第3章立体的投影.ppt

1、第3章 立体的投影,立体的投影,立体是由若干表面所围成的占有一定空间的几何体。 立体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。,常见的基本几何体,平面立体,曲面立体：回转体（回转曲面）,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆球,圆环,3.1 平面立体的投影,画平面立体视图的实质： 画出所有棱线（或表面）的投影，并根据它们的可见与否，分别采用粗实线或虚线表示。,平面体：表面由平面构成的形体 棱线： 平面上相邻表面的交线,棱柱和棱锥是由棱面和底面围成的。 棱线：相邻棱面的交线。棱柱的棱线互相平行。 棱柱有直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。 棱锥的所有棱线交汇于锥顶。 底面和棱面的

2、交线是底面的边。,一、棱柱和棱锥的投影,1. 棱柱的三面视图,如图示位置放置正六棱柱时，其两底面为水平面，H面投影具有全等性；前后两侧面为正平面，其余四个侧面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。,（一）棱柱,在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。,六棱柱的三视图,棱柱的组成,由两个底面和若干侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,1. 棱锥的三面视图,由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,（二）棱锥,画棱锥的三面视图，其方法

3、和步骤与棱柱相同。 为了对视图进行线面分析，可标出各顶点的投影名称。,b,a(c),b,棱锥的三面视图画图步骤：,点的可见性规定： 若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,二、棱柱和棱锥表面取点,1. 在棱柱表面取点,2.在棱锥表面取点,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,r,3,(3),截交：平面截切立体。, 截平面 用来截断形体的平面。, 截交线 截平面与立体表面的交线。, 截断面 由交线围成的平面图形。,三、平面立体的截交,截平面,截交线,平面立体的截交线

4、一定是一个封闭的平面多边形，多边形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条棱，那么截交线就是几边形。 截交线是截平面与立体表面的共有线。,求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面的交线，然后依次连接而得。, 求平面体截交线的实质：, 平面体截交线的性质：,平面体的截交,分析截平面与立体的相对位置,分析截平面与投影面的相对位置,确定截交线 的投影特性,1. 空间及投影分析,2. 画出截交线的投影,求出截平面与被截棱线的交点，并判断可见性。,依次连接各顶点成多边形， 注意可见性。,3. 完善轮廓。,确定截交 线的形状, 求截交线的步骤：,（一）棱柱的截断,例：求正五棱柱被截切后的

5、俯视图和左视图。,求截交线,完善轮廓,检查 注意截交线投影的类似性,注意可见性,空间分析和投影分析,3,2,1,(4),P,(5),正五棱柱被截切后的视图和立体图,3,2,1,(4),P,(5),注意： 要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,例：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。,1(2),3(4),例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,（二）棱锥的截断,3,2,1,(4),例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。,P,1,5,4,3,2,8,7,6,2(3、6、7),1(8),4（5）,1,5,4,7,2,8,3,6,例3.3

6、 求带切口三棱锥的投影,解题步骤 1 分析 截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知； 2 求出截交线上的折点、 、 ； 3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 4 整理轮廓线。,例 求立体截切后的投影,1,6,3.2 回转体的投影,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。,圆柱,圆锥,圆球,一、常见回转体及其表面取点,1. 素线与轮廓线,形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。,我们把确定曲面范围的

7、外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓线也是可见与不可见的分界线。,当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。,在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。,2. 纬圆,由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆即为纬圆。,正视转向线 侧视视转向线 注意:转向轮廓线的投影与曲面的可见性的判断,1.圆柱的三面视图,（一）圆柱,由顶圆、底圆和圆柱面围成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。,直线AA1称为母线。,圆柱的三面视图画图步骤：,利用投影的积聚性,2.

8、在圆柱表面取点,已知圆柱表面的点的投影1、2、3、4，求其它两面投影。,取点采用辅助直素线方法,利用45线作图,圆锥面是由直线SA(母线)绕与它相交的轴线OO1旋转而成。 S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,1. 圆锥的三视图,注意：轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断。,由圆锥面和底面组成。,二、圆锥,正视转向线，侧视视转向线。,圆锥的三视图画图步骤：,s,s,b(d),d,b,a ( c ),(1) 特殊位置点,已知棱锥表面上点的投影1、2、3，求其它两面投影。,2.在圆锥表面取点,s,s,b(d),d,b,a ( c ),(2) 一般位置点,取过锥顶的辅助素线法,辅助纬

9、圆法（取垂直于圆锥轴线的圆）,如何在圆锥面上作直线？,过锥顶作一条素线。,已知圆锥表面上点的投影1、2，求其它两面投影。,s,三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线(正视转向线, 侧视转向线,俯视转向线)的投影。,圆母线以它的直径为轴旋转而成。,1. 圆球的三视图,（三）圆球,圆球的三视图画图步骤：,2.圆球表面取点,（1）特殊位置点,a,b,c,a,c,b,b,a,c,圆球表面取点,圆的半径？,（2）辅助圆法：采用过点的并与各投影面平行的纬圆, 截交线是截平面与回转体表面的共有线。, 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。,截交线都

10、是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。,(1) 曲面体截交线的性质：,(2) 求曲面体截交线的实质：,求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次光滑连接。,二、 回转体与平面的截交, 空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置。,分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。, 画出截交线的投影,截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：,光滑连接各点，并判断截交线的可见性。,先找特殊点（外形素线上的点和极限位置点）。, 求截交线的步骤：,确定截交 线的形状,确定截交线 的投影特性,补充一般点。,3. 完善轮廓。,特殊点：是指

11、绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点： 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点： 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点： 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点： 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。,特殊点,由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状。,一、圆柱的截断,圆,椭圆,两条平行于轴线的素线,垂直,倾斜,平行,（一）圆柱的截交线及切口,截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的 两条素线,截平面倾斜于轴线，交线为椭圆,截平面垂直于轴线，交线为圆,截交线的侧面投影是什么形状？,截交线的已知

12、投影？,找特殊点,补充一般点,光滑连接各点,三、完善轮廓,截交线的空间形状？,一、分析,二、求截交线,例3.7：圆柱被正垂面截断，求作其视图,例3.8 求开槽圆柱的三视图。,空间及投影分析,求截交线,完善圆柱轮廓,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,解题步骤：,同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。,例:求作圆柱切口开槽后的视图,3(4),作图结果和立体图,3(4),根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,（二）圆锥的截交线及切口,截交线的空间形状？,截交线的投影特性？,找特殊点,如何找椭圆另一根轴的端点（即最前、最后点） 取线段12的中点,补

13、充中间点,光滑连接各点,三、完善轮廓,一、分析,二、求截交线,5 (6 ),7 (8),9 (10),例: 圆锥被正垂面截断，完成三视图。,圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。,例：求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。,1,1”,2”,3”,2,3,4(5),4”,5”,5,4,6,6,6”,例：求作切口圆锥台的左、俯视图。,1,2,3(4),分析：圆锥台的切口由三个平面切割而成，分析各截交线的空间形状和投影特性。,切口圆锥台的视图和立体图,用任何位置的截平面截割圆球，截交线的形状都是圆。 当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，其它两面投影积聚为直线。,（三）球体的截交线

14、及切口,例：已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例：求切口半圆的投影。,完整和不完整的基本体（柱，锥，球，环）是构成形体的基本组成部分，研究它们的投影是为后面学习组合体打基础。 1基本的三视图画法及表面取点 平面体表面取点利用平面上取点的方法 圆柱表面取点利用柱面投影的积聚法 圆锥表面取点用素线法和辅助纬圆 圆球表面取点用辅助圆法（纬圆法）,本节小结,2截断体上的截交线 平面体上的截交线，一般是由直线围成的封闭多边形。多边形的也是截

15、平面与棱面的相交。 回转体上的截交线，其形状取决于被截回转体的轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。,3解题方法与步骤 投影分析： 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特征。 求截交线： 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮廓的投影。,3.3 两曲面立体相贯,立体与立体相交，在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封

16、闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。,相贯线性质图例,相贯线的主要性质：,求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。, 共有性, 表面性,相贯线位于两立体的表面上。,相贯线是两立体表面的共有线。, 封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。,例：补全主视图,例：补全主视图,3.2 求两曲面立体的相贯线,（一） 利用积聚性求相贯线,当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯线的方法称为表面取点法。,表面取点法求作相贯线的一般步骤,（1）分析 首先

17、分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。 （2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。 （） 根据需要求出若干个一般点。 （）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。,求特殊点,确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括： 相贯

18、线极限位置点 最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,两圆柱直径的变化对相贯线的影响,交线为两条平面 曲线（椭圆）,例：已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。,分 析,求特殊点,求一般点,判别可见性,完成相贯线,例 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。,a“(b“),a,b,c“,a,b,c,d,d,d,e“(f “),e,f,e,f,g,h,g“(h“),g,h,c,（二）辅助平面法求相贯线,假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。, 辅助平面法：,根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。, 作图步骤：, 辅助平面的选择原则：,使辅助平面与两回转体表面的交线的投影简单易画，例如直线或圆。,一般选择投影面平行面。, 作辅助平面与相贯的两立体相交, 分别求