第7章 应力状态.ppt

1、第7章 应力状态及应变状态分析,材 料 力 学,姓名：鲁晓俊 单位：武昌理工学院,第7章 应力状态及应变状态分析,7.1 概述 7.2 二向应力状态下的应力分析解析法 7.3 二向应力状态下的应力分析解析法 7.4 梁的应力状态分析及应力轨迹线 7.5 三向应力状态下应力分析简介 7.6 应力与应变的关系,7.1 概述,一、工程实例,微体A,三、受力构件内应力特征：,（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。,二、一点处的应力状态: 受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,

2、称为一点处的应力状态。,四、单元体法,围绕该点取出一个一个微小的六面体单元体。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。,z,（2）平面应力状态：,（3）空间应力状态 ：,（4）纯剪切应力状态：,五、应力状态分类,（1）单向应力状态：,三个主应力中若有两个等于零一个一等于零,三个主应力中有一个等于零，两个不等于零,三个主应力均不等于零,问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系,问题,符号规定：, 方位角 a 以 x 轴为始边、 者为正, 切应力 t 以企图使微体沿 旋转者为正,方位用 a 表示；

3、应力为 sa , ta,斜截面：/ z 轴；,7.2 二向应力状态下的应力分析(解析法),7.2.1 a 斜截面上的应力,斜截面应力公式,由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得,上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题,例 计算截面 m-m 上的应力,解：,主应力: 主平面上的正应力称为主应力,主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即1 2 3,7

4、.2.2 主应力smax、smin及作用平面方向,确定正应力极值,设aa0 时，上式值为零，即,即aa0 时，切应力为零,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,说明在与同一主平面垂直的所有截面中，任意二互相垂直的截面上的正应力之和为常数。,确定主应力方向的具体规则如下：,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1） 斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主

5、应力 方向：,（3）主单元体：,，,将最大剪应力及最小剪应力称为主剪应力。,比较,可知,代入,可得,比较,可知,当单元体的三个主应力按代数值排列是1 2 3时，最大、最小剪应力的计算公式应为,单元体上最大、最小剪应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半。,7.2.4 二向应力状态的两个特例,（1）单向应力状态,（2）纯剪应力状态,应力圆,应力圆原理,圆心位于s 轴,7.3 二向应力状态下的应力分析图解法,应力圆的绘制,满足上述二条件确为所求应力圆,根据：,问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆,图解法求斜截面应力,同理可证：,点、面对应关系, 转向相同，转角加倍 互垂截面，

6、对应同一直径两端,例 利用应力圆求截面 m-m 上的应力,2. 由应力圆求,A点对应截面 x, B点对应截面 y,由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）,极值应力数值,极值应力方位, 最大正应力方位：, smax与smin所在截面正交, s 极值与t 极值所在截面, 成 夹角,主平面切应力为零的截面,主应力主平面上的正应力,主应力符号与规定,相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 主平面微体,（按代数值）,主平面与主应力,应力状态分类, 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态, 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态, 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态,二向与三

7、向应力状态，统称复杂应力状态,纯剪切状态的最大应力,主平面微体位于 方位,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生在tmax的作用面,断裂发生在smax 作用面,解：1. 解析法,例 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,2. 图解法,主应力的大小与方位 ？,下图 表示一受任意横向力作用的矩形截面梁, 在横截面 mm上, 分别围绕 1、 2、 3、 4,、5 五点各取出一单元体。 假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。,7.4 梁的应力状态分析及主应力轨迹线,2,3,x,3,x,4,4,5,将相应的x , x 和 y=0 , y = -x 代入主应力的计算公式得梁内任一点的主应力计算公式,一、梁的主

8、应力计算公式,可见,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力, 一个为压应力,两者的方向互相垂直。,在梁的 xy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组 曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 1 的方向， 而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 3 的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线 。,二、主应力迹线的概念,(2) 从1-1上任一点 a 开始,求出该点 处主应力 1 的方向,将这一方向线延长 至 2-2 截面线, 相交于 b 点 , 再求出 b 点处主应力 1 的方向, 延长至 c点。,(1) 按一定的比例画出梁在xy平面的 平面图,画出代表一些横截面位置的等间 距直线 1-1, 2

9、-2 等等,三、主应力迹线的绘制 (迹线),(4) 按同样的方法可绘得主应力 3 迹线,(3) 依此类推, 就可以画出一条折线, 作一条与此折线相切的曲线, 这一曲线 就是主应力 1 的迹线,上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力1的迹线, 虚线表示主应力3的迹线, 所有的迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置)间的夹角都是45, 在梁的横截面上=0的各点处, 迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。,与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内,7.5 三向应力状态下应力分析简介,最大切应力位于与 s1 及 s3 均成45的截面上,最大应力,例 已知

10、 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz =40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力,解：,画三向应力圆,sz,sz,7.6.1单向应力状态下应力与应变的关系,横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比v，而符号相反。,E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.,7.6 应力与应变间的关系,7.6.2 纯剪切应力状态下应力与应变的关系,或,G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.,（1）符号规定,x y z x y y z z x,x y z x y y z z x,1、各向同性材料的广义胡克定律,(a)三个正应力分量：拉应力为正 压应力为负。,7.6

11、.3 复杂应力状态下应力与应变的关系,(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴 正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。,图中表示的均为正方向,线应变: 以伸长为正, 缩短为负。 剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负。, xOy yOz zox 。,在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为:,2、各向同性材料的广义胡克定律,(1)线应变的推导,在x y z同时存在时, x方向的线应变x为,在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为,剪应变

12、xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为,3、 特例 （1）平面应力状态下(假设 Z = 0 ),（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：,(7-7-6),平面应力状态下 设 3 = 0, 则,材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:,7.6.4 体积应变,（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变,（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变 用表示。,设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:,体积应变为,将广义胡克定律,代入得,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有,在平面纯剪切应力状态下：,代入得,