材料力学应力状态

1、应力状态和强度理论,1、应力状态的概念 2、平面应力状态 3、三向应力状态 4、强度理论,应力状态的概念,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,1 应力状态的概念,研究的来源,一点的应力状态（State of Stress at a Given Point） 围绕一点所取单元体在各个方位截面上应力情况的总称,围绕一点所取各个方位截面上的应力组合(正应力和剪应力）情况复杂多样 因此提出了这类（复杂应力状态下）问题的应力、应变分析和强度条件。,应力状态的概念,研究的依据,围绕一点所取各个方位截面上的各种应力组合之间存在着某种理论联系,研究的

2、内容,围绕一点所取各个方位截面上的最大正应力，最大剪应力及其方位,以单元体为研究对象或模型： 一般单元提取为正六面体。,研究的方法,1)每个面上应力均匀分布； 2)每对相互平向的面上应力相等,主单元体、主面、主应力：,主单元体(Principal body)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零

3、的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,示例一 承受内压薄壁容器任意点的应力状态,二向应力状态,由平衡即可确定任意方向面 上的正应力和切应力。,示例二：,S平面,示例三,S平面,( Plane State of Stresses ),平面（二向） 应力状态,平面应力状态-解析法,斜截面上的应力（对）sa,ta,主平面ta=0,主应力sm1 sm2,0和sm1 sm2排列,最大剪应力,图1,设：斜截面面积为S，由分离

4、体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,平面应力状态-解析法,规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。,图1,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,二、极值应力,在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,O,破坏分析,铸铁,根据给定的剪力图能否确定梁的受力，能否确定梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？,例1：图示是一简支梁的剪力图与弯矩图，试根据此图求出与其相应的荷载图。,例2：图示是一梁的剪力图，假设无集中力偶作用，试根据此图求

5、出与其相应的荷载图和弯矩图。,平面应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与sa 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,三、单元体与应力圆的对应关系,四、在应力圆上标出极值应力,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以A

6、C为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：分析建立坐标系如图,例1 已知单元体的应力状态如图（a）所示。求：,（1）图示ef截面的应力； （2）主应力大小及主平面方位； （3）作主单元体图； （4）极值剪应力。,解：（1）ef截面的应力为,（2）故主应力为 主平面方位,（3）作主单元体图b所示。,（4）极值剪应力为,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。,应力圆与应力单元体之间 三个对应关系,点 面

7、对 应,转向对应、二倍角对应,c,a-b截面,逆时针转过 p-g； 应力圆上a-b点逆时针转过2( p-g) 或者：顺时针转过2g,c,应力圆的画法(特殊形状),三向应力状态研究应力圆法,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大剪应力为：,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）,解：由单元体图知：y z面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,50,40,30,A,B,C,平面内的应变分析,一、叠加法求应变分析公式,剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前

8、后才对应）,2、已知一点A的应变（ ），画应变圆,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB与a 轴的交点C便是圆心,以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,n,四、主应变数值及其方位,例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。,例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,应力

9、状态与应变状态,复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,一、单拉下的应力-应变关系,二、纯剪的应力-应变关系,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,应力状态与应变状态,sz,sy,sx,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力-应变关系:,方向一致,应力状态与应变状态,主应力与主应变方向一致?,应力状态与应变状态,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与应变状态,例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,应力状态与应变状态,应力状态与应变状态,例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,应力状态与应变状态,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,应力状态与应变