第6章热传导问题的有限元法.ppt

1、6 热传导问题的有限元法 本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问题的解。 6-1 问题的提出 前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理，建立了有限元的求解格式。 但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分原理分析，求泛函的极值。 比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常遇到的问题。,对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：再加上用得最多（一般）的边界条件,除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可选的方法。 有限元法求解偏

2、微分方程的思路：1）利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试探函数；3）寻找试探函数的系数节点场变量，以使泛函取极值。 下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元格式。,6-2 泛函与变分的基本概念 函数：z = f (x)，x变，z变。 泛函：平面上两点A、B之间的距离Iy变，I变。I是y的泛函函数的函数。,一 泛函 定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个函数称为泛函。 二 泛函的极值 函数z = f (x)有极值问题。如果表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向左也不是，向右也不是，此时，z取极值。 泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函

3、数称为泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定性。,当然，使泛函取得极值的自变函数的变化要复杂的多。 三 变分法 函数取极值的条件：，称为微分。 泛函取极值的条件：，称为变分。 四 变分 函数微分可以用来研究函数z在x处的变化。,类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的变分来观察。I泛函，任意小的正数。 五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：,泛函I=Iy(x)在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是I=0，即上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也不是”的状态。 可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必要条件是类似的。只不过函

4、数的自变量在极值点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变化方式要简单一些而已。,六 变分法预备定理 设函数F(x)在x1, x2连续，对于y(x)，如果有则 。 y(x)是y的变分。 y(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为零； | y | 或 | y |及| y | ，等。 这些话的意思是：y是连续区间x1, x2中一段曲线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高阶导数的变化等。,下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极值的条件。 设有泛函 其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线）在积分区间x1, x2的端点x1, x2处的值是已知的

5、，即认为函数 三阶可微。,根据变分的定义，要使泛函取极值，则 其中，y使I取极值，y+ y是一个微小的变化。,令 = 0，则（y成为使I取极值的点） 上式右端中，因为,带入前式 由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件 上面的过程可以总结为 （1）写出泛函表达式 ； （2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，异于y的自变函数可写成y+ y，它的高阶项为y+ y；,（3）使泛函取极值的条件 （4）展开上式，将其中的y设法从变分中分离出来。这个过程要用到分步积分。最后形成 （5）根据变分基本定理，在y满足一般性条件时，即可得出： I = 0 或I取极值的条件 （）=0,对于一个场的描述有两种方法：

6、1）积分法； 2）微分法。 两种方法的求解基本思路： （1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它含有若干待定系数，即每一项前的系数。 将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极值的条件），可以求出多项式前的各系数，这样即可求出对原问题的近似解。,（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y的变化率，y的解与边界条件有关。 积分法和微分法的联系 微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数性态的要求稍高。 七 变分原理 变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其边界条件等价的原理。 即：满足微分方程及其边界条件的函

7、数，一定使泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对应的微分方程及其边界条件。,例 最速降线问题。 平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x)滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。 解 分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径y =f (x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函，y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求泛函t的极值。 问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。,设A点与坐标原点重合，B点的坐标为B(x1,y1)。从A点到达任意点P的速度为v，失去的位能为mgy，获得的

8、动能为1/2 mv2。 由能量守恒定律 从另一方面看，弧长 s 对时间的导数即为速度,因为 所以 从A到B积分，便得到下滑所需的时间,即：下滑时间t是y(x)的泛函，记作Ty(x) 这一命题可表达如下： 在满足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函数y(x)中，选取一个函数，使泛函Ty(x)为最小。 上面问题的求解可以采用两种方法：1）积分法； 2）微分法。,1）积分法：把y写成多项式的形式，然后写出积分的显示表达式。使T对多项式中的各项系数分别求导，并令其等于零，可以得到一组方程，求解这组方程，得到各系数，则求得对原问题的近似解。 2）微分法：求解使泛函达到极值的微分方程及其边界条件。 下面

9、采用微分法求解该问题。,由Ty(x)的表达式 可见被积函数为 根据使泛函取极值的条件,展开上式（注意到F不显含x） 另一方面 比较上面两式可得,积分一次有 上式即为泛函中被积函数不显含x时的极值条件。 对于最速降线问题，已知 带入泛函取极值的条件有,整理后 所以 这是一个常微分方程，用参数解法。 令 有,由 ，可得 积分可得 由边界条件 y(0)=0，可得C2=0。 从而,由平面解析几何知识可知，该曲线是以C1/2为半径的圆的旋轮线（摆线）。常数C1可由y(x1)=y1求出。 6-3 稳定温度场的变分原理 前述给出三维稳定温度场应满足的微分方程和边界条件。为简单起见，下面只讨论轴对称问题的稳定

10、温度场的微分方程及其边界条件与泛函和变分的联系。 轴对称问题的特征：1）几何形状轴对称；2）边界条件和外界温度负载轴对称。,上面的1和2保证了物体内任意一点的温度只与r和z有关，而与无关，这样，三维的轴对称问题就降为二维平面问题。z是轴线方向，r是半径线方向，是圆周方向。,轴对称问题的微分方程和边界条件为 上式的泛函是,轴对称稳定温度场的变分原理：满足微分方程及其边界条件的函数T(r,z)使上面的泛函取极小值；使上述泛函取极小值的函数T(r,z)一定满足微分方程及其边界条件。（证明过程略） 泛函并不比微分方程及其边界条件简单。但利用变分原理将问题转化为求泛函的极值至少有两点好处： （1）从微分

11、方程出发，无法导出有限元计算格式，从泛函出发就可以； （2）利用泛函求解与直接求解微分方程有不同的特点：,1）边界条件：对于微分方程边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而求泛函极值问题时，这一条件将自动满足； 2）导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只含一阶导数，所以采用泛函求极值方法解稳定温度场问题，求解相对容易。尤其是采用有限元法求解近似解时，这些有利因素可以充分发挥。 6-4 二维稳定温度场的有限元格式 下面从稳定温度场的泛函表达式出发，利用等参,数单元的思想，推导8节点平面和轴对称稳定温度场的等参数单元的计算格式。 一 单元温度刚阵格式的形成 1 温度泛函 说明：（1）上式是单元泛

12、函表达式，因此其中x,y的变化范围，仅限于单元内部。整个求解域的泛函为单元泛函的代数和。,如果温度场使整个求解域的泛函取极小值，那么就意味着要将所有单元的泛函相加（集成），并使之成为极小。 （2）上式是平面问题和轴对称问题写在一起的格式。对于平面问题，R=1；对于轴对称问题，R=r(径向坐标)，dx相当于dr，dy相当于dz。 （3）式中f=T0，是由 得到的，即,2 泛函中各函数的确定 （1）温度插值函数 8节点等参元的温度插值结果为 其中形状函数为 根据上式，可以在求出节点温度后，计算单元内任意一点的温度值。,局部坐标下的单元形状、节点排列和编号如图所示。节点的坐标为,（2）坐标变换函数

13、（3）坐标变换 1）导数 与 之间的变换。 由,或 从而,令 则 最后得,2）面积微分的变换 3）ds与d或d之间的变换,当ds在(2)、(4)边时，=常数，d=0，则 当ds在(1)、(3)边时，=常数，d=0，则 为便于推导，写成统一的形式 3 温度刚度矩阵的形式,又知 所以,将它们带入G(e)中,为了方便后面求泛函极值，这里先写出G(e)对单元节点温度Ti的偏导数 将上式按=1,2,8展开，并写成矩阵形式，有：,或,式中 均与温度T无关，只是,的函数，而A和B则是节点温度T1,T2,T8的函数。 又由于,所以 从上式可以看出 即 为对称矩阵。,二 右端项格式的形成 现在再来看Z(e)。,

14、我们也写出Z(e)对Ti的偏导数 将上式展开，并写成列矩阵，有,或 其中各个元素的表达式 可以看出 ，即 是对称的。,回到单元温度泛函的表达式 将其对温度求导，有 将前述推导带入，并写成矩阵形式有 令 ，可得,其中， 的元素为 即为单元温度刚阵的最后形式。 三 总体合成 由于求解区域内的温度泛函等于各个单元的温度泛函之和，从而有 式中E0为单元总数。,于是 式中 根据泛函求极值的条件U=0，即可推导出所求关系式。,U是温度的泛函，现在视节点温度为未知量，用节点温度的插值函数所形成的空间曲面，去近似真实温度场曲面，那么U就是所有节点温度的函数。如果要使U取极小值，就意味着 于是可以得到 即 这就是