信号与系统(第2章).ppt

1、信号与系统,朱仁祥,电子与信息工程学院,第2章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言,系统数学模型的时域表示,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),本章主要内容,线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应： 。,2.2 微分方程式的建立与求解,主要内容

2、,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,一物理系统的模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,二微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系。,三n 阶线性时不变系统的描述,一个线性

3、系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,四求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,初始条件的确定是此课程要解决的问题。,经典法,全 解：齐次

4、解+特解，由初始条件定出齐次解 。,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,例2-2-1,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,例2-2-2,机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,例2-2-3,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,例2-2-4,如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。,给定微分方程式,将此式代入方程得到

5、,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，B是待定系数。 代入方程后有：,(2),2.3 起始点的跳变,电容电压的突变 电感电流的突变 冲激函数匹配法确定初始条件,我们来进一步讨论 的条件。,一起始点的跳变,当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。,说明,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 状态就会发生跳变。,1电容电压

6、的突变,由伏安关系,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：,示例,电流为冲激信号。,2电感电流的突变,如果为有限值，,示例,（二）例2-5,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),要求系统的完全响应为,特解,(3),换路前,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,(4),求得,要求的完全响应为,配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,三冲激函数匹配法确定初始条件,在 中 时

7、刻有,分析,中的,表示 到 的相对跳变函数，所以，,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,例2-,（1）将e(t)代入微分方程，t0得,(2),方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有,代入微分方程,求得,因而有,2.4 零输入响应和零状态响应,起始状态与激励源的等效转换 系统响应划分 对系统线性的进一步认识,一起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。,电容的等效电路,电感的等效电路,电容器的等效电路,电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的 串联,等效电路中的电容器的起始状态为零,故电路等效为起始状态为零的电感L和

8、电流源的并联。,电感的等效电路,二系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），

9、由系统的外加激励信号产生的响应。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,(3)零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。,求解,系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即,三对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，

10、系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,例2-4-1,解（续）,解得,2.5 冲激响应和阶跃响应,冲激响应 阶跃响应,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,一冲激响应,1定义,2一阶系统的冲激响应,3n阶系统的冲激响应,响应及其各阶导数(最高阶为n次),3n阶系统的冲激响应,(1)冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),(2)h(t)解的形式,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于 及其导数在 时都为零，

11、因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,二阶跃响应,系统的输入 ，其响应为 。系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,求冲激响应的方法,方法：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。,总结,冲激响应的求解至关重要。,冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。,冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状

12、态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。,用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。,例2-5-1 一阶系统的冲激响应,列系统微分方程：,冲激 在 时转为系统的储能（由 体现）， t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。,齐次方程,特征方程,特征根,求解,下面的问题是确定系数A：,方法：冲激函数匹配法求出 ，定系数A。,即:,波形,波形,电容器的电流在 t =0时有一冲激，这就是电容电压突变的原因 。,注意！,求,据方程可设,代入方程得,得出,所以,例2-5-2,解：,求特征

13、根,冲激响应,求系统 的冲激响应。,将e(t)(t)，r(t)h(t),带u(t),求0+定系数,代入h(t),得,2.卷积,卷积 利用卷积积分求系统的零状态响应 卷积图解说明 卷积积分的几点认识,一卷积（Convolution）,利用卷积可以求解系统的零状态响应。,二利用卷积求系统的零状态响应,任意信号e(t)可表示为冲激序列之和,这就是系统的零状态响应。,三卷积的计算,由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,借助于阶跃函数u(t)确定积分限 利用图解说明确定积分限,卷积的图解说明,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段

14、求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。,四对卷积积分的几点认识,(1)t ：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有 (否则r中有未来激励),(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；,即d f() 是h(t-)的加权，积分, f() 是h(t-)的加权，求和,(t-)的响应,(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。,(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。,信号无起因时：,一般数学表示：,(5)积分限由 存在的区间决定，即由 的范围决定。,总结

15、,求解响应的方法：,时域经典法：,双零法：,完全解=齐次解 + 特解,解齐次方程，用初（起）始条件求系数；,例2-6-1,1列写KVL方程,2冲激响应为,4.定积分限（关键）,波形,例2-6-2,X,浮动坐标,浮动坐标：,下限 上限,t-3,t-0,t ：移动的距离,t =0 f2(t-) 未移动,t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结

16、果,积分上下限和卷积结果区间的确定,当 或 为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。,上限取小，下限取大,(1)积分上下限,(2)卷积结果区间,例2-6-3,1、卷积满足交换律、结合律和分配律。 注意：对于信号和系统的相互作用，以上定律有特殊的物理意义。,2.7 卷积的性质,级联：,并联：,2、卷积的微分和积分：,3、奇异函数的卷积：,1)阶跃函数： 2）冲激函数：,例1：f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2)，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。,=tU(t) *U(t)-U(t-2),解：,y(t)=f(t)*h(t),=tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2),例2：求卷积积分y(t)=e-t U(t)*U(t)。,练习。,例3：若 h1(t) = U(t)