行的平面，只有一个分析：本问题考察存在性和唯一性命题的证明方法。 解题时要理解“有、有”的意思。 “有”是证明平面存在于直线上，“有”是证明满足这种条件的平面是唯一的。 存在性常用构造法能够找到(或制作)平面，唯一性总是依赖于反证法或其他唯一性的结论。证明： (1)可以用直线取点，用点和直线确定平面如果在平面内超越点构成直线，则和成为相交的直线和可以决定平面222222222222222222221又(44444444444653 )1因此，通过存在与平面平行(2)如果是平面也通过且平行的另一平面，从以上导出过程也可知，

10、通过交叉直线和有通过两个交点的直线，由于只有一个平面的性质，所以与平面重叠也就是说，满足条件的平面是唯一的关于两个异面直线和，存在一个平面且平行，存在相同的平面且平行，并且，这两个平面也平行(之后可以证明)。关于异面直线和的距离，转换为直线到平面的距离也是求出异面直线的距离的一种方法。典型例题10如例10图所示，证明了一条直线和两个交叉平面平行，该直线和它们交线平行.已知：求证：分析：本问题考察了线面平行的判定定理和性质定理综合运用的能力。 利用线面平行的性质定理，可以证明直线分别与两平面的某一直线平行，即线面平行。 可以利用线面平行的判定定理和性质定理来证明平行。证明：在平面内取点，过和直线

11、作为平面相交7222222222222226531做同样的事情平面交往7222222222222226531122222222222222222261又(44444444444653 )1另外，再见1证明书：如图所示，在直线上取点通过点和直线与平面和直线相交，与直线相交喀喀喀喀喀222222喀喀喀喀喀222222但是，一点过后，一条直线和另一条直线只能平行与直线重叠又(44444444444653 )直线，全部与直线重叠1说明：“线平行”和“线面平行”可以在一定条件下相互转化，这种转化思想在立体几何中非常重要典型例题11例11正方形和正方形所在的平面相交，上面各一点，然后求证据分析：线面平行的

12、证明，基于判定定理，证明线平行。 重要的是，在平面中如何寻找直线和平行。 可以考察的平面和平面的交线根据这样的平面位置，求出的交线也不同。证明1 :如图所示，在平面内相交过在平面内交叉、连接过喀喀喀喀喀22222喀喀喀喀喀喀另外，再见即，即有正方形和公共边，1喀喀喀喀喀22222喀喀喀喀喀喀1又(44444444444653 )1四边形是平行四边形。1再次面对面面证明2 :如图所示，连接延长，连接喀喀喀喀喀22222喀喀喀喀喀喀另外，正方形和正方形有共同的边喀喀喀喀喀22222喀喀喀喀喀喀1再次面对面面说明：从正题可以看出，线面平行的根本问题是平面内直线与已知直线平行，在这种情况下，中央线定理

13、、比例线段、投影法、平行移动、补形等方法经常被使用，具体哪些方法是由条件决定的呢？ 在这个问题上，“有两个共同边的正方形”这个条件可以变成“两个联合的矩形”，问题的结论还成立吗？典型例题12例12三个平面被证明是两个和两个相交于三条交线，三条交线平行或相交于一点。已知：求证：相互平行或在一点相交分析：本问题考察的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系开始，再从共面的两条直线平行或相交来推断三条交线的位置关系证明： 22222222222222222261与平行或交叉如图所示卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653此外，44444444444四个卡卡61与相交后，如图所示再来另外

14、，2444444444444444653直线，相交于同一点说明：该结论常用于求解几何截面和各面交线的问题，如立方形分别画出、的中点、点、的平面和立方形各面的交线，说明截面多边形是几何学的形状？典型例题13例13已知的空间四边形，是的边上的高度，是的边上的中线，求证明：和是异面直线证明法1:(定理法)图从问题设定条件可知，设置了点、不重叠的某个平面。和是异面直线证据法2:(反证法)如果和不是异面直线，则设共面和过、的平面(1)如果重叠，则为中点，这与问题设定不符点如果不重叠的话喀喀喀喀喀22222222222222222222222262222222222喀喀喀喀喀喀由以上可知，假说不成立因此和

15、是异面直线说明：反证法不仅在数学题方面得到了证明，在其他方面也得到了广泛应用让我们先看看有趣的实际问题“三十六口汽缸，九艘船装船，只装提货单，不装双份。 怎么说装船？ ”“好的。”对于这个问题，同学们可以做实验多次实验后没有成功的话，可能会认为这个方法不存在。 怎么能从理论上说明这个方法呢？我可以用反证法简单地解决这个问题。 假定此方法可能，如果一个装船缸的数目是单数，那么九个单数的和还是单数，不符点36个双位数。 只用两句话就解决了这个问题。典型例题14例14、是不在同一平面内的3条线段，分别在、的中点求证明：与平面平行、平行分析：要证明平面，只需根据直线与平面的平等判定定理，证明平行平面内

16、的直线，从图中可以看出，只需证明即可证明：如图、网络链接、那样中、分别是的中点.还有平面可以证明是一样的到目前为止，要判定直线和平面的平行，需要(1)用直线和平面的平行来定义(2)根据直线和平面平行的判定定理典型例题15例15已知的空间四边形分别是和的重心寻求证据。分析：为了证明线面平行，即为了证明线面平行，即为了证明平面的某一直线平行，根据条件，该直线如图所示证明：取中点是，重心，连接你的网络链接呢2222222222222222222中又来了1(1)本例中的构造直线与平行是依赖于主题的一盏茶条件：分别为和的重心，由比例的性质所证明，该方法是常用的，希望大家注意把握(2)“想证明线面平行，想

17、证明线面平行”这一定理为我们提供了证明线面平等的方法典型例题16在示例16的立方形中，的中点表示如下图寻求证据。分析：线面平等的判定定理证明需要在平面内找到平行的直线，需要利用于一盏茶，并具有中点的条件证明：取得的中点、网络链接、网络链接122222222222222以埃653是的中央线，并且122222222222222以埃653还有还有四边形为平行四边形然后1典型例题17例17是直线，直线和平面内的().a .一条直线不相交b .两条相交的直线不相交c .无数直线不相交d .任何直线都不相交解：根据直线和平面的平行定义，很容易排除a、b。 相对于c，无数的直线是线面平行的组，也是同虚线的组，c也不正确，所以应该排除c可以确保直线与平面平行，而不与平面中的任何直线相交。应该选d说明：