抛物线切线的几个典型性质及其证明

1、2007 年第5期中学数学研究 抛物线切线的几个典型性质及其证明 浙江省海盐元济高级中学(314 3 0 0 )崔宝法 在直线与圆锥曲线的关系问题中， 切线是位置最特殊的 直线.笔者经过研究发现， 抛物线 证明:不妨设p、 q 的坐标分别为(xl， . 、 ， _ _ . 、。d* 。 二 必_扩_ ，、n 少1 / 、 汤2 ， 少z j ， ， 1乍zy、四 共 汽 jz， 2 一 几 ， 吐 ao 在抛物线上. 易 知 过 尸 点 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 为 学- xz一 zpk x 一 zp m 二 0， 则 =4p2k2十 sp m =0， 刀王= _世 2 由 此知尸

2、q 的方程为y= 麟 世 2 k x一 ， 且xz= p k ， y z 二 k x z一 世 _ 世 22 由y二 赶一二1 联立 护 一 护 - 丈 护 与 世 2 粤= 1， 即y= 口一 过q点 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 为 ，=争 尸 得临2无 2一az)xz一占 2无 3p x azbz=0. *鱿 对到 过 扩 一 对 + h 2 - 2 a - b yz， 由 于尸 q 是它 们的 公切线， 则 一 。4 * ，2一4 (。2 ;2一)(望 _ 2 _ m l! 右 竺 兰 1 = 乃 诩 一 曰bz 夕 1 二 一yz， 即 xl =az 乙 2)=0， 即pz 无

3、 4+4占 2龙 2一 4a2=0.(2) 护 - y l 迎 p bz 少 ixz az p ，y ly 2 = 一 护(由 此知此公切线必是与 二 不 二“ 丈_ 国翎 爪四从az = 1(a 0， b 0)与抛 护 - 护 双曲线下支相切， 即与不包含抛物线焦点的一 物线xz=zp y (p0 ) 有共同 的 焦点 少 尹 支)， 结合 x羞 = 2户 ， 2， 故xlxz= 护 y， 瑞_ az p一 所以pz一 4a2=4石 2， 代入(2)得pz 无 4+ (pz一 4a2)秃 2一 4a2=0， 即乏 2= 卫 2 一 - - 护 一 y z - 2神z y l y z _ az

4、 户 一 一 2b2， 故y z一 琴， ， ，- 尸 从而， 1+ 从而k卯诵咫 ， 将其代入(1 ) 即 得 一 x l一 x z 誓 一 音 y l +y z+ 夕 x i x z 誓 一 音 y ly z 一 “ 一 2b2 (1) k即诵 叫二一 1， 即 艺尸 f砚=90 0 。 类似文 1 本文的性质可推广为: 若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重 合， 且双曲 线的中 心为抛物线的顶点， 它们的公 切线的 切点对该焦点的张角为直角. 下面计算yl+y: 的 值.不妨设公切线尸 q 的 程 为y=公十 m. 由y=k x 十 m与 护=zp y (p0 ) 联立， 得 参考文献 【

5、 1 米小渊.圆 锥曲 线的 一个优美性质【 j . 中学 学研 究(江西师大)， 20 0 7， 1. 二2 0 中学数学研究2007 年第5期 作为圆锥曲线中唯一的无心曲线， 其切线有着 其他圆锥曲线所没有的一些典型性质.下面列 出 其中 几条， 并给出 证明. 性质 1自 抛物线外任意一点引两条切 线， 则(1 ) 此点到焦点的距离恰为两切点处两条 焦半径的比 例中 项;(2 ) 两 条切线段在焦点 处所 张的角相等. 证明:设 抛物线少二 zp x (p0 ) 过焦点f (粤 ， 0)的 弦 两 个 端点 为a(xl， ， 1)、 b(xz ， 、 2 “ 产” ， ， “ ，一 ，叨

6、 八 ，、 / ，“ 、 立 7 1产 、 “ 、 乙 y z )， 则点a、 b 处的切线方程分别为y l y = p(x +xl)和yz y 二 p(x +xz).设它们的交点 为 。(二 。， 。)，贝。有 yly。 =p ( x 0 +xl)， y z y。 =p(x。 +xz)， 这表 ( t， 妹 龙 山 证明:(1 ) 如图1， 设抛物 线 方程为少二 zp x (p0 ) ， 焦 点 为f(粤 ， 0 ) ， 自 抛 物 线 外 一 朴 、 、 / ，、 2 ” 产 曰甲 “脚 点丁所引的两条切线的切点 分别为尸(zptlz， zp t l)和q 明 切点a(x， ， y z

7、)， b(xz， yz )都在直线y o y= p(x +x。 )上， 因 此直线a b的方程为y o y = p(多 +xo ) 又因为直线ab 经过焦点， 0 ) 坐标代入得x。 二 _ 卫 2 所以将焦点f 因此两切线的 月 月 尸 洲 / 一 叶 石 . / ， 山 卜 . 卜 二 匕 亿 卜 入 厂 | 图 (2p t 22， zp t z )， 则尸点 处的 切线方程为z t ly二 x+2p t 1 2， q 点 处的 切线方程为z t z y = x + zp t 尹 ， 由 此 解 得两 条 切线的 交点为t(zp t ltz ， ，(:1 +:2 )， 故1刃1 一(2环1

8、 :1一 音)，+， ，(，1 +:2 )2一4，2 o 1 2才2 2+，2(，1 2+:2 2 )+子- (2拼1，+专)(2并2，+音) 又 f p 一2 p t 1 2+音 ，咫一2 p t 2 2+ 音 ， 刃 一邵卜咫1， 即刃是 f p卜 m (x。 ， ， 。)在 准 线 :二 一音 上 性质3若抛物线准线上任意一点(异于 顶点)处的切线与通径所在直线及准线各交于 一点， 则这两个交点到焦点的距离相等. 证明:如图2， 设抛物线 方 程为少=zp x (p0 ) ， 其 上 任意一点 为尸 (zp t “ ， zp t ) (:， 。)， 则 焦 点 为f(音 ， ”)， 通

9、径 所 在 直 线 方 程 为 二 一 音 ， fq!的比例中 项. 尸点 处的 切线 方 程为zt y =x +zp t z， 易 知切线 与 通 径 所 在 直 线 的 交 点 为a (粤 ， 鲤 尝 井 卫)， 与 j 二 啥乙 (2) : 直线尸 f 的斜率k二= 4t i 4tiz一 1 直线 些 巡 生卫 、_ 4 t 从而可得 qf 的 斜率为k印= :_ _红 鱼 土些 刀“ 甘一4tltz一 1 4t2 4 t 尹一 1 直线 t石 ， 的斜率 准 线 的 交 点 为 ”( - -音 .a f一 冷卫，.b f i _ / j j - 世 鱼 亡 二 1分 _ - 八 i p

10、， ， 2一 vl ( 】 f . .根据直线交角公式可得 2+ i4p t +p ，4 t t8ji / 尸 fl ， 2(tl 一 tz) 4tltz+ 1 _ 2(tl一 tz ) 4titz+ 1 tan 艺qft= 性质4 :. 八 f l= ibf i. 若自 抛物线准线上的任意一点引 .ta n 艺尸 ft = t助艺qft ， 抛物线的两条切线， 则该点和焦点所连直线与 准线所夹的两角恰好分别被两条切线平分. 又 . 0 艺尸 石 丁 二 ， 0 艺q门， 0)， 则 由性质2 的证明过程可知: 过 准 线， 二 一 粤 上 任 意 一 点 片2 一 一叮 fx 图 3 2 0

11、 0 7 年第5期中学数学研究 话 说 三 角 变 换 中 的 目 标 意 识 浙江省宁波市湘仑中学(315 8 0 0 )吴文尧 三角变换一直是三角函数中的难点， 有的 同学虽然已熟记了一大堆三角公式， 但当涉及 到稍复杂的三角变换问题时就显得无从下 手 了， 究其原因 往往是没有看清问 题的本质， 目 标 意识不强所致;若能通过对题目 条件进行深入 的 分析研究， 抓住问 题的本质， 认清三角变形的 目 标， 在目 标的导航下进行变换， 则易于到达理 想的 彼岸.本文介绍确立解题目 标的若干途径， 供大家参考. 1以化简三角函 数式为变换的目 标 若要研究一个看似复杂的三角函数的性 质，

12、则往往须要把这个三角函数进行化简， 且多 数考题中出 现的函 数解析式最终可化为形如y =as i n (二+少 )十 k 的 形式. 例1求函数y二 sin 3 xs扩x + m舀x哪 争 x 岁 zx ! 1 之 飞 . | 、 足满点交 q (一 音 ， ， 。)作 两 切 线 所 得 的 切 点 弦p p 为 刃 。 一 ，(二 一 音)， 它 经 过 焦 点f(音.， ”)又 因 为 直 则垂线方程为y 二一 毕 x+粤， 切 线 与 垂 线 的 p乙 男。 =p(x +x。 )， 线qf 的 斜率k印= y 0 _ 卫 _ 卫 22 ， 一争+晋 ， ” 去 ， ， 得p x十 所

13、 以 场 场一 粤(一 粤)二 一lq f土 呼乙 、 p 一 一 尸 p产 . 设尸 、 尸 在准线上射影分别为d、 d产 ， 则由 抛物线定义知 尸 f !二尸 di， 尸 ，f = !尸 ，d 1， 即点尸到艺dqf 两边的距离相等， 点p 到 匕d， qf两边的距离相等， .丫 pq、 尸 ， q 分别平 分艺fqd 和匕fqd产 . 推论1过抛物线准线上任意一点向 抛物 线所引的两条切线必互相垂直. 推论2抛物线互相垂直的两条切线的交 点必在准线上， 性质5从抛物线的焦点向它的任意切线 作垂线， 垂足必在抛物线顶点处的切线上. 证 明:设抛物线 方程为少=zp x (p0)， 过其上任意一点尸 (xo， y。 )的 切线方程为男。 一 ， (二 +x。 ) 过 焦 点 f(音 ，“ )向 切 线 ” !垂 线 ， _ 2_ 2 二 _ _ 上2 立_ _ 2立_ n 祷 _2_ 。儿 、 框 p x 。 +匕 士 飞一 号 二 0.将y o 二 zp x 。 代入， 得p x p一匕一 ， ”一 一 。， 、 ，一 ， ， ，二 一 +娜。 +zxox 一 娜。 =0， 即(p +zx。 )x =0， 而 p+zx。 0， 故x 二 0， 即 垂足在过顶点的 切线 x = 0 上. 性质6若抛物线上任意一点处的切线与 对称轴所在直线交于一点， 则此交点及