第八章几何中的不等.ppt

1、第八章 几何中的不等,本章讨论以下问题： 最大最小问题 埃多斯莫德耳不等式 几类几何三角不等式,8.1 最大最小问题,一、等周问题： “等周”意即“有相等的周长”. 等周问题一般有如下两类： 在具有某种性质的所有几何图形中，哪一个有最大面积或体积； 在具有某种性质的所有几何图形中，哪一个有最小周长或表面积.,1、三角形的等周问题： 定理8.1.1 （1）在具有公共底边和相同周长的所有三角形中，等腰三角形有最大面积； （2）在具有公共底边和相同面积的所有三角形中，等腰三角形有最小周长. 证明： （1）在ABC中，设周长2p=a+b+c，公共底边为a，则,链接,8.1 最大最小问题,定理8.1.2

2、 如果两个三角形有相同的底边和周长，则另外两边之差较小的三角形有较大面积.（练习）,8.1 最大最小问题,定理8.1.3（1）在具有给定周长的所有三角形中，等边三角形有最大面积. （2）在具有给定面积的所有三角形中，等边三角形有最小周长.,2、多边形的等周问题： （1）四边形的等周问题： 定理8.1.4 当边长给定的四边形能够内接于一个圆时有最大面积. 证明：设任意四边形ABCD的边长依次为a,b,c,d，面积为S，周长为2p，设BAD=,BCD=,对角线BD=f,则 4S2absin+2cdsin,两边平方得： 16S2=4a2b2sin2+8abcdsinsin+4c2d2sin2 (1)

3、 又a2+b22abcos=f 2=c2+d22cdcos 即a2+b2c2d2=2abcos2cdcos，两边平方得 (a2+b2c2d2)2=4a2b2cos28abcdcoscos+4c2d2cos2 (2) (1)+(2)得：16S2+(a2+b2c2d2)2=4a2b2+4c2d28abcdcos(+) 由于a,b,c,d为定值，故当cos(+)最小时，S最大. 即cos(+)=1, 所以，+180时，S最大.,定理8.1.5 （1）在具有给定周长的所有四边形中，正方形有最大面积； （2）在具有给定面积的所有四边形中，正方形有最小周长. 证明：(1)设四边形ABCD的周长为2p, 连

4、BD，设AB+AD=2x,BC+DC=2y,则2x+2y=2p. 在ABD中，以BD为底，另两边之和为定值 2x的所有三角形中，以等腰三角形面积最大. 设ABD为等腰三角形，AB=AD,且AB+AD=2x. 同理，将BCD变为等腰BCD,BC=CD,BC+CD=2y. 此时，SABCDSABC. 当 AD=DC,AD+DC=x+y时，SADCSADC. 所以，SABCDSABCD. 因此，经过上述变形后，原四边形ABCD的面积小于菱形ABCD的面积，且它们有相同的周长. 根据定理8.1.4知，当此菱形内接于圆时（正方形）有最大面积. 故在具有给定周长的所有四边形中正方形有最大面积.,定理8.1

5、.5 （1）在具有给定周长的所有四边形中，正方形有最大面积； （2）在具有给定面积的所有四边形中，正方形有最小周长. 证明（2）：设四边形ABCD的面积为S，周长为2p. 作正方形ABCD使其面积也是S，记其周长为2p1， 往证：2p2p1. 再作另一正方形EFGH使其周长为2p. 则由（1）的证明知： SEFGHSABCDSABCD. 由于EFGH, ABCD均为正方形，它们的周长分别为2p , 2p1, 所以，2p2p1.,8.1 最大最小问题,（2）多边形的等周问题： 引理8.1.1 周长一定的n边形取得最大面积的必要条件为各边相等. 证明：不妨设A1A2与A2A3不等， 作等腰三角形

6、AA1A3，使AA1+AA3=A1A2+A2A3. 根据定理8.1.1(2)知 AA1A3的面积大于 A1A2A3的面积.,链接,8.1 最大最小问题,引理8.1.2 设n边形的n条边之中只有一边的长度可以任取，其余n-1条边的长度一定，一切这样的n边形中，具有最大面积的n边形一定内接于长度可以任意选取的那条边为直径的半圆周. 证明：设在n边形A1A2An中，A1An的长度可以任取. 连结A1A3、A3An， 若A1A3An不是直角，那么保持A1A2A3及(n-2)边形A3A4.An的形状，并将A1A3An变成直角， 则A1A3An的面积扩大了， 从而n边形A1A2An的面积也扩大了； 同理可

7、证其它. 所以， A1，A2，An都落在以A1An为直径的半圆周上.,定理8.1.6 （1）周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大； （2）面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小. 证明：设n边形的周长为2p=na，面积为S. 作边长为a的正n边形A1A2An， 及其外接圆，再作边长为a的非正 n边形B1B2Bn, 当n是奇数时，作直径A1A， 连结AiA、AAi+1并在n边形B1B2Bn 的相应边BiBi+1的外侧作BiBBi+1AiAAi+1， 连结BB1，则多边形B1B2B与 BBi+1B1中至少有一个不内接于以B1B为直径的圆. 根据引理8.1.2知：S B1B2BS A1A2

8、A，或 SBBi+1B1S AAi+1A1， 于是， S B1B2BnS A1A2An；,当n是偶数时，过A1作直径A1Ai， 并连B1Bi， 同理可知： S B1B2Bi 2p1. 作正n边形C1C2Cn,使其周长为2p， 由于n边形B1B2Bn与正n边形C1C2Cn有相同的周长2p，根据（1）的结果知S C1C2CnS B1B2Bn =S=SA1A2An. 由于n边形A1A2An 、 n边形C1C2Cn都是正n边形，故必有2p2p1.,3、等周定理 定理8.1.7 在所有给定周长的平面闭曲线中，圆的面积最大. 证明：假定具有给定周长2p而围成面积最大的平面闭曲线是存在的. 证明分为三步：

9、曲线是凸的.即连结上的任意两点的线段上的所有点都在上或其内部； 任何平分的直线必同时平分所围面积； 曲线的任何长度为p的弧AmB必是以AB为直径的半圆.,8.1 最大最小问题,二、“三村短路”问题： 已知平面上的不共线的三点A,B,C，试求一点P使 PA+PB+PC 最小. 定义 对已知的不共线的三点A,B,C，使PA+PB+PC最小的点P称为ABC的最小点. 1、ABC的最小点不可能在ABC的形外. 定理8.1.8 ABC的最小点P必在其形内或边界上. 2、三角形最小点的确定： 引理8.1.3 正三角形外接圆上任一点至三顶点的连线段中，长者等于其余两者之和.,(1)当ABC的三个内角都小于1

10、20时 定理8.1.9 若ABC的三个内角都小于120，则 ABC的最小点就是以ABC的三边向其形外分别作正三角形的外接圆的交点； ABC的最小点与该三角形三顶点连线夹角皆为120 ； 三角形的最小点可由以三角形的三边为边向形外作三个正三角形的形外顶点与原三角形顶点的连线得到. 证明：根据拿破仑定理上述、彼此等价. 以ABC的边BC为边向形外作正三角形BCD，连结AD, 设AD与BCD交于另一点P，则P在ABC内，且 PA+PB+PC=PA+PD=AD. 往证：P是ABC的最小点. 设P1是三角形ABC内一个异于P的点， 连P1A,P1B,P1C，作正BP1E，连ED，则在P1BC与EBD中，

11、 P1B=EB,BC=BD, P1BC=60CBE=EBD, 所以P1BCEBD，所以ED=P1C，于是 P1A+P1B+P1CAP1+P1E+EDAD=PA+PB+PC 所以，P是ABC的最小点.,8.1 最大最小问题,定义 以三角形的三边为边向形外作正三角形，称这三个正三角形的外接圆的公共点为该三角形的费马点. 注：当ABC的三个内角都小于120时，三角形的费马点即是三角形的最小点.,8.1 最大最小问题,(2)当ABC有一个内角大于120时 定理8.1.9 在ABC中，若max A,B,C 120,则ABC的最小点即是最大角的顶点. 证明：不妨设 A 120，P是平面上异于A的任意一点.

12、 在CA的延长线上取BA=BA，作ABPABP, 连PP. 则因为PAP=BAB=180BAC60 而 APP60，所以PAPP 故 PA+PB+PCPP+BP+PC=BP+PP+PCBC=AB+AC 等号成立当且仅当P=A， 所以，点A是ABC的最小点. 注：由此定理我们发现，当 A 120时， ABC的“三村短路”问题 PA+PB+PC=AB+AC=b+c. 那么，当ABC的三个内角都小于120时， PA+PB+PC能否用ABC的元素表示？,定理8.1.10 若ABC的三个内角都小于120，则PA+PB+PC的最小值是,三、最小三角形问题 在任意锐角ABC内作内接DEF使其周长最短. 1、

13、费瑞的解法： 设DEF是ABC的任一内接三角形. 作D关于AB,AC的对称点D,D， 则DE=DE,DF=DF, 于是DEF的周长等于折线DFED的长. 固定D点位置，则D,D位置也相对被固定. 连DD，设交AB,AC于M,N，则DMN的周长恰为线段DD的长. 因此，在D固定的情况下，ABC的具有最小周长的内接三角形应是DMN. 由作图可知：AD=AD=AD, DAD=DAD+DAD=2BAC 因此ADD是顶角为2BAC(定值)的等腰三角形，为使该等腰三角形的底边最短，只需腰AD尽可能的小. 因此AD为BC边上的高，而E,F分别是DD与AB,AC的交点. 注：此时，BE,CF分别是AC,AB边

14、上的高.,8.1 最大最小问题,2、利用物理学中的“光行最速原理” “光行最速原理”是指光在其传播过程中总是沿着最短路线前进. 假设ABC的具有最小周长的内接DEF已经作出. 现想象有一束光线由D出发，经CA,AB两次反射后又回到了D. 由“光行最速原理”，光通路应当与DEF的周界吻合， 从光的反射定律易知： DEC=FEA,EFA=DFB,FDB=EDC, 所以DEF是ABC的垂三角形.,8.2 埃多斯莫德尔不等式,一、两个定理 定理8.2.1 （帕普斯定理）设ABC为任一三角形，AACC和BBCC是在AC和BC上作的任意两个平行四边形，它们或者都在三角形之外，或者不都完全在三角形之外.延长

15、它们的边AC和BC交于P点，在AB上作第三个平行四边形ABPP，使AP平行且等于CP，则 SABPP=SAACC+SBBCC. SAFGP=SACPE =SACCA 注：帕普斯定理是勾股定理的推广.,E,F,G,8.2 埃多斯莫德尔不等式,定理8.2.2 设O为ABC的外心，AD为BC边上的高，则A角的平分线也平分AO与AD之间的夹角.,二、埃多斯莫德尔不等式 定理8.2.3 设P是ABC内部或边上一点，P到三边的距离为pa，pb，pc，则 PA+PB+PC2(pa+pb+pc). 当且仅当ABC为正三角形，且P为三角形的中心时等号成立. 证明：作ABC，其中B,C分别是B,C关于角A平分线A

16、D的对称点. 在ABC中，根据帕普斯定理，有SACCP+SABBP=SBCCB. 而SACCP=bpc,SABBP=cpb,SBCCB BB BC=aPA,二、埃多斯莫德尔不等式 定理8.2.3 设P是ABC内部或边上一点，P到三边的距离为pa，pb，pc，则 PA+PB+PC2(pa+pb+pc). 当且仅当ABC为正三角形，且P为三角形的中心时等号成立. 证明2：如图，记PA=x,PB=y,PC=z,由题设DPE=180-C=A+B. 故由余弦定理得：,8.2 埃多斯莫德尔不等式,三、例题,O,8.2 埃多斯莫德尔不等式,例2.已知三个圆交于一点P，证明公共弦之和不大于三个圆的半径之和.

17、证明：由平面几何知识知： PAO2O3,PBO3O1,PCO1O2,且 PO1=R1,PO2=R2,PO3=R3. 根据埃多斯莫德尔不等式： PO1+PO2+PO32(PD+PE+PF) =PA+PB+PC 即PA+PB+PCR1+R2+R3.,8.2 埃多斯莫德尔不等式,例3.设I是ABC的内心，AI,BI,CI的延长线分别与ABC的外接圆交于点A1,B1,C1.求证：IA1+IB1+IC1IA+IB+IC. 证明：如图，因为I是ABC的内心，所以 2A1IC=2(A1AC+ICA)=A+C 2A1CI=2(A1CB+BCI)=A+C 所以，A1I=A1C=A1B， 所以A1是BCI的外心. 同理，B1是ACI的外心，C1是ABI的外心. 由例2知，当三个圆交于一点时，公共弦之和 不大于三个圆的半径之和， 所以 IA+IB+ICIA1+IB1+IC1.,8.2 埃多斯莫德尔不等式,四、推广,一、波利亚蔡戈不等式,8.3 几类几何三角不等式,证明：设边长为a,b,c,d的圆内接四边形的面积为S1.则,8.3 几类几何三角不等式,二、外森比克不等式,波利亚蔡戈不等式,两个推广：,8.3 几类几何三角不等式,三、内涵多边形面积不等式 定义 如果n边形A1A2An边上的n