第三章 插值法与最小二乘法1_Zu.ppt

1、第三章插值方法和最小二乘法，数学和统计学院，数字计算方法，本章的主要内容，插值方法Lagrange插值误差段插值方法Newton插值多项式样条函数插值数据拟合最小二乘法，为什么需要插值？函数表达式复杂，不容易计算和理论分析。没有函数表达式，只能给出离散采样点，不能计算。寻找简单的函数近似值，即函数近似值。函数是常用方法：插值方法，曲线拟合方法。插值方法：代数多项式插值，三角多项式插值。曲线拟合方式：最小平方。与给定空间对齐的一组控制点(线段如何获得平滑的多项式曲线：引言、插值、拟合、曲线顺序通过所有控制点时插补这些控制点，结果曲线称为插值曲线)。从某种意义上构造离控制点最近的曲线。这些控制点称

2、为近似，生成的曲线称为近似(拟合)曲线。本章首先讨论插值问题，然后讨论与数据拟合相关的问题。拟合方式是考虑到数据不一定精确，近似表达式不必通过所有点，但仅要求给定的上限误差(I=0，1 1，n)根据特定标准最小。如果记住=(1，2，n )T，那么所需矢量的标准| | | |最小。简介，问题：如何根据未知函数或复杂函数的已知信息构造这些函数的近似表达式？方案函数f (x)是x0点的泰勒展开式，称为函数f (x)的泰勒插值，示例1，使用泰勒插值求解，使用泰勒插值，示例1，y=近似区间是小而大区间是可能的示例1，方案考虑部分a，b中函数f (x)的近似表达式，y=f (x)，a b，求解：y=f (

3、x)，示例2，1。使用函数f(x)在间隔a，b处的一系列点值yi=f(xi)(可通过观测、测量、实验等使用)，插值，解决方法：示例2，2.几何上来说，曲线P (x)符合f (x)，范例2，代数上p (x)符合以下代数条件：P(Xi)=yi(=F(Xi)I F(x)代数多项式，三角多项式，有理函数或样条函数，1。代数插值问题，(2.1)表达式称为插值条件。x2 xn b点的值y0，y1，yn。如果存在，则求定义2.1，f (x)为插值函数，a，b为插值间隔，插值节点，p (x)为插值方法。函数f (x)在a，b中定义，并近似计算F (x)的值、零点、极点、度数、积分等。插值点在插值间隔内称为插值

4、。否则，这称为插值。1 .代数插值问题，最常用的插值函数是使用代数多项式，代数多项式作为插值函数的插值，三角多项式，1。代数插值问题，f (x)，p(x)，几何上来说，曲线P (x)接近f(x)。研究问题：(1)满足插值条件的p，(2)满足插值条件的p (x)如何构造p(x)？(3)如何估计p (x)近似而不是f (x)导致的错误？1 .设置代数插值问题，问题2插值多项式的构造，p (x)=A0 a1 x an x n以确定多项式p (x)的次数。方法：通过n 1方程的解：可获得需要插值多项式p(x)的待定系数方法。但是，这样不仅计算复杂，而且很难获得pn(x)的简单表达式。，结论：n 1插值

5、节点生成的插值多项式最多为n次，问题插值多项式的存在唯一性，pn(x)为f (x)的插值多项式，Hn表示不超过n的所有项，pn(x) Hn。插值多项式存在且唯一，半守护进程决定因素，a0，a1，a2，an是唯一的，p(Xi)=yi I=0，1，2，n，HN中只有一个pn(x)是插值条件，n 1节点徐璐不同。为了获得易于使用的简单插值多项式pn(x)，我们先看n=1(线性插值)。n=1时，配置通过两点(x0，y0)和(x1，y1)的多项式p1(x)(后跟L1(x)，使其等于2。拉格朗日插值(一次X1线性插值基函数，-线性la grange插值多项式格式，2 .拉格朗日插值(一次)、节点的线性插值

6、基函数：满足，y 1 0 x0 x1 x，(2.3)，(2.4 (2.6)格式也称为拉格朗日插值多项式。其中，基本函数lk，lk 1与yk，yk 1无关，由插值节点xk，xk 1确定。因此，一次拉格朗日插值多项式是插值基本函数lk，lk 1的线性组合，其组合系数为该点的函数值yk，yk 1。其中，求解x0=100、y0=10、x1=121、y1=11，然后使用线性插值计算2。拉格朗日插值(一次)，2。拉格朗日插值(2次)，(2)节点满足，(2.8)，2。拉格朗日插值(2次)，首先由l0(x):l0(x)满足的两个条件，因此L2(x)=y0 l0(x) y1 L1 (x) y2 l2(x)，依此

7、类推拉格朗日插值(2次)、L2 (x j)=y j，j=k-1插入值、插值多项式配置、L2 (x)是三次插值多项式的线性组合，插值条件(2.9)、-通过三点(xx)拉格朗日插值Ln(x 2次)Ln(x)=满足插值条件：L n (XJ)=y j，j=0，1，n，定义的2.2 n次多项式lk (x) (k=0，1)拉格朗日插值(n次)，首先查找插值基本函数，k=0，1，n .k=0，1，n .L2 (x)=y0 l0 (x) (Ln(x)为n)拉格朗日插值(N次)很明显，这样构造的L(x)不超过N次多项式，如果N=1，则称为线性插值。N=2时，称为抛物线插补。2 .拉格朗日插值(N次)、设置为插值

8、节点、N次多项式满足条件，称为拉格朗日插值函数。，la grange插值多项式的另一种形式，2 .拉格朗日插值(N次)，因此lk(x)很容易得到，(2.12)，2 .拉格朗日插值(N次)，由插值条件表示。G(x)，3 .插值多项式的截断误差，3-1插值多项式的截断误差，引入插值余数的概念，下一个分析插值余数的形式，即a，b至少有n 1 0点，可以设置。假设间距a，b有F。将x视为间隙的固定点，XXI在间隙a，b中至少有n个零点，以此类推。根据Rolle清理，间距(a，b)至少有n个零点。由Rolle清理确定间距(a，b)至少有n个零点。因此，间距(a，b)内至少有一个点，因此=0，=(n 1)

9、！x，定理3 (Lagrange插值多项式的余数公式)，Lagrange类型余数，插值多项式的余数(剪切误差)，不确定，难以预测，设定，错误边界，注意：n=1时的线性，3-2高插值多项式的问题，多次拉格朗日插值多项式的比较图，Runge现象和解决方法，以上结果表明插值多项式的数量越大，插值效果越好，精度也不一定越高。这个现象是上世纪初由Runge发现的，称为Runge现象。所有子间距的插值多项式构成a，b的分段函数(f (x)称为a，b的分段插值多项式)。4 .分段插补法，主：子部分的分割与子部分内插多项式的次数和插值点的位置有关，间隙分割点必须位于节点上。如第3节所示，插值多项式的数量过高会

10、导致Runge现象。每个子区间的插值多项式构成了插值区间的分段函数，称为分段插值多项式。步长：4-1段线性Lagrange插值，给定f(x) a，b的节点及其函数值，选择两个相邻节点中的一个以形成插值间隔，Lagrange线性插值多项式构造：1，段线性插值多项式的构造，能否划分总间距？以上子间距：(2)，n，如第二部分清理1所示，n次插值多项式的余数为，1)插值余数，线段线性插值多项式Lh(x)的余数为：其中：与X相关，2，2，是连接插值节点的折线(称为折线插值)。，分段线性插值曲线，实际上，根据剩馀公式，节点xk越接近插值点，误差越小，插值效果越好。因此，必须在可能的插值点附近选择插值节点。分段插值的关键点：通过相应地选择插值节点并为指定数据集按顺序设置节点来设置插值点。外推、插值、外推、4-2段二次Lagrange插值、段线性插值不平滑且精度差。因此，在节点较多的情况下，可以正确配置分段二次拉格朗日插值。将总间距分割为多个较小的子间距。设置给定f(x)位于a，b的节点xi(i=0，1，n)