第一类曲面积分(10) (2).ppt

1、对于面积的曲面积分，首先介绍了面积曲面积分的概念和性质。对于第一种曲线积分，其物理背景是曲线分量的质量。在这个质量问题中，如果曲线变成曲面，线密度变成面积密度，小曲线的弧长变成小曲面的面积，则相应地得到和公式，并抽象地总结出面积曲面积分的概念和例子。所谓光滑曲面，是指曲面上的每个点都有一个切平面，当该点在曲面上连续移动时，切平面也连续旋转。1。定义，其物理背景是表面积密度为f (x，y，z)2的表面块的质量。面积的曲面积分性质，与弧长的曲线积分性质完全相似，线性，可加性。第二，面积曲线积分的计算方法根据曲面的不同情况可分为以下三种：然后，这是将面积曲线分割成二重积分的计算公式，简要描述为：第一

2、代，第二次变换，第三次投影，第一代：将曲面方程代入被积函数，改变：改变面积元素，投影：将曲面投影到坐标平面上得到投影面积，注意：否则，可加性可用于分块计算并累加结果。(2)曲面投影到哪个坐标平面取决于曲面方程，即方程的表达式。(3)将曲面方程代入被积函数的目的和意义是将被积函数转化为二元函数。(4)记住随时改变面积元素、情况1、解和情况2的计算，以及平面z=1所包围的区域的整个边界。在xoy、o、x、y、z、例3中的投影区域中，在z=0和z=H之间的圆柱面，解是通过对称性知道的，例4，解是通过对称性知道的：注意，区域的表面积分具有类似于三重积分的对称性，对称于xoy(或yoz，或y)是奇数函数

3、，如果f(x，y，z)是关于z(或x，或y)的偶数函数， 其完全类似于三重积分的对称性，在例5中计算和求解，在例6中计算和求解(左右投影相同)，并且在例8中计算重心坐标和均匀表面的解，因此在例10中计算重心坐标。 2.面积曲面积分的求解是将其转化为投影域的二重积分计算(根据曲面的不同情况分为三种类型)。坐标的曲面积分，1。基本概念，观察以下表面的侧面(假设表面是光滑的)，表面分为上侧和下侧，表面分为内侧和外侧。2。单面表面。典型双面曲面，典型单面曲面：莫比乌斯带，曲面的法向量方向决定曲面的边，而决定边的曲面称为有向曲面。曲面的投影问题是3360，可以类似地定义。第二，概念介绍，示例33330。

4、法向量是。2。总和，3。取极限、两种曲面积分之间的联系，向量形式，3。概念和性质、积分曲面、被积函数、有向面积元素、类似可定义的、存在条件：组合形式：物理意义、可加性、2。 333333333436倒置，4。坐标曲面积分的计算方法，注意：坐标的曲面积分，并注意曲面所取的边。这是将坐标曲线区域划分为二重积分的计算公式，概括为：生成：将曲面方程表示为二元显式函数，然后将其代入被积函数，再将其转化为二元函数。Cast:将积分曲面投影到坐标平面(如xoy平面)上，坐标平面与有向面积元素(如dxdy)中的两个变量同名，标记：根据曲面的方向，即曲面的边确定二重积分的符号，标记一次生成，两次拍摄，三次。注意

5、，积分曲面的方程必须表示为单值显式函数，否则它将被分段计算，结果将相加。确定符号的原则：当表面取上侧、前侧和右侧时，它是正表面，当它取下侧、后侧和左侧时，它是负表面。当在示例1中计算时，解、以及，在示例2和示例3中，平面x=0，y=0，z=0，以及x y z=1包围整个空间区域。解被分成四个部分：左侧、下侧、后侧、上侧、同样如此。注意，对于坐标曲面积分的对称性，被积函数表达式具有旋转对称性，即在被积函数表达式中的所有字母都被、x、y、z替换后，原公式保持不变，并且积分曲面及其边具有对称性，这意味着曲面在每一个中具有对称性。本例的解是通用的。6.总结。1.物理意义。2.计算时应注意以下两点：高斯

6、公式。早先，我们把牛顿-莱布尼茨公式推广到平面区域，得到了格林公式。该公式表达了平面闭域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。让我们进一步扩展格林公式，它是下面将要介绍的高斯公式。高斯公式表达了封闭空间上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，高斯公式也是计算曲面积分的一种有效方法。1。高斯公式，定理，o，x，y，z，证明了：首先，假设一条穿过并平行于坐标轴的直线与边界面的交点正好是两个，以投影区域的边界曲线为准线，母线平行于坐标轴圆柱体上上下边界面之间的部分，根据三重积分高斯公式， 由两类曲面积分之间的关系可知，表示空间封闭区域中的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。

7、 注意，如果不满足上述条件，可以引入几个辅助表面并将其分成几个有限的小区域，以使它们都满足上述条件。注意，沿着辅助表面的相对侧的两个表面积分的绝对值是相等的，但是符号是相反的，并且当它们相加时它们正好抵消，所以上述通用公式也适用于这样的区域If，2。根据高斯公式，用三重积分计算曲面积分是方便的，但高斯公式也表明三重积分可以用曲面积分来计算。例1，解，2，简单应用，(通过柱面坐标获得)，解，空间曲面在曲面上的投影域是，曲面不是封闭曲面，所以计算的积分是，注意，当应用高斯公式计算曲面积分时，要求曲面必须是封闭的。如果它不是闭合的，需要添加一个辅助曲面使其闭合。在添加的曲面上，曲面积分应该易于计算。

8、用高斯公式计算三重积分，最后在补充面上减去积分值，往往可以简化计算。高斯公式要求曲面取外部。特别是对于未闭合曲面的曲面积分，添加的辅助曲面的边必须与给定曲面的边兼容。如果不符合外侧的要求，可以使用可逆性进行调整(差值为负号)。可以证明，在特殊情况下，高斯公式是格林公式，在例5中进行了计算和求解，边被取下来、O、X、Y、Z=1。和曲面上圆柱体的体积(用圆柱坐标)，或先称重后单的方法，例11，计算表面积分和解，并考虑使用高斯公式，但在几何上，积分表面是一个碗，它的嘴向下扣在xoy坐标平面上，xoy坐标平面的横截面标记是0，所以表面不是封闭的，z=0(下侧)应该用来密封碗，但应该注意，0)又在z=0上，所以(0，0，0)必须挖出来。考虑到P、Q和R的分母是格林，为了简化计算，原点是用一个半径足够小的小球面挖出来的，其下侧是、因此，它是由高斯公式确定的，V，summary，1，高斯公式，2，高斯公式格林公式表示平面封闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式将曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来。右手定则是有向曲面的前向边界曲线。证明了如图所示，思路，曲面积分，1，二重积分，2，曲线积分，1，根格林。平面有向曲线，2，空间有向曲线，可以用同样的方法证明，所以结论是有效的，便于记忆。另一种形式，斯托克斯公式的本质，表示有向曲面上的曲面积分与其边