行列式的性质与计算

1、对角线法则,1 二阶与三阶行列式的计算,知识回顾,3 n阶行列式的定义.,2 计算排列逆序数.,4 三角行列式的计算.,上（下）三角行列式 次三角行列式,1.2、1.3 行列式的性质、行列式按行（列）展开,1.2 行列式的性质,一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,1、记,2、性质1 行列式与它的转置行列式相等 （行列互换，行列式不变),3、性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,以 表示行列式的第i行，以 表示第i列.交换i，j两行记作 , 交换i，j两列记作,4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互

2、换相同的两行，有,第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik),性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘以此行列式.,6、推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,5、,7、推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,8、性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,9、性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) ,二、应用举例,计算行列式常用方法

3、：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,c1c2,r2r1,r45r1,0,0,8,16,6,4,7,2,r2r3,r34r2,r48r2,40,6,解,c1c2c3c4,6,c16,r2r1,r4r1,r3r1,6848,对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为,证,对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为,于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式,故Dp11 pkk q11 qnnD1D2,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利

4、用定义;(2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的5个性质,1.3 行列式按行（列）展开,一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 三、关于代数余子式的重要性质 四、小结,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,引理 一个 阶行列式D，如果其中第 行（列）所有元素除 外都为零，那么该行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,= 0,得,再看一般情形，此时,中的余子式,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数

5、余子式乘积之和，即,证,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,或,考虑行列式,仅有第 j 行不同，因此 的第j 行元素的,代数余子式与 D 的第j 行对应元素的代数余子式 相同.,上述证法如按列进行，即可得,由于 中有两行相同,综合上述定理及推论，,得代数余子式的重要性质,例1 计算行列式,解,例2,直接利用定理未必简化计算，因为把一个n 阶行列式的计算化成n 个(n-1)阶行列式的计算并不减少工作量，但是，当行列式中某一行（列）含有较多零时，定理便显出了优势。,注意：,同类因式的乘积,例3 (P.17),用数学归纳法证,关于范德蒙行列式注意两点,形式 按升幂排列，形成等比数列； 结果 共 n (n-1) / 2 项的乘积, 可正可负可为零.,对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式 因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.,你能识别出范德蒙行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,一般地?,范德蒙行列式 有几种形式?,如,例4,第四行各元素余子式之和为,分