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文档简介

1、问题的提出,在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布,2.4 随机变量函数的分布,求截面面积 的分布。,一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。,这个问题无论在理论上还是在实际中都非常重要。,Y 的可能值为,即 0, 1, 4.,解:,例1:,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,故 Y 的分布律为,由此归纳出离散型随机变量函数的分布律的求法.,离散型随机变量的函数的分布,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,解：设 Y 的分布函数为 FY(y)，则,例2：设随机变量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概

2、率密度。,于是Y 的密度函数,注意到,得,如何验证对否？,求导可得,当 y0 时,例3：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。,解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；,从上述两例中可以看到, 在求PYy的过程中, 关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式 。 例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y 。,这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。,这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的一种常用方法。,下面给出

3、一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度 。,定理的证明与前面的解题思路类似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数，,注意: 若 X的概率密度 fX(x)在区间(a，b)之外取值为零，就只需 g(x)在区间(a，b)是处处可导的严格单调函数, 则随机变量Y = g(X)是连续型随机变量，概率密度为,证明：,X 的概率密度为,例4：,结论：,特别的，,解：由题设，知X的密度函数为,例5：已知,求Y的密度函数.,所以当0y时，有,因此得Y的密度函数为,解: X的概率密度为：,例6：已知X服从U(0,1)分布.求随机变量Y的概率密度.,所以当0y时，有,所以Y=2lnX的概率密度为,的概率密度为,注意：若函数g(x)在X的概率密度非零区间上不单调，不能用公式求Y=g(X)的概率密度，只能用定义法.,例7：设随机变量X的概率密度为,求 Y = sinX 的概率密度。,解：注意到,0Y1.,当 y0 时， FY(y)=0；,当 y1时，FY(y)=1；,当 0 y 1时,而,对 FY (y) 求导，得,所以,1. 离散型随机变量的函数的分布,

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