§1.1一维振动方程.ppt

1、II 数学物理方法,第一章 数理方程的导出 1.1、一维振动方程 1.2、扩散方程 1.3、二维薄膜振动方程 1.4、电报方程第二章偏微分方程的定解问题 2.1、定解条件 2.2、定解问题的适定性 2.3、偏微分方程的分类,第三章 分离变量法求解偏微分方程 3.1、奇次方程的分离变量法 3.2、高元偏微分方程的分离变量法 3.3、非奇次边界条件问题 3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 3.5、正交曲面坐标系 3.6、区域稳定性问题第四章、球函数 4.1、Legendre方程及Legendre多项式 4.2、Legendre多项式的母函数 4.3、按Legendre多项式展开 4.4、连带Leg

2、endre多项式 4.5、球形区域的Dirichlet问题的解,第五章、柱函数，Bessel函数5.1、Bessel函数5.2、Bessel函数的母函数5.3、半奇数Bessel函数5.4、按Bessel函数展开5.5、第二、三类Bessel函数5.6、球Bessel函数5.7、虚宗量Bessel函数5.8、Bessel函数的渐近式,第一章、数学物理方程导出,数学物理方程，是指从物理学或其他自然学科中所给出 的偏微分方程、积分方程、微分方程和常微分方程。例如在 物理学中常碰到的：,1、静电势或引力势满足的Laplace及Poisson方程。 2、波在空间传输所满足的Helmhotz波动方程。

3、3、热传导所满足的热传导方程。 4、电磁波所满足的Maxwell方程。 5、微观系统所满足的 方程以及相对论量子力 学中的Klein-Gordon方程和Dirac方程。,本课程的目的就是介绍一些求解这类数学物理方程的常用方 法和技巧。,1、一维振动方程,考虑一条轻质柔软的均匀弦，当轻微地拨动这条弦后,弦 会在某一平面上作微小振动。 令u(x,t)为位移量，x为弦上的位置，弦的端点坐标为0、 l，T1、T2 为弦张力，这里忽略剪切力的作用以及纵向运动。,1、一维弦的横振动,根据受力情况，可以写出运动方程：,对于微小振动，有u(x,t) x, 由此可近似得：,则：,所以：,所以有：,所以在微小振动

4、下有：,由横向受力方程近似得：,所以：,最后得：,若弦在同时受到外加横向力F(x,t) 的作用，则横向受力方程为：,所以一维弦振动方程为：,这里： ，为弦振动传播的速度.,整理得受外力弦振动方程为：,说明：,所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：,由于：,考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。,2、均匀杆的纵向振动,根据受力情况，可写出运动方程：,则：,若杆为弹性形变，根据Hooke定律：,令：,则：,整理得杆纵向振动方程为：,这里： ，为杆振动传播的速度.,若杆上同时受到外加纵向力F(x,t) 的作用，则纵向受力方程为：,整理得受外力弦振动方程为：,这里f(x,t)为力密度：,总 结,根据前两讲的内容，我们可以得到结论，虽然两种机械振动的机理并不相同，但两者的运动方程都为波动方程，对于一般的三维振动，波动方程可以推广为：,这里 为Laplace算子。,对于不同的物理过程，描写其力学行为的动力学方程有可能是相同的，通过对一种微分方程求解，往往可以从物理上了解一类力学问题的动力学性质。,作业 P121, 2 3,