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文档简介
1、变化率与导数学习解读导数概念的学习因其抽象性历来成为学生理解的一个难点，但由于它是推导导数运算法则与导数公式的最基本依据，是进一步学习导数知识的基础，因而成为本部分内容学习的重点。下面就导数的学习加以阐述。导数的概念：一般地，函数y=f(x)在 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数y=f(x)在处的导数，记作或，即。一、概念要点解读 1.概念的本身给出了求函数y=f(x)在 处的导数的步骤，即由导数定义求导数时，须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。以上步骤可简单归结为：一差、二比、三取极限。2.对导数的定义，我们还应注意以下三点：(1)x是自变
2、量x在 处的增量(或改变量)其值可正可负，但不为零。(2)注意定义式中x的三统一，即分子、分母及极限符号下的三处应一致例1. 若的值为 （ ）A -3 B -6 C -9 D -12解析：故答案选D。点评：本题是关于应用导数的定义来解决的一个题目，旨在考查对定义的理解，特别要注意的是在运用定义解答的过程中x的三统一。（3）导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数二、导数的意义1.导数的几何意义函数y=f(x)在处的导数，就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。实际上，定义中的平均变化率即是曲线y=f(x)上过点及
3、点的割线斜率，当x0时，其极限即为函数y=f(x)的图象在点处的斜率。例2.求曲线在点处的切线方程。分析：由于点在曲线上，只需出切线的斜率即可写出直线的点斜式方程。于是问题转化为如何求曲线在处的导数。解析：当自变量的增量为时，函数值的增量由导数的定义即切线的斜率，代入直线的点斜式方程得，化简整理得。2.导数的物理意义如果物体的运动规律是，那么，物体在时刻的瞬时速度，就是物体在时刻到这段时间内，当0时平均速度的极限即当很小时，平均速度是瞬时速度的近似值，在取极限的条件下，平均速度转化为瞬时速度。例3. 在直线赛道的自行车比赛中，运动员行驶的位移（单位）与比赛时间（单位）之间存在函数关系，试求的速度。解析：对于函数 即，所以，当时，即当时的速度是。点评：表示的是位移的增量，而表示的是时间的增量，从物理学的角度看，等于速度，从而当0， 表示的是在时刻处的瞬时速度。故有曲线的导数表示速度曲线。导数的概念是本节主要的内容，其中准确理解变化率、平均变化率是学习导数
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