现代通信原理c2.ppt

1、第二章 随机信号分析,2.1、引言 2.2、随机过程的一般表述 2.3、平稳随机过程 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 2.5、高斯过程 2.6、窄带随机过程 2.7、正弦波加窄带高斯过程 2.8、随机过程通过线性系统,主要内容,2.1 引言 通信过程是有用信号通过通信系统的过程,在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通信系统中的信号通常具有某种随机性.他们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知.如果能预知,通信就失去了意义,随机信号:具有随机性的信号 通信系统中必然遇到噪声,是不能预测的.凡是不能预测的噪声统称为随机噪声,简称为噪声.从统计数

2、学的角度看随机信号和噪声统称为随机过程.统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来,2.2 随机过程的一般表述,通信过程中的随机信号和噪声可归纳为依赖于时间参数t的随机过程.这种随机过程的基本特征是:它是时间的函数,但在任一时刻上观察到的值却是不确定的,是一个随机变量,或者 它可以看成是随机实验的可能出现的(t)函数,存在一个由全部可能实现构成的总体,每个实现都是一个确定的时间函数,而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的. 例如 有N台性能完全相同的通信机,工作条件相同,用N部记录仪同时记录他们的输出噪声,N部通信机的噪声输出记录,从数学的角度 随机过程(t)的定义: 设

3、随机试验E的可能结果为(t),试验的样本空间S为 x1(t) ,x2(t), xi(t) xi(t): 第i个样本函数 (实现) 每次试验后, (t)取空间S中的某一样本函数 称此(t)为随机函数 当t 代表时间量时,称此(t)为随机过程,随机过程的统计特性的表述 概率分布 （分布函数、概率密度函数） 数字特征 （数学期望、方差、相关函数）,一维分布函数： 设(t)表示一个随机过程 ，则在任一时刻t1 上(t1)是一个随机变量， 称 F1（ x1,t1)=P (t1) x1 为(t)的一维分布函数 即随机过程(t)在t1时刻所对应的随机变量(t1) 的分布函数 如果存在 F1（ x1,t1)/

4、 x1 = f1（ x1,t1) 则称f1（ x1,t1)为(t)的一维概率密度函数,(t)的n维分布函数 F n （ x1, x2， xn ；t1 ，t2， tn)=P (t1) x1 , (t2) x2 , (tn) xn 如果存在 Fn（ x1, x2， xn; t1， t， tn)/ x1 , x2 , xn = fn（ x1, x2, xn, t1，ttn) 则称fn（ x1, x2, xn, t1，ttn) 为(t)的n维概率密度函数 N越大，用n维概率密度函数或n维分布函数描述(t)的统计特性越充分,随机过程(t)的数字特征 数学期望： (t) (t) 是随机过程的所有样本函数在

5、时刻t的函数值的平均值，也称随机过程的均值 表示了随机过程(t)在每个时刻的波动中心，反映了随机过程的一维统计特性 一般情况下，它是时间的函数,方差：可记为 也称均方值，是随机过程的所有样本函数在时刻t与均值偏离量的平方的统计平均，是一维统计特性，总是正数，一般情况也是时间t的函数,衡量随机过程任意两时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。衡量同一过程的相关程度，又称为自协方差函数、自相关函数 自协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程(t)在任意两个时刻t1和t2，相对均值的起伏量之间的相关程度,自协方差函数:B(t1,t2),是二维概率密度函数,自相关函数

6、：R（t1,t2) (t1) 、(t2)是随机过程(t)在任意两个时刻 t1和t2上的两个随机变量 是二维概率密度函数 自协方差函数、自相关函数体现了随机过程的二维统计特性,自协方差函数与自相关函数的关系： 相关系数(t1、t2),表示在任意两个时刻t1、t2上的两个变量(t1) 、 (t2)的相关程度(t1、t2)0，B(t1、t2)0 表明(t1) 、(t2)不相关,2.3平稳随机过程,是随机过程中非常重要的过程之一，它具有许多突出的特性，并且提供了一类分析问题的方法，许多非平稳随机过程可以化为局部平稳过程来分析，实际中我们关心的通信信号正是采用了这样的分析方法和思路,平稳随机过程:是指它

7、的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关.即一个随机过程(t)，如果在时域上时移，而其统计特性不变，则称之为严格的平稳随机过程（或狭义平稳过程） 即对于任意的正整数n和任意的实数t1,t2,.tn,随机过程(t)的n维概率密度函数满足:,称(t)是平稳随机过程 平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔有关 平稳随机过程的数字特征： 数学期望与t无关，为 自相关函数只与时间间隔有关,如何判断随机过程是否平稳： 如果一个随机过程的数学期望与时间t无关，而其相关函数只与时间间隔有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的 平稳随机过程有一个非常有

8、用的特性-各态历经性,各态历经性： 从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了随机过程的所有可能状态。 或者说平稳随机过程的各个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态。 因此平稳随机过程的数字特征，完全可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定,随机过程的数学期望（统计平均），可以由任一实现的时间平均来代替 随机过程的自相关函数，也可以有“时间平均”来代替“统计平均” 设平稳随机过程(t)的一次试验样本函数为x(t)，则其统计平均可以用如下的时间平均来代替,平稳随机过程(t)数学期望的时间平均表示为： 与时间无关 平稳随机过程(t)方差的时间平均表示为： 与时间无关,平稳随机过程的自相关函数时

9、间平均表示为： 与时间起点无关即,平稳随机过程(t)有： 注意只有平稳随机过程才可能具有各态历经性,2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,1、相关函数 设(t)为实平稳随机过程，它的自相关函数的主要性质有： (t)的平均功率,是随机信号的方均值，表示了信号在1电阻上的平均功率,R()= R(-) R()是偶函数 R()的上界 (t)的直流功率 方差、(t)的交流功率,2、频谱特性 对于确定信号,我们常在时域和频域中来分析、讨论问题。确定信号的自相关函数与其功率谱之间是一对傅立叶变换对 对于随机信号，是否也有其对应关系,对于确定功率信号（或称功率有限信号）f(t),它的功率谱密度PS（) F

10、T() 是f(t)的截短函数fT(t)的频谱函数,功率信号f(t)及其截短函数fT(t),对于功率型的平稳随机过程，它的每一个实现也将是功率信号 每一个实现的功率谱也可以由上式表示 但是，随机过程中哪一个实现出现是不能预知的 因此，某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度 过程的功率谱密度是每一个可能实现的功率谱的统计平均,设(t)的功率谱密度为P（) (t)的某一实现的截短函数 T(t) T(t)与FT() 是一对傅立叶变换对 则,令 t=t2, 则dt=dt2; =t1-t2, dt1=d ,积分区间可以分为0， 0 所以,2.5 高斯过程,高斯过程又称正态随机过程,是一种普遍存在和

11、重要的随机过程 通信信道中的噪声,通常是一种高斯过程,故又称为高斯噪声 高斯过程(t),指它的n维概率密度函数又下式表示:,正态随机过程中的一维分布 若随机变量的概率密度函数可表示成 则称为服从正态分布的随机变量,f(x) 0 x f(x)对称于 x= 这条直线f( +x) = f( -x) f(x)在处达到极大值,当=0，=1时 称这种正态分布为标准化的,正态分布函数 一维分布函数： 概率积分函数：,正态分布函数可以用概率积分函数 令 则,正态分布函数常用误差函数的形式表示 误差函数 补误差函数,若x 则 令,若x 则 令,概率积分函数与误差函数的关系 则,若x,若x,2.6窄带随机过程,窄

12、带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上,而这个中心频率离开零频率又相当远 如果这时的信号或噪声是一个随机过程,则称它们为窄带随机过程 在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带的假设,窄带波形的频谱及示意波形,窄带随机过程可表示： 是窄带随机过程(t)的包络函数、随机相位函数，其变化比载波缓慢的多。,窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式 同相分量 正交分量,统计特性 讨论均值为零的平稳高斯窄带过程的 得,讨论(t)的自相关函数,其中 因(t)是平稳的，故 要求上式的右边与时间无关，仅与有关。 令t=0,自相关函数可写为： 这时，显然要求下式恒等 此时，,同理 令 可求

13、得,比较两式 要使这两式同时成立，应有 由相关函数的性质知,则 是的奇函数 同理 说明不相关或统计独立,再比较两式 得 即 方差相同,再看窄带随机过程的表示 当t1=0时 当 时 (t)是高斯过程，故c(t1), s(t2)也是高斯的随机变量，则c(t1), s(t2)也是高斯过程,总结 一个均值为零的窄带平稳随机过程，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳随机过程，而且均值都为零，方差也相等，在同一时刻上得到的c，s是不相关的或统计独立的 包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布,理想的宽带过程 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。 即 n0是常数，单位“瓦/赫”（ W/Hz),自