数学归纳法(复习课).ppt

1、主讲:郭德超,数学归纳法(复习课),知识点复习,区别归纳法和数学归纳法 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立; (2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立; 根据(1)(2)知p(n)成立 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的?,知识点复习,4.对数学归纳法实质的理解 例.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么 (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时,左边 =右边,即n=k+1时,命题也成

2、立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,知识点复习,对数学归纳法实质的理解 数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的核心,在从n =k到n =k+1的递推过程中,必须要运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结论,故最后应完整地写出结论.,数学小常识,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证

3、明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.,专项训练(归纳猜测),一.归纳、猜测： 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳， 其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第 二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形， 再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为 1+2+3的正方形

4、，依次下去，试猜测第n层 外壳的面积s,解:s1=1 s2=(1+2)21=8 s3=(1+2+3)29=27 s4=(1+2+3+4)236=64 sn=(1+2+n)2(n1)2=n3,专项训练(归纳猜测),13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 试猜测： 13+23+33+43+ +n3=,(1+2+3+n)2,=12,=(1+2)2,=(1+2+3)2,=(1+2+3+4)2,专项训练(归纳猜测),古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角

5、数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6, (1)求t2 t1,t3t2,t4t3的值，并猜测tntn1值。 (2)求t1 t2,t2t3,t3t4的值，并猜测tn1tn值。,解: (1)t2t1=2; t3t2=3; t4t3=4; tntn1=n (2) t1t2=4; t2t3=9; t3t4=16; tn1tn=n2,专项训练(对命题的理解),解 析:令f(n)=（n1) (n2) （nn） f(k)= (k1) (k2) (kk) f(k1)=(k1) 1 (k1) 2 (k1) (k1) =(k2) (k3) (kk)

6、 (2k1) (2k2) f(k1) f(k)=(2k1) (2k2) (k1) =3k2 用数学归纳法证明命题： (n1)（n2) (nn)=2n13（2n1)的第二步中， n=k1时需证： 解析: (k1) 1 (k1) 2 (k1) (k1)=2k1132(k1) 1 即: (k2) (k3) (kk) (2k1) (2k2)= 2k113 2k1,用数学归纳法证明（n1) (n2) （nn）= 的第二步中，n=k1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于,专项训练kk+1,P(k)与p(k+1)的进和退 在数学归纳法的第二步归纳推理中，由p(k) p(k+1)的过渡，有两种基本途径可寻

7、:,一、由p(k)向p(k+1)推证 二、由p(k+1)倒退,专项训练kk+1,证明： （1）当n=1时，命题显然成立。 (2)假设当n=k 时,命题成立,即 (k1) （k2) (kk)=2k13（2k1) 当n=k+1时,待证: (k2)（k3) 2k(2k+1)(2k+2) =2(k+1)13（2k1)(2k+1) 据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。,整理得： (k2) （k3) 2k (2k+1)(2k+2） =2 2k13（2k1)（2k+1) = 2(k+1)13（2k1)(2k+1) 即：n=k+1时，命题成立。 由(1)(2)知,命题成立,(k1)（k2)(kk) =2k13（2k1),例.用数学归纳法证明命题： (n1) （n2) (nn)=2n13（2n1),专项训练kk+1,解析： (2)假设n=k时命题成立.即:5 k2k 被3整除. 当n=k+1时 5k+12k+1 =55k22k =5(5 k2k) 52k22k =5(5 k2k) 32k,5(5 k2k)