高中数学 考前归纳总结 解三角形常考基本问题归类（通用）

1、解三角形常考基本问题归类 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近几年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素：指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问 题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题 例1、中，BC3，则的周长为（ ）A BC D 分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出bc，则周长为3bc而得到结果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B) 故三角形的周长为：3bc，故选(D) 评注：由于本题是选择题也可取ABC为直角三角形时，即B，周

2、长应为3 3，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)例2、在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BEx 在BDE中利用余弦定理可得：， ，解得，（舍去） 故BC=2，从而， 即又， 故，二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例3 在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB， 即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB

3、)0，得AB故选(B) 解法2：由题意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故选(B) 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统 一化为边，再判断(如解法2)三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例4、在中，若，则的面积S_ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式SABACsinA即可解决 解：由余弦定理，得cosA， 解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，故选(A)四、求值问题例5、 在中，所对的边长分别为，设满足条件 和，求和的值 分析：本题

4、给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理 解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B. 由已知条件，应用正弦定理 解得从而五、正余弦定理解三角形的实际应用：利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广 泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上 的高，而在河的一边，已测出AB长、 CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得， AC

5、=AB=120m，又， 解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC3015图2解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC直线AB，垂足为C，则SC=15sin30=7.5

6、。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。六、交汇问题：是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是 求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇例6、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （）求cotA+cotC的值； （）设，求ac的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余 弦