初中数学基本几何图形

1、初中数学基本几何图形初中数学基本几何图形 这篇帖子是关于几何基本图形的。每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形用 熟，做几何题应该不成问题。 1、正方形与等腰直角三角形 正方形 ABCD，EF 为过正方形点 B 的直线且 AEEF，CFEF，则有AEBBFC。 将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理： 令 AD=BE=a，DB=CE=b，AB=BC=c，S ABC = 2 c2= 2 （a+b）2-ab ；化简得到：c2=a2+b2 11 2、梯形中位线 梯形 ABCD 中，ADBC，E、F 分别为 AB、DC 中点，则有 EF=（

2、AD+BC） 2 1 结合 1、2 有一道经典题目，在此奉上。 ABC，分别以 AB、AC 为边向外做正方形 ABFG、ACDE，连接 FD，取 FD 中点 H，作 HIBC，证明：HI= 2 BC 1 提示提示: :先证明先证明 BCBC 等于梯形上下底边之和等于梯形上下底边之和 【变形题【变形题 1 1】 如图如图 1 1，以，以 ABCABC 的边的边 ABAB、ACAC 为边向内作正方形为边向内作正方形 ABFGABFG 和正方形和正方形 ACDEACDE，MM 是是 DFDF 的中点，的中点，N N 是是 BCBC 的中点，连接的中点，连接 MNMN探究线段探究线段 MNMN 与与

3、BCBC 之间的关系，并加以证明之间的关系，并加以证明 说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面、中选取一种情况完成你的证明，选取比原题少得说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面、中选取一种情况完成你的证明，选取比原题少得 6 6 分，选取比原题少得分，选取比原题少得 8 8 分分 如图如图 2 2，将正方形，将正方形 ACDEACDE 绕点绕点 A A 旋转，使点旋转，使点 C C、E E 分别落在分别落在 AGAG、ABAB 上；上； 如图如图 3 3，将正方形，将正方形 ACDEACDE 绕点绕点 A A 旋转，使点旋转，使点 B B、A A、C C 在一条直线在一条直

4、线 答案：答案： 解：BCMN 证明：连接CM，然后延长CM 至 H，使 CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长 CD，与 BF 相交于 I， MF=MD，CM=HM，CMD=HMF， CMDHMF， AC=HF=CD， HFG=180 -GHF-HGF， HGF=DCM，GHF=IGC， BIC=IGC+DCM， BAC=360 -ABI-ACI-BIC=180 -BIC=180 -IGC-DCM=180 -GHF-HGF=HFB， ABCFBH， 四边形 ABIC 中ABI=ACI=90 ， HBF=ABC， CBH=HBF+CBF=ABC+CBF=90 ， BCBH，

5、N 是 BC 中点，M 是 HC 中点， MNBH， BCMN 分析：分析： 延长 CM 至 H，使 CM=MH，连接 FH、BH、CM、BM，延长 CD，与 BF 相交于 I，根据 MF=MD，CM=HM， CMD=HMF，可以证明BAC=HFB，即可证明ABCFBH，于是证明得CBH=HBF+CBF=ABC+ CBF=90 ，故知 BCBH，又因为 N 是 BC 中点，M 是 HC 中点，可得 MNBH ，于是证明出 BCMN 【变形题【变形题 2 2】 如图（1），在RtABC, ACB=90,分别以 AB、BC 为一边向外作正方形 ABFG、BCED，连结AD、CF，AD 与 CF 交

6、于点 M。 （1）求证：ABDFBC； （2）如图（2），已知 AD=6，求四边形 AFDC 的面积； （3）在ABC 中，设 BCa，ACb，ABc，当ACB90时，c2a2b2。在任意ABC 中，c2a2b2 k。就 a3，b2 的情形，探究 k 的取值范围（只需写出你得到的结论即可）。 【变形题【变形题 3 3】 已知：如图所示，从 RtABC 的两直角边 AB，AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE，CF，BD 分别交 AB，AC 于 P，Q.求证：AP=AQ . 3、角平分线出等腰。 AD 平分BAC ， 且 BD AC ， 则 BA=BD ， 此图形常出现于菱形中， 若有 AB

7、=AC ， 则连接 CD 后有菱形 BACD 。 补充一句，上一图可用于证明角分线定理。 4、双垂图。 5、一线三等角相似 AB=AC ，ADE= B，则ABD DCE 6、正方形中两垂直线段。 正方形 ABCD中， AF DE ， 则有 AF=DE ； 平移 AF 、 DE 进行推广， 在正方形 ABCD中， MN PQ ， 则有 MN=PQ 7、直角三角形斜边中线。 AB AC ，D 为 BC 中点，则 AD=BD=CD，该图可从矩形中挖出，也可从圆中找到图形。 8、直角三角形共圆 9、等腰三角形线段关系 11、常见旋转型 2。 12、常见旋转型 3 13、四边形共圆 四边形共圆 2 一道经典例题 一线三角模型的特殊形式。 补充： 一线三角相等模型中， B= C= ADE=n，则ADB+ EDC=180-n， DEC+ EDC=180-n所以， ADB= DEC ，又因为B= C ，所以ADB 相似于DEC ，所以AD/DE=BD/CE。当点D 为中点时，BD=DC，则 AD/DE=DC/CE，又因为 C= ADE ，所以 ADE 相似于DEC 。证毕 双等边三角形（正方形）模型 上一楼图形的性质 性质 1：通过证全等可知左图中，BD=AE ，右图中，BE=DF 性质 2：证全等后，做双高可知左图中，C