向量组的线性组合

1、1、定义：由几个同次元的列向量(行向量)组成的集合称为、包含有限个向量的规则向量组与矩阵一一对应，有限向量组、第三节向量组的线性组合、(1)、向量组的线性组合、1。 在向量组：r(a) n时，由一次线性方程组ax=0的整体解构成的向量组包括无限多个向量、(1)、向量组的线性组合、1。 矢量组：2。 向量组的线性组合和线性表示，对于定义1向量组a1，a2，am，有组数k1，k2，km，设bk1a1k2a2 kmam，则向量b是向量组a1，a2， am的线性组合，定义：由几个同维的列向量(行向量)组成的集合称为向量组，示例1设a1=(1，0，0 )、a2=(0，1，0 )、a3=(0，0，)，并且

2、b=2a1-a2 a3，=2(1，0，0 )-(0，1，0 ) 的双曲馀弦值。 下一页，注意： (1)向量组a1、a2、a3的线性组合无限有多个，(2)一个向量b能够进行向量组a1、a2、a3的线性表示。 也有可能无法进行矢量组a1、a2、a3的线性表示。 例2所有的n维向量a=(a1，a2，an) t都是n维向量群e1=(1，0，0 ) t，e2=(0，1，0 ) t因为这是a=a1e1 a2e2 an en。矢量组e1，e2，en称为n维单位矢量组或n维基本矢量组，下一页，定义1是对于矢量组a1，a2，am，如果有组数k1，k2，km，则为bk1a1k2a2 kmam，结论：任何n an

3、)也可以是n维单位矢量组或n维基本向量组的线性表示，5，例如，如果设定，则可以是线性组合的系数，e1，对于下一页，定义1向量组a1，a2，am，可以是组数k1，k2， 设有km，设为bk1a1k2a2 kmam，则向量b是向量组a1，a2， am的线性组合，或者称为b的比例4向量组a1，a2， am中的任何一个都是该向量组的线性组合。 注意： k1、k2、 km没有限制。 特别地，k1、k2、km不是全部为零。 这是因为o=0a1 0a2 0 am，这是因为ai=0a1 1ai 0 am。 另外，能够用n维列向量组a1，a2，am线性表示定理n维列向量b的一盏茶要件是：在把x1，x2，xm设为

4、未知量的线性方程组x1a1 x2a2 xm am b中存在解。 讨论：上述线性方程在什么情况下有所了解？ 示意：线性方程组x1a1 x2a2 xm am b具有解所需的条件是系数矩阵和扩展矩阵具有相同秩，即矩阵(a1 a2 am )和矩阵(a1 a2 am b )具有相同秩。 下一页，第三页。 b是能够由a1，a2， am线性表示的判定方法：x1a1 x2a2 xm am b，定理n维列向量b是能够由n维列向量组a1，a2，am线性表示的一盏茶要求是设x1，x2，xm为未知量的线性方程x1a。 b可以由a1，a2， am的线性表示的判定方法： (1) n维列向量b可以由n维列向量组a1，a2，

5、 am的线性表示，(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b )，(1) n维列向量b可以由n维列向量组a1，a2， am的(2) n维行向量b可以由n维行向量组a1，a2，am线性表示，秩=秩，示例5确定向量b是否为向量组a1，如果适用，则导出表达式。 解：可以通过使之为x1a1x2a2 xab获得线性方程，能够解此线性方程，能够扩展矩阵(a1a2ab )，由于对线性方程有解，所以b能够用a1、a2、a线性表示，解是x-1，x-2的11) t分别是向量机如果适用，导出公式。 解： (1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。 因为(a1 a2 b1)=、等级(a1 a2 b1)=等级(a

6、1 a2)，所以b1可以用a1、a2线性表示。 因为线性方程组的解是x12、x21，所以设为2a1a2 b。 下一页，例6是向量b1=(4，3，- 1，11 ) t和a2=(2，3，0，11 ) t分别以向量组a2=(2，2，-1)来判断有木有。 如果适用，导出公式。 解： (2)考虑线性方程组x1a1x2a2 b2。 因为(a1 a2 b2)=、等级(a1 a2 b2)等级(a1 a2)，所以b2不能用a1、a2线性表示。 设下一页，例如向量a1=(1，2，3 )、a2=(0，1，4 )、a3=(2，3，6 ) b=(-1，1 )，解：考虑线性方程组x1a1tx2a2t x3a3t bt。

7、因为(a1t a2ta3t bt )、秩(a1t a2ta3t bt)=秩(a1t a2ta3t )，所以b可以用a1、a2、a3线性表示。 由于线性方程群的解是x11、x22、x3-1，所以ba12 a2- a3、15，例如证明向量b能够用向量群a1、a2、a 3进行线性表示定，求出式，解：向量b是a1， 由于这种方式，因为对应于最简单的行矩阵16的方程组是透明的，所以包括有限数量的规则向量组是与矩阵一一对应的b=(3c2) a1(2c1) a2ca 3，17 定义：设置了向量组a:a1，a2，am以及b:b1，b2， bl，如果能够用向量组a线性表示向量组b中的各向量，则向量组b对于向量组

8、的等效性，示例1向量组a1=(1，2 ) t，a2=(1，1 ) t，a3=(2，3 ) t是基本向量组e1=(1，0 ) t，e1关云同步字，并且向量组e1=(1，0 ) t=-a1t2a2t，e2=(0，1 ) t=a 1 由于可以用a2、线性表示，所以向量组a1、a2与向量组e1、e2等价，20、向量组a:a1，a2， am和b:b1，b2， 设置有bl，如果向量组b能够在向量组a中线性表示，则向量组b能够进行向量组a的线性表示，即，相对于b1，实数k11、k21、km1的组以成为b1=k11a1 k21 a2 km1 am的方式相对于b2，存在一组实数k12、k22、km2，b2=k1

9、2a1 k22 a2 km2 am。 相对于bl，因为存在实数k1l、k2l、 kml的关定径套字，所以bl=k1l a1 k2l a2 kml am， 如果22、cmn=aml bln，则cmn=aml bln，即、结论：矩阵c的行向量群可以用矩阵b的行向量群线性地表示，a是用此线性表示的系数矩阵，24、口诀：左行右列，定理： a是1mm的结论： c=ab， 矩阵c的行向量群可以用矩阵b的行向量群线性表示，a是该线性表示的系数矩阵(a是左)的矩阵c的列向量群可以用矩阵a的列向量群线性表示，b是该线性表示的系数矩阵(b是右)，25，a经过有限次初等列变换后在b中有有限个初等矩阵p1，p2， 存在pl，ap=b矩阵b的列向量群与矩阵a的列向量群变得等价于ap1 p2， 在pl=b中存在m阶可逆矩阵p的矩阵b的行向量群与矩阵a的行向量群等价，可以同样地得到：口诀：左行右列、p为线性表示的系数矩阵、26、向量群b:b1、b2、bl为向量群a:a1、a2、am b) (p.84定理2 ) r (b )。 b )向量组a和b的等价向量组b能够在向量组a中线性表示，向量组a能够在向量组b中线性表示，将证明有r(a)=r(a，b )、r(b) r(a，b )的n次单位矩阵的列向量作为n维单位坐标向量设am )，n维单位坐标向量群在矩阵a的列向量群中能够线性表示的一盏茶要件为r(a)=