高中数学 空间向量与立体几何知识解析 新人教A版必修2（通用）

1、专题辅助学习用空间向量法解决立体几何问题一、知识回顾：1.空间矢量的坐标运算：空间直角坐标系的x轴为水平轴(对应水平轴)，y轴为垂直轴(对应垂直轴)，z轴为垂直轴(对应垂直坐标)。(1)，那么，1(使用向量模块和向量之间常用的转换：)2.空间两点的距离公式：主题大纲首先，介绍两个重要的空间矢量1、直线的方向向量；2.平面法向量。二、立体几何问题的类型和解决方法1.判断直线与平面之间的位置关系；(1)直线之间的位置关系；(2)直线与平面的位置关系；(3)平面之间的位置关系；2.求解空间中的角度；3.求解空间中的距离。1.引入两个重要的空间矢量ABZYXO1.直线：的方向向量是指直线上任意两点的向

2、量或与其平行的向量，作为直线的方向向量。如图1所示，在空间直角坐标系中，由A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)确定的直线AB的方向矢量为n2.如果平面的法向量：表示向量N的有向线段所在的直线，垂直于平面，这个矢量称为垂直于平面，表示为n，此时，向量n称为平面的法向量。3.如何在空间直角坐标系中找到平面法向量的坐标？如图2所示，假设a=(x1，y1，z1)和=(x2，y2，z2)是平面中的两个非共线非零向量。根据直线垂直于平面的判断定理，如果na和nb，那么n.换句话说，如果nb=0且nb=nba4.寻找平面法向向量坐标的步骤第一步(让):设置平面法向量的坐标为n=(x，y，z)。第二

3、步(列):列出了根据na=0和nb=0的方程在第三步(解决方案):中，z被视为常数，x和y由z表示.第四步(取):将Z作为任意正数(当然，越特殊越好)，然后得到平面法向量n的坐标.例1:在棱镜长度为2的立方体ABCD-A1B1C1D1中，o是平面AC的中心，得到平面OA1D1的法向量。AAABCDO第一等的B1C1D1zxybaba2.立体几何问题的类型和解法1.确定直线和平面之间的位置关系(1)直线之间的位置关系两条线不重合甲和乙的方向向量分别是甲和乙。(1)如果ab，即a=b，那么ab .如果ab，即ab=0，那么ab例2:众所周知，平行六面体ABCD-A1B1C1D1底面的ABCD为菱形

4、，C1CB=C1CD=BCD=。验证：c c1bd第一等的B1C1D1CBADnaL(2)直线与平面的位置关系：直线L的方向向量为a，平面的法向量为n，L 。nLa(1)如果an，即a=n，那么L 如果an，即an=0，则l。示例欣赏示例：边等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1，d和E分别为AC和CC1的中点，验证值为：(I) a1e 飞机dbc1(二)ab1平面DBC1第一等的C1B1ACBEDzxy(3)平面之间的位置关系平面的法向量是n1，平面的法向量是n2n1n1n2n2如果n1N2，即n1=n2，则如果n1n2，即n1 n2=0，则 示例说明在示例4:中，正方形ABCD-A1B1C1

5、D1、e和f分别是BB1和CD的中点。验证： AED A1FDzxyABCDFE第一等的B1C1D12.找到空间的角度(1)具有不同表面的两条直线之间的角度矢量法用于求两条平面外直线形成的夹角。代替平移这两条平面外直线，我们可以找到两条平面外直线的方向向量，所以两个方向向量的夹角等于或补充两条直线的夹角。我们只需要取一个锐角或直角。示例5:如正方形ABCD-A1B1C1D1所示，其中m是AB的中点，对角DB1和CM形成的角度的余弦是_ _ _ _ _。BCAMxzyB1C1D1第一等的CDMA(2)直线与平面之间的角度如果N是平面的法向量，A是直线L的方向向量，则角度 betzxyC1第一等的

6、B1ACBO(3)二面角BAo设n1和n2分别是二面角的两个半平面和的法向量。根据几何知识，二面角-L-等于或互补于法向量n1和n2(当法向量垂直坐标Z具有相同符号时)或互补于法向量垂直坐标Z具有不同符号时)，因此计算二面角可以转化为计算两个平面法向量之间的角度，这样可以避免绘制二面角的平面角度。BAo(1)、二面角是尖锐的二面角BAo二面角是一个钝的二面角BAo示例7:在金字塔s-ABCDdab=ABC=90，侧边SA底边AC，SA=AB=BC=1，AD=2，计算二面角a-SD-C的大小.ADSBxyCzAHBn(2)点到平面的距离a是平面之外的一个点(如图所示)，n是平面的法向量，由a构成。平面的斜线AB和垂直线AH。=。因此，点到平面的距离等于平面内外两点矢量和平面法向矢量的数量积的绝对值与平面法向矢量模的比值。示例欣赏示例9 :在三棱镜ABC-A1B1C1中，AA1=，AC=BC=1，ACB=90，找出从B1到A1BC的距离。zxyCC1第一等的B1AB空间矢量理论引入立体几何时，通常涉及夹角、平行、垂直和距离等问