立体几何(向量法)—找点难(列方程)

1、立体几何（向量法）找点难（列方程）例1（2012高考真题福建理18）如图13，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长图13【答案】解：(1)以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故ad1(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存

2、在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos.二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos3

3、0，即，解得a2，即ab的长为2.例2（2012高考真题北京理16）（本小题共14分） 如图1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de=2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd,如图2.(i)求证：a1c平面bcde；(ii)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(iii)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则 。假设平面

4、与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。例3（2012高考真题全国卷理18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图11，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小图11【答案】解：方法一：(1)因为底面abcd为菱形，所以bdac，又pa底面abcd，所以pcbd.设acbdf，连结ef.因为ac2，pa2，pe2ec，故pc2，ec，fc，从而，.因为，fcepca，所以fcepca，fecpac90，由此知pcef

5、.pc与平面bed内两条相交直线bd，ef都垂直，所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb，g为垂足因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbcpb，故ag平面pbc，agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa，ag都垂直，故bc平面pab，于是bcab，所以底面abcd为正方形，ad2，pd2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc，且ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc，ad两点到平面pbc的距离相等，即dag.设pd与平面pbc所成的角为，则sin.所以pd与平面pbc所成的角为30.方法二：(1)以a为坐标原点，射线ac为x

6、轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设c(2，0,0)，d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e，b(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bde.(2)(0,0,2)，(，b,0)设(x，y，z)为平面pab的法向量，则0，0，即2z0，且xby0，令xb，则(b，0)设(p，q，r)为平面pbc的法向量，则0，0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，.因为面pab面pbc，故0，即b0，故b，于是(1，1，)，(，2)，cos，60.因为pd与平面pbc所成角和，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.例4（2

7、012高考真题天津理17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥p-abcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac=45，pa=ad=2，ac=1.（）证明pcad；（）求二面角a-pc-d的正弦值；（）设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长. 【答案】解：方法一：如图所示，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b，p(0,0,2)(1)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以pcad.(2)(0,1，2)，(2，1，0)设平面pcd的法向量(x，y，z)，则即不妨令z1，可得(1,2,1)可取

8、平面pac的法向量(1,0,0)于是cos，从而sin，.所以二面角apcd的正弦值为.(3)设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2，1,0)，故cos，所以，cos30，解得h，即ae.方法二：(1)由pa平面abcd，可得paad.又由adac，paaca，故ad平面pac，又pc平面pac，所以pcad.(2)如图所示，作ahpc于点h，连接dh.由pcad，pcah，可得pc平面adh，因此dhpc，从而ahd为二面角apcd的平面角.在rtpac中，pa2，ac1，由此得ah.由(1)知adah.故在rtdah中，dh.因此sinahd.所以二面角apcd的正弦值为.(3)如图所示，因为adc45，故过点b作cd的平行线必与线段ad相交，设交点为f，连接be，ef.故ebf或其补角为异面直线be与cd所成的角由bfcd，故afbadc.在rtdac中，cd，sinadc，故sinafb