高中数学教学论文 解数学题不应是公式（通用）

1、解数学题不应是公式、规则的演绎游戏 高考题和数学竞赛题，在高中数学教学中有着引领的作用。这些题目的好坏影响很大。构建一道好的题目也十分不易。显然，绝大多数的高考题和竞赛题是不错的。有些题目还十分精彩。而且从近几年看，题目出的越来越好。但也不可否认确实有个别题目出的不好，对高中数学教学造成不好的影响。也引起学生和家长的不满。令人不安的是，目前很少能听到对这些题目的批评意见。对个别不好的题目，没有人站出来说：“不！”相反，上级教育主管部门对这些考题的评价都是正面的、肯定的。当然，批评的意见不一定就是对的。要允许别人反批评。由于这些题的影响较大，在这里，应该要对事不对人地开展讨论，才能有利于高中数学

2、教育的发展。笔者水平有限，但却希望在此，结合几个具体的题目，发表一些意见。欢迎批评指正。首先讨论两道高中数学联赛的题。这是很多年以前的题目了。所以还拿出来讨论是因为，目前这类题目仍在高中课堂广泛讲授，被有些老师称为经典题。成为高考复习的题型之一，其影响还很大。1 设函数，求的值。点评：请问这道题应该让学生如何来思考？我们在高中学过，等差数列和等比数列，知道如何求它们的前项和。这是等差数列或等比数列吗？它们不是！那么，我们能用求等差、等比数列前项和公式的方法，来处理这道题吗？也不成！事实上，出题者是利用这道题中的函数的一个特殊性质：，而编造出来的。而这个性质却不是显然的，人们根本无法一眼看出。请

3、问，用这样的题如何培养学生分析问题、解决问题的能力？如果允许这样来编造数学题，我们可以把这题改得更难，例如，让，此时该函数满足：。还可以再复杂，让，此时，该函数满足：。若还觉得简单，可以把上述函数表达式进行通分，甚至分子、分母同乘一个代数式，等等。我们也可以编造满足或更复杂的函数关系来出这类型的题。学生得到的收获只能是：今后看到类似题型，要根据题目中数列的值，如这里的，反过来猜测给定的函数的特殊性质。这种思维是数学思维吗？我们在培养学生的什么能力？这是数学吗？数学作为一门科学，它研究的问题，无论是来自实际还是来自数学本身，都是有意义的。它的思想方法非常丰富（例如我们熟知的类比、归纳等等），体现

4、着人类思考问题、分析问题的一般方法。如果采用这种生编硬造的方法玩花样，（类似地还有：把一些因式乘起来，让人去做因式分解；从一个明显的不等式出发，例如，两边加、乘同样的式子，使其复杂化，让人去证明这复杂的不等式，等等。）数学将变成定义、规则和演绎法的游戏，它既没有动力也没有目标。数学将不会吸引任何有理智的人，它也丧失了其生命力。2 设函数 定义在区间上，求这个函数的最大值与最小值的和。点评：对一个函数来说，我们自然会关心它的最大值和最小值。它们给出了该函数因变量变化的范围，而且在应用中，最大、最小值也十分重要。有时也会关心最大值与最小值的差，它反映了因变量变化的幅度。但是，我们为什么要求最大值与

5、最小值的和？它有何意义？如果不关心其意义，我们就可以提出一大堆问题，如，求最大值与最小值的乘积、商、平方和等等。解决这类根本不知道其意义的问题，不是数学！这是没有目标的演绎游戏。 退一步说，如果问题本身没有意义，但我们有一个好的方法，能对一般的函数求出其最大值与最小值的和，即存在一种通性通法。这也还算可以。但我们却没有这种方法。于是，按照一般的做法，我们只能分别求出该函数的最大、最小值，然后再对它们求和。由于该函数最后一项是+3，我们只需求函数的最大、最小值。这个函数的图像很难画出，学生无法利用几何直观来猜想。我们在课堂上教给学生的是，对这种问题，最一般的方法是，通过求导数，然后解一个方程，来

6、求极大、极小值点。但是，这个函数求导后，得到的三项中，分别包含，指数、对数和多项式。无法求出其零点。 那么，这题如何做呢？这题目的标准答案说， 是一个奇函数，从而在对称区间上，最大、最小值的和为0。怎么就会想到是奇函数？从函数表达式根本看不出来，的图像又不易画出。我们想通过这道题教给学生什么思考问题、分析问题的方法呢？这里又是编造一个特殊的函数来为难学生，却没有任何意义。学生得到的收获只能是：今后如果出现求最大、最小值的和的题，要看它是否是奇函数。这种收获，在分析问题、解决问题上没有任何意义，不是在学数学，而是在对付考试、对付题型。而这种题型不是真正意义上的数学问题。是数学中的垃圾。下面讨论两

7、道近年的高考题。（这不是新课标实施后的考题）3 下面是一道选择题，其正确答案是。(2020年重庆卷理科10) 函数f(x)=() 的值域是(B )(A)-(B)-1,0 (C)- D)-命题者给出该题的标准答案如下：方法1：特殊值法，sinx=0,cosx=1则f(x)=淘汰A，令得当时sinx= -1时,所以矛盾.淘汰C， D.方法2：其中 f(x)-1,0.当x=p时, 方法3：令 k表示圆x2+y2=1上的点与点(1，1)连线的斜率，点评：求一个连续函数在闭区间的值域，只需求出该函数在这区间的最大、最小值。其关键的步骤是求出该函数在这区间的极值，再和函数在区间端点的值进行比较。这是高中熟

8、知的内容。而求函数极值的一般方法是，首先对函数求导，然后解一个导数为零的方程。这个方法也是学生熟知的。它是微积分中的一个基本的方法，是通性通法。但是，本题却没有考核学生对这个基本方法掌握的程度。相反，如果学生用这个方法，将面临解一个有关（或）的四次方程。这个方程有一对共轭的复根和两个实数根。学生不掌握解四次方程的办法。从而无法用求导数的办法来解决这道题。那么命题者打算让学生如何来解决这个问题呢？命题者在他们给出的答案中，给出了三种方法。方法1是所谓的排除法。它说，经过验证，在所给出的四个选项中有三个是错误的，可以排除在外。因此，剩下的一个选项就是对的。这是学习数学吗？这是考试学！是考试的方法，

9、而不是研究数学的方法。把这种方法作为标准答案，实不可取。方法2和方法3都是把该函数的表示式，用三角恒等表换公式，变成 ，然后，再讨论它的值域。它们的解法却过分复杂（甚至出现了斜率）。事实上，人们很容易看到 从而连续函数 取值在0和1之间。当在所给的定义域区间时，该式可以取到0和1。因此，该函数的值域是。而我们要求的函数和它只相差一个负号，从而它的定义域是。方法2和方法3显得过于繁琐了。不过，这道题的问题不在于答案给出的解法麻烦。其致命的缺陷是：我们的问题明明是让学生求函数的值域，但我们用这道题要告诉学生的却是，你们学过的求极值的通性通法在这里却不适用。在这里要用一个巧妙的变形。可惜的是，这个变

10、形，只适合这一道题。换了别的题就不成了。甚至把这道题目中函数表达式的任何一个数或符号改一下，例如，把3改为4或把2改为5，或把减号改成加号，等等。上述的解题方法也失灵。也就是说，本题给出的方法，只能解这一道题。换一个数或符号就失效，这样的题目有意义吗？也许有人说，这是考三角恒等变换。我个人认为，三角恒等变换公式反映了，特定三角函数值的内在关系。其功能主要是，化简和证明一些恒等式。使学生能认识到一些看似十分复杂的表示式，由于其内在的关系，原来如此简单。或发现表面不同的两个式子原来是恒等的。我们也可以用三角恒等变换，来做一些计算（例如，数学分析中的积分计算）。因此，如果要考核学生三角恒等变换，应该

11、在化简、证明恒等式或计算方面考核。使学生体会这些公式的作用。而不是在形式推演上玩花样。我国的学生在形式演算方面能力很强，但有些过分了。上世纪70年代末，笔者在美国做访问学者，在讨论班上，常常会不由自主地想到把已知的条件，用一个公式做恒等变形，甚至，对分子、分母同乘一个式子，或加一项再减一项，等等。试图通过这种途径找到解决问题的办法。每当我这样做时，我的导师，美国科学院院士，F.Spitzer教授，都会疑惑地望着我，问我：“Why?”（为什么？）在他看来，没有数学思想，没有方法，靠这种形式演算，变来变去，是无法解决问题的。这使我逐渐清楚：我们的这些强项，有时也会把我们引入歧途。这表现在，在教学中

12、，把知识分解为知识点，过分关注细节和技巧，而忽略了对数学整体的把握。津津乐道于一些巧题、妙题，而忽视数学中最常见的、最基本的思想和方法。事实上，几乎没有一个重大的数学成果是靠单纯的形式推演而得到的。通常，人们通过直观猜测、类比、归纳等各种途径得到结果，其思路和方法都是清楚、合理的。最后，再靠形式的推理给以验证。因此，形式演算能力虽然是学习数学的一种重要能力，但不能过分。特别是，不应该做没有目标的演算，或只在技巧上玩花样。如果在学生学过用导数求极值的一般方法后，我们故意出一道用导数无法求解的题目，用一个只对这一道题有用的方法来求解。势必引导教师在高中教学中，去找这样的偏题怪题来做，而忽视了通性通

13、法的学习。特别是，我们要清楚高中数学的定位，在我看来，这样的解题技巧，对一个高中数学教师或者一个数学系的学生来说，都不是最重要的。何况，我们的高中生。他们将来大都不专攻数学，让他们做这种题就更不必要。他们应该掌握的是最基本的、通性通法，如用导数求极值，等等。而不是本题中给出的技巧。4 下面这道题的第2问，江西全省没有考生做出来，丧失了考题选拔的功能。学生、教师反映极大。 (2020年江西理科卷第22题) 各项均为正数的数列an，a1=a, a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有 (1)当时，求通项an ,;(2)证明：对任意a, 存在与a有关的常数l，使得对于每个正整数n，

14、都有命题者给出该题的标准答案如下：解：() 由得将代入化简得所以 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.() 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 点评：先看第(1)小题的标准答案。由于给出了数列的第1、2项，利用已知条件得到一个递推关系这还是自然的。但是，随后由这个递推关系得到却没有给出任何思路。(答案上只用了“所以”两个字。)学生无从下手。如果只是恒等变形、化来化去，就没有任何意义。这样的问题不能培养任何分析和解决问题的能力。无助于对数学的理解。少数学生能做出这道题，是因为老师大量补充关于递推关系(实质上是差分

15、方程)的各种解题技巧。这种题目在高考中出现，势必引导高中老师给学生补充递推关系的各种题型和技巧。这大大超出了高中课标对学生的要求，加重学生负担。而对学生的数学素养没有多少好处，甚至起着相反的作用。下面我们重点来讨论第(2)小题。首先，这里问题的提法就很奇怪。为什么要找一对互为倒数的正数：和，使得 （1）一个自然的提法是：证明：存在两个正数和使得 （2）这意味着，这个数列是有界的且不会趋于零。这个提法，在数学上，是有意义的。不难证明，这两个提法是充分必要的。事实上，若（1）成立，令，就得到（2）；反过来，若（2）成立，取一个数满足： （这样的有无穷多个），则（1）成立。虽然这两个结论等价，但若无

16、特殊需要，我们是不会提出考题中所问的问题的。考题的这种提法必定要引导学生去找一个特殊的数。如前所述，它有无穷多个，具体是哪一个并不重要。那么，我们如何来找这个数呢？从命题者给出的标准答案来看，他根本没有去找，只是证明数列满足一个一元二次不等式，从而得到的上、下界 然后，答案说，经过恒等变换可知，上、下界恰巧互为倒数，于是，我们得到了！从而证明了我们的结论。原来只是恰巧成立！这种解决问题方法，说得过去吗？它培养学生什么能力？我们并不是不允许出难题，但要有自然的解题思路，通过对问题一步步的分析，最终解决问题。要通过解决问题来培养学生分析问题、解决问题的能力。像这题的解法，不给出如何寻找数的思路，最

17、后，靠“恰好成立”来完成证明。实在不可取。 顺便指出，答案中，用形式的计算，来发现的上、下界互为倒数，对一般人来说，也是很难想到的。因为这两个界的表达式比较复杂，无法一眼看出。（如果用根与系数关系的韦达定理，不用计算直接可以得出。）这种考核，不是考学生的能力，用这种东西考学生，并不能选拔出优秀的学生。当然，这题的难点还不止这些。为了要说明数列满足一个一元二次不等式，答案中首先通过数列，造了一个新的数列，然后给出了的下界。这个下界还不像通常那样，是一个数，而是参数的一个函数。这对考生来说，极不容易想到。而且，有了这个下界还无法得到数列的界（事实上，无论有界还是无界。都是的下界。这一点学生也很难看出。），还要利用题目的已知条件，最终才能得到满足的不等式。这样的题目难度很大，远不是中学学生和教师能够把握的。更何况，如上所述，问题的提法和解题的方法都不自然。这样的题目出现在高考的试题中，影响很不好。考试后，在互联网上学生骂声一片。江西上饶的一个教育局副局长对我说，你们搞数学教育的，出这样的题，让学生都远离数学，怕数学，甚至恨数学。应该反思反思。