数字信号处理6

1、第4章 离散时间系统,离散时间系统举例 离散时间系统的分类* 冲激和阶跃响应 lti离散时间系统的时域特性* 简单互联方案 lti离散时间系统 lti离散时间系统的分类* lti 离散时间系统的频域表示* 相位延迟和群延迟*,离散时间系统,离散时间系统的功能是对给定的输入序列 进行处理得到输出序列 。输出序列应含有更多所需的特性，或可以从中提取关于输入序列的某种信息。 在大多数应用中，用到的离散时间系统是单输入单输出系统。,离散时间系统,数学上，离散时间系统用运算子 表述，该运算将输入序列变换成系统输出的另外一个序列。 离散时间系统也可有会有多个输入或者多个输出。,4.1 离散时间系统举例,双

2、输入、单输出离散时间系统：,单输入、单输出离散时间系统：,调制器 加法器,乘法器 单位延迟,单位超前,4.1 离散时间系统举例,一个更复杂的单输入、单输出离散时间系统：,4.1 离散时间系统举例,累加器： 在时刻 的输出 是在时刻 输入序列 以及在时刻 的前一个 输出样本之和，后者是从 到时刻 所有输入样本值的和。 此系统累加了所有的输入数据。,4.1 离散时间系统举例,累加器的输入输出关系的另一种变形是 上面形式的累加器用于因果输入序列，此时被称为初始条件。,4.1 离散时间系统举例,m点滑动平均滤波器系统 用于平滑随机变化的数据。 在绝大多数应用中，数据 有界序列。 因此m点均值 也是有界

3、序列。,4.1 离散时间系统举例,若观测过程没有偏差，则可以简单地通过增加m来提高对噪声数据估计的准确性。 m点滑动平均滤波器可以直接实现包括m-1次相加、以值1/m为因子的一次相乘和能存储m-1个过去输入数据样本的存储器。 下面将推导滑动平均滤波器的一种更为有效的实现。,4.1 离散时间系统举例,使用上述递归方程计算序列第n时刻的m点滑动均值 ，现在只需要2次相加和1次与1/m相乘。,4.1 离散时间系统举例,其中 带有噪声 的信号。,4.1 离散时间系统举例,指数加权移动平均滤波器 用上式计算的移动平均需要包括1次相加和1次相乘。而且，只需存储前一次移动平均的结果。 不需要存储以前的输入数

4、据样本。,4.1 离散时间系统举例,当 时，指数加权平均滤波器通过对数据样本以指数形式加权，对当前数据样本的权重较大，而以前数据样本的权重较小。如下所示：,4.1 离散时间系统举例,线性内插器通常用于估计离散时间序列中相邻的一对样本值之间的样本值的大小。 因子为4的内插,4.1 离散时间系统举例,因子为2的内插器,(a)大小为512512的原始灰度图像；(b)大小为256256的下抽样后的图像；(c)用双线性内插法得到的放大图像,4.1 离散时间系统举例,中值滤波器 一组（2k+1）个数的中值定义为这样的一个数：若该组中的k个数值大于该数值，而剩下的k的数小于改数值，则该数据即为中值。 可以根

5、据数组中数值的大小对数排序，然后选取位于中间的那个数。 例子：考虑一组数字2，3，10，5，1 排序后为 3，1，2，5，10 因此，中值2，3，10，5，1=2,4.1 离散时间系统举例,中值滤波器是通过在输入序列 上滑动一个长度为奇数的窗口来实现的，每次滑动一个样本值。 在任意时刻n，输出 都为当前窗口中所有输入样本值的中值。 中值滤波器常用于去除加性随机冲激噪声，这类噪声将会导致受干扰信号中存在大量突发错误。 中值滤波器也通常被用来平滑由冲激噪声干扰的信号。,4.2 离散时间系统的分类,线性系统 移不变系统 因果系统 稳定系统 移不变系统 无源无损系统,4.2 离散时间系统的分类,线性离

6、散时间系统 定义：若 和 分别是输入序列为 和 的响应，则当输入为 时，其响应为 叠加定理必须对任意常数 和 以及所有可能输入 和 成立。,4.2 离散时间系统的分类,累加器 如果输入为 则输出为 因此，此系统是线性的。,4.2 离散时间系统的分类,当输入为 和 时，得到的输出 和 为 当输入为 时，输出为,4.2 离散时间系统的分类,另一方面， 若 则,4.2 离散时间系统的分类,对于有因果输入的累加器，线性条件 只有当初始条件 、 和 以及所有常量 和 都满足上面的初始条件。 若给出的该系统不是处于零初始状态，则这个条件不满足。,4.2 离散时间系统的分类,非线性离散时间系统 中值滤波器是

7、一个非线性离散时间系统 考虑窗长为3的中值滤波器 若输入为 ，则其输出是长度为3的序列 。 若输入为 ，则其输出是长度为3的序列 。,4.2 离散时间系统的分类,然而，若输入为 ，则其输出为 。 注意： 。 因此，中值滤波器是非线性离散时间系统。 非零初始状态的累加器的第二种形式是另外一个例子。,4.2 离散时间系统的分类,移不变系统 对于移不变离散时间系统，若 是对 的响应，则对输入 的响应可以简单地表示为 ，式中 是任意正或负整数。 输入和输出间的这种关系必须对任意输入序列及其输出成立。 若序列或系统的序号n与离散时刻相关联时，上面的限制通常被称为时不变性质。,4.2 离散时间系统的分类,

8、时不变性质保证对于一个给定的输入信号，系统相应的输出与输入信号所加入的时刻无关。 举例：上抽样器 输入与输出的关系：,4.2 离散时间系统的分类,当输入为 时，输出 为 由上抽样器的定义得 因此，上抽样器是一个时变系统。,4.2 离散时间系统的分类,线性时不变系统 线性时不变系统（lti）：既满足线性又满足时不变性的系统。 线性时不变系统在数学上容易分析和表示，易于设计。 在过去几十年来，用这类系统开发了很多有用的算法。,4.2 离散时间系统的分类,在因果系统中，第 个输出样本 仅由对应于 的输入样本决定，而不依赖于对应于 的输入样本。 在因果离散时间系统中，若输入为 和 ，响应分别为 和 。

9、 则 也就是说 简单地说，对于因果系统，输出的变化并不先于输入的变化。,4.2 离散时间系统的分类,因果系统： 非因果系统：,4.2 离散时间系统的分类,稳定性有不同的定义方式。 当且仅当系统对于有界输入产生有界输出时，我们说该系统是稳定的。 若对于 的响应是序列 ，且对于所有的n值，有 则对于所有的n值有,4.2 离散时间系统的分类,举例m点滑动平均滤波器是bibo稳定的： 对于一个有界输入 我们有,4.2 离散时间系统的分类,无源无损系统 无源离散时间系统是指，对每个具有有限能量的输入序列 ，输出序列 的能量不超过输入的能量，即 对于每一个输入序列，上面的不等式中的等号成立，则该系统是无损

10、系统。,4.2 离散时间系统的分类,举例考虑由 定义的离散时间系统，其中n是正整数。其输出能量为 因此，当 时，该系统是无源系统；而当 时，则是无损系统。,4.3 冲激和阶跃响应,单位样本响应是指输入单位样本序列 时数字滤波器的输出，或简称为冲激响应，记为 。 单位阶跃响应是指输入单位阶跃序列 时离散时间系统的输出，或简称为阶跃响应，记为 。,4.3 冲激和阶跃响应,一个离散时间系统的输入输出关系为 若 可得其冲激响应 为 可知其冲激响应是长度为4的有限长序列,4.3 冲激和阶跃响应,举例累加器的冲激响应 令 ，则其冲激响应为,4.3 冲激和阶跃响应,例因子为2的线性内插器的冲激响应 令 ，则

11、其冲激响应为 可以看出，该冲激响应是长度为3的有限长序列，也可记为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,4.4.1 输入输出关系 线性时不变性质使得lti离散时间系统可以由其冲激响应完全描述。 即若已知冲激响应，就可以得到系统对任意输入的输出。 设 表示lti离散时间系统的冲激响应 输入为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,我们计算其输出： 由于该系统是时不变的，因此我们可以计算每一个输入的输出，然后再将其叠加得到 。 由于该系统是时不变的,4.4 lti离散时间系统的时域特性,同样的，由于该系统是线性的 因此，由于线性特性，我们得到,4.4 lti离散时间系统的时域特性,由上面可知，任

12、意输入序列可以表示为形如 的延迟和超前单位样本序列的线性加权和。 lti离散时间系统对于序列 的响应为 。 因此。离散时间系统对于 的响应 为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,卷积和 即 举例冲激响应为 的lti离散时间系统，当输入为 时，其输出 为： 当冲激响应为 时，对于输入 ，可以确定其输出,4.4 lti离散时间系统的时域特性,现在 因此， 性质 交换律 结合律 分配率,4.4 lti离散时间系统的时域特性,卷积和运算可以作如下解释： 先将序列 时间反转得到 接着，将 平移 （ 表示向右移 个抽样周期； 表示向左移 个抽样周期）形成序列 形成乘积序列 把 的全部样本求和得到卷积和

13、 的第 个样本,4.4 lti离散时间系统的时域特性,在实际中，只要冲激响应序列或输入序列是有限长度的，卷积和就可以用来计算任何时刻的输出样本。 若输入序列和冲激响应序列都是有限长度的，则输出序列也是有限长度的。 若输入序列和冲激响应序列都是无限长的，则不可以用卷积和的方法计算系统的输出结果。 对于此类系统，我们仅分析其另一种时域描述，此时，该系统仅涉及卷积的有限和。,4.4 lti离散时间系统的时域特性,4.4.2 计算卷积和的列表法 两个有限长序列的卷积和计算可以通过列表法得到。 计算序列 与序列 的 卷积，得到序列 采用传统的乘法，对两个序列的样本相乘，但在列之间没有进位。,4.4 lt

14、i离散时间系统的时域特性,把每个 样本那一列上方对应的三项相加，可得到由卷积和产生的序列 的样本。,4.4 lti离散时间系统的时域特性,样本如下： matlab实现卷积 conv(a,b),4.4 lti离散时间系统的时域特性,4.4.3 用冲激响应表示稳定条件 界输入有界输出（bibo）稳定条件 对于所有输入序列 ，系统的输出序列 仍保持有界，则称该离散时间系统是稳定的。 当且仅当lti数字滤波器的冲激响应序列 绝对可和时，即 该系统是（bibo）稳定的。,4.4 lti离散时间系统的时域特性,证明：设 是一个实序列 由于输入序列 是有界的 因此， 意味着 ，即 是有界的。,4.4 lti

15、离散时间系统的时域特性,为证明逆命题也成立，假设序列 是有界的，即 。 考虑输入为 其中 是符号函数，定义为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,注意：因为 ，显然 是有界的。 对于该输入，当 时， 为 因此，由 推出 。,4.4 lti离散时间系统的时域特性,举例假定一个因果lti离散时间系统的冲激响应为 对该系统 因此，当 时，有 ，此时上面的系统是bibo稳定的。当 时，系统不是bibo稳定的。,4.4 lti离散时间系统的时域特性,4.4.4用冲激响应表示因果性条件 设两个输入序列 和 在 时刻，该lti离散时间系统的相应输出样本为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,若该lti离

16、散时间系统也是因果的，则 由于 则 所以这两个和式相等的唯一条件就是 和 均等于零,4.4 lti离散时间系统的时域特性,如果 也满足上面的条件。 于是，当且仅当lti离散时间系统的冲激响应序列 是因果序列时，该系统才是因果的。 举例离散时间系统为因果系统 则其冲激响应为,4.4 lti离散时间系统的时域特性,举例离散时间累加器为因果系统 则其冲激响应为 举例因子为2的内插器不是一个因果系统,4.4 lti离散时间系统的时域特性,则其非因果冲激响应为 注意：可以对具有有限长冲激响应的非因果离散时间系统中插入适当数量的延迟来实现因果系统。 例如，对离散时间因为为2的线性内插器的输出延迟一个样本周

17、期，可以得到对应的因果形式，新的输入输出关系为,4.5 简单互联方案,4.5.1级联 若两个系统的冲激响应分别为 和 ，则级联后的系统的冲激响应 表示为两者的线性卷积，即 注意：一般来说，由于卷积满足交换律，因而级联中的滤波器的顺序对整个冲激响应没有影响。 两个稳定系统的级联仍是稳定系统。 类似地，两个无源（无损）系统的级联仍是无源（无损）系统。,4.5 简单互联方案,级联方案可用于生成逆系统。 如果级联系统满足 则lti系统成为lti系统 的逆系统，反之亦然。 逆系统的一个应用就是将从变形的结果中恢复出来。,4.5 简单互联方案,举例离散时间累加器的冲激响应是单位阶跃序列 。 因此，逆系统必

18、须满足条件 可以推出当 时， 且 因此，该系统的冲激响应为,4.5 简单互联方案,4.5.2 并联 两个并联的lti离散时间系统的冲激响应分别为 和 ，则整个系统的冲激响应为,4.5 简单互联方案,下面的离散时间系统由四个简单的离散时间系统互联而成，他们对应的冲激响应分别为,4.5 简单互联方案,总冲激响应为 其中,4.6 lti离散时间系统的分类,4.6.1基于冲激响应长度的分类 若 具有有限长度，即 则它是一个有限冲激响应（fir）离散时间系统，此时，卷积和简化为 上面的卷积和是有限的，可以直接用于计算,4.6 lti离散时间系统的分类,滑动平均系统以及线性内插器都是fir离散时间系统。

19、若 无限长，则称其为无限冲激响应（fir）离散时间系统。 本书讨论的一类fir滤波器是可以由线性常系数差分方程描述的因果系统。 举例离散时间累加器 就是一个iir系统。,4.6 lti离散时间系统的分类,4.6.2 基于输出计算过程的分类 非递归离散时间系统：若仅仅知道当前和过去时刻的输入样本就可以顺序计算出输出样本，则该系统为非递归离散时间系统。 递归离散时间系统：若计算输出时除了需要知道当前和过去时刻的输入样本外，还需要知道过去时刻的输出样本，则该系统为递归离散时间系统。,4.6 lti离散时间系统的分类,4.6.3 基于冲激响应系数的分类 实离散时间系统：冲激响应是实值序列的离散时间系统

20、。 复离散时间系统：冲激响应是复值序列的离散时间系统。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,在实际中遇到的多数离散时间信号，都可以表示为很多个甚至无限多个具有不同角频率的正弦离散时间信号的线性组合。 若已知lti系统对单个正弦信号的响应，就可以利用系统的叠加性，求出对更复杂信号的响应。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,4.7.1 频率响应 特征函数（eigen function） 对于某些特定的输入信号，输出信号是输入信号乘以一个复常量。 lti系统的重要性质 冲激响应为 的lti离散时间系统如图所示,4.6 lti离散时间系统的分类,输入输出关系由卷积和给出 若输入为复指数序列 则输

21、出信号表示为,4.7 lti离散时间系统的频域表示,还可表示为 其中 对于复指数输出信号 ，lti离散时间系统的输出是具有相同频率的复指数信号乘以复常量 。 就是该系统的特征函数。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,是lti离散时间系统的频率响应 提供了系统的频域描述。 是系统冲激响应 的傅里叶变换 是变量 的周期 的复函数，可用如下形式表示 其中 称为lti离散时间系统的幅度（幅频）响应,4.7 lti离散时间系统的频域表示,称为lti离散时间系统的相位（相频）响应 在很多实际应用中，离散时间系统的设计指标以幅度响应或相位响应或两者同时给出。 在某些情况下，幅度函数会以分贝形式给出 其中

22、 称为增益函数，称为 衰减函数或损失函数。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,例4.31 滑动平均滤波器的频率响应 考虑m点的滑动平均滤波器，其冲激响应表示为 频率响应表示为,4.7 lti离散时间系统的频域表示,相应的幅度响应和相位响应为 其中 是 的阶跃函数，定义为,4.7 lti离散时间系统的频域表示,matlab中freqz(h,w)可用来求指定冲激响应量h在一组给定频率点w上的频率响应值。由这些频率响应值，还可以用函数real和imag计算实部和虚部，或用函数abs和angle计算幅度和相位。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,幅度响应在 处具有最大值1，而在 处为0； 相位

23、响应在 的每个零点表现处相差 的不连续，而在其他地方呈线性且斜率为 ； 由于计算了正反切函数，当计算相位响应时可能出现多个 的跳变，可通过在跳变点增加的 倍数来展开相位从而将相位函数写为 的连续函数。matlab中unwrap函数可用于上述目的。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,4.7.5 稳态响应和瞬态响应 一个因果稳定lti系统，当以振幅为常量的正弦序列作为输入时产生的输出，将在某一个时刻之后具有稳态输出，它也是振幅为常量并与输入具有相同角频率的正弦序列。 具有实冲激响应 的lti离散时间系统的频率响应为 ，lti系统的输入为,4.7 lti离散时间系统的频域表示,将 表示为两个复指

24、数序列之和的形式，即 其中 输入 的响应 为 输入 的输出是 的复共轭，即,4.7 lti离散时间系统的频域表示,输出 的表示为 由于 是实的，则有 也可表示为,4.7 lti离散时间系统的频域表示,4.7.7 滤波的概念 数字滤波器：让输入序列中的某些频率分类没有任何失真的通过，同时阻止其他频率分类通过的lti离散时间系统 滤波的关键 将任意一个输入序列表示为无穷多个指数序列的线性加权和，通过适当选择lti数字滤波器在对应于输入信号正弦分量的频率上的幅度函数值，相对于其它频谱分量，某些频谱就会被选择性地严重削弱或滤除。,4.7 lti离散时间系统的频域表示,考虑一个实系数的lti离散时间系统，幅度函数为 输入信号 其中 根据线性定理，系统的输出 为 考虑到系统的