第8讲+动态规划算法和实例分析.ppt

1、动态规划算法和实例分析,动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列,动态规划简介,动态规划的基本思想 动态规划(DP：Dynamic Programming)是一种重要的程序设计手段，其基本思想是在对一个问题的多阶段决策中，按照某一顺序，根据每一步所选决策的不同，会引起状态的转移，最后会在变化的状态中获取到一个决策序列。 动态规划就是为了使获取的决策序列在某种条件下达到最优。动态规划是一种将多阶段决策过程转化为一系列单阶段问题，然后逐个求解的程序设技方法。 引例：已知6种物品和一个可载重量为60的背包，物品i(i=1,2,6)的重量wi分别为(15,17,20,12,9,14)，产生的效益p

2、i分别为(32,37,46,26,21,30)。装包时每一件物品可以装入，也可以不装，但不可拆开装。确定如何装包，使所得装包总效益最大。,动态规划简介,动态规划的基本思想 引例分析 多阶段决策问题，装每一件物品就是一个阶段，每个阶段都有一个决策：物品装还是不装。 约束条件和目标函数 按照单位效益最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,1,1,0)，总效益为130 按重量最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,0,1,1)，总效益为134 结论：决策序列(0,1,1,0,1,1)为最优决策序列,动态规划简介,动态规划的步骤 将所求最优化问题分成若干个阶段，找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 将

3、问题发展到各个阶段时所处的不同状态表示出来，确定各个阶段状态之间的递推关系，并确定初始(边界)条件。 应用递推求解最优值。 根据计算最有值时所得到的信息，构造最优解。 动态规划问题的特征 最优子结构。问题的最优解包含了其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题。用递归算法自顶向下解问题时，有些子问题会被反复计算多次，称这些字问题重叠。动态规划算法利用这种子问题重叠性质，对每个字问题只解一次(保存下来)，已有尽可能多的利用这些子问题的解。,动态规划算法和实例分析,动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列,0-1背包问题,0-1背包问题,逆推动态规划算法设计 建立递推关系 设

4、m(i,j)为背包容量j，可取物品范围为i,i+1,n的最大效益值。则 当0=w(i)时，有两种选择： 不装入物品i，这时的最大效益值与m(i+1,j)相同； 装入物品i，这时会产生效益p(i)，背包剩余容量为 j-w(i)，可以选择物品i+1,n来装，最大效益值为m(i+1,j-w(i)+p(i)；,0-1背包问题,0-1背包问题,逆推动态规划算法设计 最优值计算,根据边界条件计算m(n,j) for(j=0;j=wn) mnj=pn; else mnj=0;,0-1背包问题,逆推动态规划算法设计 最优值计算,逆推计算m(i,j) for(i=n-1;i=1;i-) /逆推计算m(i,j),

5、i=n-1.1 for(j=0;j=wi 经过上述推导，最优值在m1c中。,最优值推导示例,0-1背包问题,逆推动态规划算法设计 构造最优解步骤1 if m(i,cw) m(i+1,cw), i=1,2,n-1 则x(i)=1，装载w(i); 其中：cw从c开始(cw=c)，cw=cw-x(i)*w(i) else x(i)=0，不装载w(i);,cw=c; for(sp=0,sw=0,i=1;imi+1cw) /x(i)=1,装载w(i) cw-=wi; /cw=cw-x(i)*w(i) sw+=wi; sp+=pi; printf(%2dt%3dt%3dn,i,wi,pi); ,0-1背包

6、问题,逆推动态规划算法设计 构造最优解步骤2 比较所装载的物品效益之和与最优值，决定w(n)是否装载，方法： if (m1c-效益之和) 等于 物品n的效益pn 装入w(n),if(m1c-sp=pn)/判断w(n)是否装载 sw+=wi; sp+=pi; printf(%2dt%3dt%3dn,n,wn,pn); ,knapsack(0-1),动态规划算法和实例分析,动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列,最长公共子序列,最长公共子序列概念 子序列 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后所得到的序列。即：给定X=x1,x2,xm和Z=z1,z2,zk，X的子序列是指存在一个严格

7、递增下标序列i1,i2,ik，使得对于所有的j=1,2,k，有zj=xij。例如： Z=b,d,c,a是X=a,b,c,d,c,b,a的一个子序列 公共子序列 若序列Z是序列X的子序列，又是序列Y的子序列，则称Z是序列X和序列Y的公共子序列。例如： 序列bcba是abcbdab与bdcaba的公共子序列,最长公共子序列,问题描述 给定两个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出序列X和Y的最长公共子序列。,最长公共子序列,最长公共子序列,最长公共子序列,逆推动态规划算法设计计算最优值,根据边界条件计算c(i,n)和c(m,j) m=strlen(x); n=strlen(y); f

8、or(i=0;i=m;i+) cin=0; for(j=0;j=n;j+) cmj=0;,最长公共子序列,逆推动态规划算法设计计算最优值,逆推计算c(i,j) for(i=m-1;i=0;i-) for(j=n-1;j=0;j-) if(xi=yj) cij=ci+1j+1+1; else if(cij+1ci+1j) cij=cij+1; else cij=ci+1j; 经过上述推导，最优值在c00中。,最优值推导示例,最长公共子序列,逆推动态规划算法设计构造最优解 为了能够构造最优解，在逆推计算最优值的过程中，利用s(i,j)记录x(i)与y(j)比较的结果： 当x(i)=y(j)时， s(i,j)=1 当x(i)!=y(j)时，s(i,j)=0 X序列的每一项与Y序列的每一项逐一比较，根据s(i,j)与c(i,j)的取值构造最长公共子序列。对x(i)与y(j)比较，其中i=0,1,m-1; j=t,n-1(t从0开始），当确定最长公共子序列中的一项时，通过t=t+1操作避免重复取项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)时，取x(i)为最长公共序列中的第1项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)-w时，取x(i)为