课件层次分析法-西北大学

1、层次分析法，西北大学数学系，层次分析法建模，提出问题，例1选购钢笔时，一般要根据质量、颜色、实用性、价格和外观等因素来选择。买一顿饭，你应该根据颜色、香味、味道和价格等因素来选择一顿饭。决策是指在面对各种方案时，根据一定的标准选择某一方案的需要。西北大学数学系，假日旅游，无论是去风景秀丽的苏州，风景迷人的北戴河，还是山水甲天下的桂林，通常都是根据风景、费用、住宿和旅游等因素选择去哪个地方。(2)旅行；(3)就业面临毕业。大学、科研单位、企业和其他单位可以选择。就业通常基于工作环境、工资、发展前景和住房条件等因素。西北大学数学系由于经费等因素，有时无法同时开展几个课题。一般来说，选题是根据可行性

2、、应用价值、理论价值、培养的人才等因素来选择的。面对各种方案，我们应该进行比较、判断、评估，最后做出决定。在这个过程中，主观因素占了相当大的比重，给用数学方法解决问题带来了不便。萨蒂等人在20世纪70年代提出了有效处理这类问题的实用方法。实例4西北大学数学系科研课题选择层次分析法这是一种定性和定量相结合的系统化、层次化的分析方法。过去，研究自然和社会现象有两种方法：机理分析和统计分析。前者使用经典的数学工具来分析现象的因果关系，而后者使用随机数学作为工具，通过大量的观测数据来寻求统计规律。系统分析是近年来发展起来的另一种方法，层次分析法是系统分析的数学工具之一。西北大学数学系，层次分析法的基本

3、思想：它与人们对复杂决策问题的思维和判断过程大体一致。选择质量、颜色、价格、外观和实用性的笔，订购质量、颜色、价格、外观和实用性的笔。经过综合分析，决定买哪支笔。西北大学数学系，二级分析的基本步骤，1。层次结构模型的建立一般分为三层：例1层次模型、准则层、方案层、目标层、西北大学数学系、例2层次模型、准则层A、方案层B、目标层Z，如果上层的每个因素支配下一层的所有因素，或者受下一层所有因素的影响，称为完全层次，否则称为不完全层次。让我们假设在某一层有一个因子，并构造一对比较矩阵。我们应该比较它们在前一层对某个标准(或目标)的影响，并确定该层相对于某个标准的比例。(即在较高层次上对某一目标的因素

4、影响程度进行排序)，并表示因素相对于因素的比较结果，称为成对比较矩阵。上述比较是成对因素之间的比较，比较采用19个尺度。标度，因子#与因子#具有相同的影响，因子#比因子#稍强，因子#明显比因子#强，因子#绝对比因子#强，这意味着，比较标度：(19标度含义)，2，4，6，8意味着因子#相对于因子#的影响在上述两者之间。不难根据定义上述标度的倒数的含义。西北大学数学系，根据上述定义，配对比较矩阵称为正互反矩阵。例如，在示例2的旅游问题中，目标层Z上的第二层A中的因素的成对比较结果如下：1，1/2，4，3，3，2，1，7，5，1/4，1/7，1，1/2，1/3，1/。从上表中，可以获得成对的比较矩阵

5、。旅游问题有6个成对的比较矩阵(5阶中的一个和3阶中的5个)。问：在每两个因素进行比较后，我们如何知道较低因素对较高因素的影响程度的排名结果？3、分层单项排序和一致性检查，分层单项排序：确定下级因素对上级因素影响程度的过程。使用权重来表示影响的程度，我们首先从一个简单的例子来看如何确定权重。例如，如果一块石头的重量被记录为1，并且它被分成小块，并且每个块的重量被记录为：那么可以获得成对的比较矩阵，这可以从右矩阵看出，即，但是在示例2的成对的比较矩阵中，在正倒数矩阵中，如果是，则它被称为一致矩阵。均匀矩阵的性质：5的任何列(行)都是对应于特征根的特征向量。如果配对比较矩阵是一致矩阵，那么我们自然

6、会取对应于最大特征值的归一化特征向量，定理：阶倒数矩阵的最大特征值是一致矩阵的充要条件。表示下因子对上因子的影响程度的权重。如果成对的比较矩阵不是均匀矩阵，Saaty等人建议对应于其最大特征根的归一化特征向量应该被用作权重向量，那么(为什么？)，以这种方式确定权重向量的方法称为特征根方法，并且定义了一致性指数，其中是的对角元素的和和的特征根的和。可以得到一致性指数，定义随机一致性指数，随机构造500个配对比较矩阵，随机一致性指数ri的值为：一致性检验：利用一致性指数、0.1的一致性比和随机一致性指数的数值表进行检验的过程。通常，当一致性比率的不一致性程度在允许的范围内时，归一化的特征向量可以用

7、作权重向量，否则，应该重构和调整对比较矩阵。人们认为，通过四级综合排名及其一致性检验来确定某一级别上所有因素对总体目标的相对重要性的排名权重过程，称为从最高级别到最低级别的分层综合排名。假设：和以总目标Z为的层次结构列表，即层的第一个因素对总目标的权重为：层的层次结构为：A，B。对整体层次结构顺序进行一致性测试，并排列上层(层)的因素的层次结构列表。此时，根据最低级别(决策级别)的总体排名做出最终决定。1.建立层次结构模型。结构图包括目标层、准则层和方案层。层次分析法的基本步骤概括如下：3 .计算单项排序的权重向量并进行一致性检验；2.构建成对比较矩阵，使用成对比较矩阵和第二层的19个尺度。对

8、于每一对比较矩阵，计算最大特征值及其对应的特征向量，并用一致性指数、随机一致性指数和一致性比进行一致性检验。如果测试通过，特征向量(归一化后)就是权重向量；如果失败，需要重建成对的比较矩阵。计算底层到顶层的权重向量。4。计算总排序权重向量并进行一致性检查。如果通过，可以根据总排序权重向量表示的结果做出决定；否则，有必要重新考虑模型或重建具有较大一致性比的成对比较矩阵。采用总排序一致性比，层次分析法建模实例1。旅游问题，(1)建模，分别代表风景，成本，居住，饮食和旅游。分别是苏州、杭州、北戴河、桂林。(2)构造配对比较矩阵；(3)计算权重向量和层次单排序的一致性检验，并成对比较矩阵的最大特征值，

9、表明它已经通过了一致性检验。因此，对应于特征值的归一化特征向量可以用于为成对比较矩阵找到分层总排序的权重向量，并执行一致性检查。研究结果如下(4)计算分层总排序和一致性检查的权重，决策层对总目标的权重向量为：同样，总目标的权重为：所以分层总排序通过一致性检查。可以作为最终的决策依据。因此，最终的决定应该是去桂林。分别是苏州和杭州，北戴河和桂林，也就是说，每个方案的权重排序为层次分析法，萨蒂，西北大学数学系，1。建立层次结构模型，包括目标层、准则层和方案层。层次分析法的基本步骤概括如下：3 .计算单项排序的权重向量并进行一致性检验；2.构造一个对比较矩阵，并从第二层构造一个具有19个尺度的对比较

10、矩阵。4.计算总排序权重向量并进行一致性检验，找到最大特征对应的归一化特征向量，并进行一致性比率检验。使用分级单排序，计算分级总排序，并做一致性检验。西北大学数学系，一个工厂有留存利润，应该由领导使用。选择如下：以奖金的名义支付员工；扩大集体福利设施；购买新设备等。为了进一步促进企业的发展，如调动员工的积极性，提高企业的技术水平，引进新设备等。如何合理利用这一利润？2合理分配资金，层次结构模型，2解，Z-C矩阵，好，C-P矩阵，好，好，0.75，0.25，0，0，0.167，0.833，好，0.667，1系统层次分析法将研究对象视为一个系统，按照分解、比较判断和综合思维方式进行决策，已成为继机

11、理分析和统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。实用层次分析法结合了定性和定量的方法，能够处理许多传统优化技术无法解决的实际问题，具有广泛的应用。同时，这种方法使决策者和决策分析者能够相互交流，决策者甚至可以直接应用它，这增加了决策的有效性。西北大学数学系四层次分析法的优点与局限性3简单性受过中等教育的人可以理解层次分析法的基本原理，掌握这种方法的基本步骤，计算也很简单，结果简单明了，决策者很容易理解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优势，该方法的局限性主要表现在以下几个方面：一是只能选择一个原始方案，没有办法得到更好的新方案。其次，该方法对结果的比较、判断和计算过程比较粗糙，不适合高精度的

12、问题。第三，从层次结构模型的建立到配对比较矩矩阵的给出，人的主观因素对整个过程有很大的影响，使得结果难以被所有决策者接受。当然，采用专家组判断的方法是克服这一缺点的一种方法。思考：对于多专家的综合决策问题，正互反矩阵的最大特征值是否大且为零？有多少人？对应特征向量的每个分量都是正的吗？求五个正互反矩阵的最大特征值和特征向量的实用算法。成对比较矩阵是定性比较得到的一个粗略结果，因此不需要精确计算。寻找一个简单的近似方法。通过定义计算矩阵的特征值和特征向量是相当困难的，特别是当阶数较高时。定理，对于正矩阵A (A的所有元素都是正的)，1)A的最大特征根是正的单根；2)相应的正特征向量w(w的所有分

13、量都是正的)；3)，其中是对应的归一化特征向量。西北大学数学系，1次幂法的步骤如下：a)取N维归一化初始向量，b)计算，c)归一化，即d)对于给定的精度，当下面的公式成立时，它就是所需的特征，2和求和方法如下：A)归一化A，b)对的每个列向量，c)归一化和按行求和，d)计算，3种方法，步骤基本上与求和方法相同，除了步骤b变为对，并且按行积打开到n次方，即求和方法是三种方法中最简单的。请看下面的例子。e)计算最大特征值的近似值。列向量归一化，求和，归一化，精确计算，结果，六层层次结构和更复杂的层次结构，上述层次结构模型有两个共同的特点：模型中涉及的因素可以组合成几个属性基本相同的层次，层次内部因

14、素之间没有相互作用或支配关系，或者这种影响可以忽略。层级之间存在自上而下和逐层传递的主导关系，没有从低层到高层的反馈效应，也没有层级之间的循环效应。等级结构，西北大学数学系，等级结构比较复杂，内部因素之间存在相互影响。下层支配上层，形成一个循环，不可能区分上层和下层。内部因素和层次之间的反馈是相互影响的。用层次分析法解决这一问题，需要引入新的概念和建立相应的算法。思维，西北大学数学系，七题，中国大学生数学建模大赛，2用层次分析法解决一两个实际问题，如高考志愿的填写，职业的选择和排名。1、足球队1993年排名第二(cummc ), b题，面临毕业，可能有大学、科研单位、企业等单位选择，也可以直接

15、选择考研，一般根据工作环境、工资、发展前景、住房条件等因素。用层次分析法选择适合你的理想工作。课堂练习：西北大学数学系，增刊：特征值和特征向量，定义：持有，那么这个数叫做方阵的特征值(根)，非零列向量叫做属于特征值的特征向量。特征值满足以下条件：齐次线性方程和齐次线性方程有非零解。充要条件是：西北大学数学系的特征方程A和特征多项式A表示为N次多项式，在复数范围内有N个解，即有N个特征值。设A的特征值为，那么，特征值和特征向量的计算方法，给定矩阵，首先求出其特征值，即求解特征值方程，然后求出每个特征值对应的特征向量的非零解，即求解线性齐次方程。(注意：如果它是实数，它是实数向量，如果它是复数，它是复数向量)。定理2适用于正矩阵(A的所有元素都是正的)，1)A的最大特征值是正的单根；2)最大特征值对应于特征向量，特征向量的所有分量都是正的。定理1属于不同特征值的特征向量是线性独立的。正向量的归一化向量是正向量，它的归一化向量是在例1中找到的归一化相关定理