相似矩阵矩阵可对角化的条件

1、1,2 矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质 二、矩阵可对角化的条件,p2/11,2 相似矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质,定义3.3 设a, b均为n阶方阵, 若可逆矩阵p, 使得 p1ap = b, (3.8) 则称a与b相似, 记作ab. 性质3.1 基本性质 1) 反身性; 定理3.5 若ab, 则 |a| = |b|; 2) r(a) = r(b); 3) a1 b1, a, b均可逆.,2) 对称性;,3) 传递性.,p3/11,2 相似矩阵可对角化的条件,若,推论 3.2,定理3.6 若ab, 则a与b的特征多项式相同, 从而a与b的特征值亦相同. 证明 ab 可逆阵

2、p, 使得p1ap = b,则l1, l2, ,ln 是a的n个特征值.,推论3.3 若ab, 则ambm, mz.,p4/11,2 相似矩阵可对角化的条件,定理3.7 a与对角矩阵相似 a有n个线性无关的特征向量. 证明 “” 设可逆阵p, 使 p1ap = l 为对角阵. 将p按列分块: p = (p1, p2, , pn), 因而有 于是有 api = li pi, i = 1, 2, , n.,二、矩阵可对角化的条件,p5/11,2 相似矩阵可对角化的条件,“” 设p1, p2, , pn为a的n个线性无关的特征向量,则有api = li pi, i = 1, 2, , n. 即 即a

3、p = pl . 又p可逆, 则有 p1ap = l 为对角阵.,p6/11,2 相似矩阵可对角化的条件,推论3.4 若an的n个特征值互不相等，则a与对角阵相似 注1 a可对角化, 但a未必有n个相异的特征值, 如ae 可对角化, 但其只有一个n重特征值. 注2 若a的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性 无关的特征向量, 从而a不一定可对角化, 但若能 找到n个线性无关的特征向量, 则a仍可对角化. 定理3.8 设li为an的 ni重特征值, i = 1, 2, , m, n1+ n2+ nm= n, 则 anl (对角矩阵) r(liea) = nni . 证明 “” anl 可逆阵p

4、使p 1ap = l ,p7/11,2 相似矩阵可对角化的条件,即,即pij, i =1, , m, j = 1, , ni 是方程组,的解.,p8/11,2 相似矩阵可对角化的条件,则,“”,的基础解系有ni个线性无关的向量,矛盾,因al, 由定理3.7知a有n个线性无关的特征向量,若,p9/11,2 相似矩阵可对角化的条件,a能否对角化? 若能对角化, 则求出可逆矩阵p, 使p 1ap为对角阵.,例3.3 设,解,故a的全部特征值为l1 = l2 = 1, l3 = 2,p10/11,2 相似矩阵可对角化的条件,将l1 = l2 = 1代入方程组(lea)x = 0 , 解之得基础解系 x1 = (2, 1, 0)t, x2 = (0, 0, 1)t. 将l3 = 2 代入方程组(lea)x = 0 , 其基础解系为x3 = (01, 1, 1)t. 由于x1, x2, x3线性无关, 则a可对角化.,令,故,注 若令,即p的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.,p11/11,2 相似矩阵可对角化的条件,例3.4 x, y为何值时,解,与对角矩阵相似?,则l1 = 1, l2 =