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文档简介

1、1.4 极限的性质与运算法则,1.4.1 极限的性质 1.4.2 极限的四则运算法则,1.4.1 极限的性质,性质1.5 ( 唯一性 ) 若极限 lim f (x) 存在，则极限值唯一.,性质1.7 ( 保号性 ) 若 ，且 A 0 ( 或A 0 ( 或f (x) 0 ) .,性质1.6 ( 有界性 ) 若极限 存在，则函数 f (x) 在 的某空心邻域内有界.,1.4.2 极限的四则运算法则,定理1.3 若 lim u(x) = A，lim v(x) = B，则,(1) lim u(x) v(x) = lim u(x) lim v(x) = A B；,(2) lim u(x) v(x) =

2、lim u(x) lim v(x) = A B；,(3) 当 lim v(x) = B 0 时，,证 我们只证 (1) .,因为 lim u(x) = A，lim v(x) = B，由定理 1.2 有 u(x) = A + ，v(x) = B + ，,其中, 是同一变化过程的无穷小量，,推论 设 lim u(x) 存在，c 为常数，n 为正整数，则有,(1) lim c u(x) = c lim u(x)；,(2),注意 (1) 法则要求每个参与运算的函数的极限存在. (2) 商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零.,例1 求,例2 求,p(x) 当 时的极限值就是多项式 p(x

3、) 在 处的函数值,例3 求 .,解 因为 ， 所以可以使用商的极限的运算法则，有,例4 求,由于分母极限为零，不能直接使用运算法则. 在分母为零的情况下，求极限的方法将取决于分子极限的状况.,即 是 时的无穷小. 由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到,例5 求,分母极限为零，由上例知应进一步考察分子极限：,例6 求,解 分子、分母同除以它们的最高次幂x2 ，,例7 求,解 分子、分母同除以它们的最高次幂 x3 ，,例8 求下列极限：,解 (1) m n，,(2) 最高次幂大于分母的最高次幂，即 n m，,(3) n = m，所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比.,结论,1.对于整式形如：,2.对于分式形如： 在 过程中,如果 则,如果 则做相应变换。,对于分式形如： 在 过程中，如果 则 如果 则,12. 求下列极限.,其中第二项分母极限不为零，故可用运算法则求极限.,解 (3),(5) 先求分母极限 ，再求分子极限,对于这种类型的函数，应将分子、分母各自分解因式，然后消去无穷小因子再求极限. 于是,(10) 本题是x时有理分式的极限，且分子、分母最高次幂相同，分子、分母同除以 x 的最高次幂.,

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