03_02一维单原子链(1)ppt课件

1、3-2 一维单原子链,绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响,晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波,格波的研究 先计算原子之间的相互作用力 (受力分析） 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 (列方程）, 将电子的运动和离子的运动分开,一、物理模型,二选坐标系 选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡时为 X0nna, 它的位移记为 ， 位移后： Xn=na+ ：第n个原子的绝对位移，向右为正，向左为负。 三分析受力 近似： 近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用； 简谐近似.,一维无限原子链 每个原子质量m，平衡时原子间距a, 原

2、子之间的作用力, 第n个原子离开平 衡位置的位移, 第n个原子和第n1个 原子间的相对位移,第n个原子和第n1个原子间的距离,平衡位置时，两个原子间的互作用势能,发生相对位移 后，相互作用势能, 常数, 平衡条件,简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项,相邻原子间的作用力, 恢复力常数,即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克定律。 这时原子间的相互作用力称为弹性力或简谐力，称为弹性系数，或恢复力系数。,原子的运动方程, 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力,第n个原子的运动方程, 每一个原子运动方程类似, 方程的数目和原子数相同,方程解和振动

3、频率,设方程组的解,naq 第n个原子振动相位因子,得到,应用三角公式,连续介质中的机械波,波数,格波方程,格波的意义,晶体中的格波, 格波和连续介质波具有完全类似的形式, 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动,波长,一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体运动形式, 格波的波形图, 简谐近似下，格波是简谐平面波, 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动, 向下的箭头代表原子沿X轴向左振动,格波波长,格波波矢,格波相速度,不同原子间相位差,格波方程,相邻原子的相位差,波矢的取值和布里渊区,格波,相邻原子相位差, 原子的振动状态相同,格波1的波矢,相邻原子相位差,格波,格波2的波矢,相邻原

4、子的位相差, 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同,波矢的取值, 相邻原子的相位差取值, 第一布里渊区, 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 其它区域不能提供新的物理内容,六定解条件玻恩卡曼 （Born-Karman）周期性边界条件,目标：求出q=? 因为： 晶体的固有热学性质（例如：热容量）应由晶体的大多数原子的状态所决定； 边界上的原子数要比内部原子数少很多； 近邻近似。 这样，就可以以方便为原则来选择边界条件，而基本上不影响晶体的固有性质。,玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件, 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每 个原子的振动形式都一样, 实际的晶体

5、为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述, N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点, 处理问题时考虑 到环链的循环性, N很大，原子运动近似为直线运动,设第n个原子的位移,再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移,则有,要求, h为整数,波矢的取值范围,h N个整数值，波矢q 取N个不同的分立值, 第一布里渊区包含N个状态,每个波矢在第一布里渊区占的线度,第一布里渊区的线度,第一布里渊区状态数,波矢,格波的色散关系, 频率是波数的偶函数,格波相速度, 不同波长的格波传播速度不同, 色散关系, q空间的周期,频率极小值,频率极大值,只有频率在 之间的格波才

6、能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减, 低通滤波器,色散关系,max称为截止频率,格波 长波极限情况,当, 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致,格波 短波极限情况, 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致, 不同频率的格波传播速度不同,长波极限下,短波极限下,相邻两个原子振动相位差, 晶格可看作是连续介质, 相邻原子的振动相位相反,原子位移和简正坐标的关系,第q个格波引起第n个原子位移,第n个原子总的位移,令,原子坐标和简正坐标的变换, 线性变换为么正变换, 有3N个取值,动能和势能的形式, N项独立的模式,动能的正则坐标表示,势能的正则坐标表示,原子位移 为实数 ,正交性,势能,将 代入得到,哈密顿量, 系统复数形式的简正坐标,系统势能, 实数形式的简正坐标,令,哈密顿量,能量本征值,声子 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子,当这种振动模处于 时，说明有 个声子,本征态函数, 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数, 声子是一种元激发