第02章 对偶问题与灵敏度分析.ppt

1、,计算机学院 陈丰 ,运筹学,力学中有对偶，数学规划论中也有对偶。20世纪50年 代，运筹学界发现每个线性规划问题都有一个相对应的“影 像”，称之为LP问题的对偶问题（Dual Programming， DP）。 它们都是研究同一对象，出于同一目的，但研究的角度 不同，它们密切联系又有区别，相辅相成，互为对偶。,第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,提 纲,1 线性规划的对偶问题 2 对偶问题的基本性质 3 影子价格 4 对偶单纯形法 5 灵敏度分析,学习目标： 1 掌握原问题与其对偶问题的对应关系 2 能熟练准确地写出一般形式的线性规划的对偶问题,1 线性规划的对偶问题,1 线性规划的对偶

2、问题,1.1 对偶问题的提出,在第1章例1中讨论了工厂生产计划模型及其解法，该问题站在 工厂管理者的角度追求利润最大。我们记为LP1：,（LP1）,现从另一角度来讨论这个问题。假定该厂的决策者决定 不生产产品、，而将其所有资源出租或外售。这时工 厂的决策者就要考虑给各种资源如何定价的问题。,设分别用y1、y2和y3表示单位时间（h）设备A、设备B和调试 工序的出让价格。则该厂的决策者进行定价决策时，将作如下比 较： 若用6h设备B和1h调试工序可生产一件产品，利润为2 元，那么将生产每件产品的设备台时和调试工序出租和出让的 所有收入应不低于生产一件产品的利润，这就有 6y2y32,同理将生产一

3、件产品的设备台时和调试工序出租和出 让的所有收入应不低于生产一件产品的利润，这就有 5y12y2y31,将工厂所有设备台时和调试工序都出租和出让，其总的收入为 w15y124y25y3 从工厂的决策者来看当然w愈大愈好，但从接受者来看他的支 付愈少愈好，所以工厂的决策者只能在满足所有产品的利润条 件下，使其总收入尽可能地小，他才能实现其意愿，为此可得到 如下的线性规划问题：,（LP2）,我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（这里称为原问 题）的对偶问题。 联系：都 是关于工厂的模型并且使用相同的数据，目的都是 为了提高工厂的效益。 区别：模型反映的角度不同，前者为充分利用资源问题，后者 为

4、资源恰当估价问题。,（LP1）,任何线性规划问题都有对偶 问题，而且都有相应的意义。,1 线性规划的对偶问题,1.2 对称形式下对偶问题的一般形式,定义：满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式： 变量均具有非负约束 约束条件当目标函数求极大时取“”号，当目标函数 求极小时均取“”号。,LP1具有对称形式,（LP2）,（LP1）,目标函数,n,m,C,b,决策变量,（LP2）,（LP1）,下面是对称形式下线性规划原问题的一般形式：,用yi(i=1,.,m)代表第i种资源的估价，则其对偶问题的一般形式为,矩阵表示,AT,C,b,min,A,b,C,max,原问题,对偶问题,对称形式下线性规划的

5、原问题与对偶问题的对应关系：,P43 例1 写出下述线性规划问题的对偶问题（即第1章 例1）,y1 y2 y3,y1 y2 y3,y1，y2 ，y3 0,1 线性规划的对偶问题,并非所有线性规划问题具有对称形式，故下面讨论一般情况 下线性规划问题如何写出其对偶问题。,1.3 非对称形式的原-对偶问题关系,无论对称或非对称的线性规划问题在写出其对偶问题时，下 表的对应关系都适用。,由于前面四个对应关系与对称形式下的对应关系一致，故我 们只需讨论约束类型与变量类型之间的对应关系:,约 束 条 件,约 束 条 件,变 量,变 量,P64 2.1(b) 写出下述线性规划问题的对偶问题,max z 5x

6、16x23x3,x12x22x3 = 5 x15x2 x3 3 4x17x23x3 8 x1无约束，x2 0 ，x3 0,y1 y2 y3,5 6 3,=,0,0,无约束,P44 例3 写出下述线性规划问题的对偶问题,min z 7x14x24x3,4x12x26x324 3x16x24x315 5x1 3x330 x10, x2无约束, x30,y1 y2 y3,学习目标： 1 掌握单纯形法的矩阵描述，它是灵敏度分析的基础 2 理解对偶问题的基本性质,2 对偶问题的基本性质,本节的讨论先假定原问题及对偶问题为对称形式线性规划问 题（结论同样适用于非对称形式），原问题为：,2 对偶问题的基本性

7、质,其对偶问题为：,（2.9）,（2.10）,2 对偶问题的基本性质,例4 用单纯形法求解,列出初始单纯形表, , ,(1/2),1,1,单纯行 法的迭代 过程实际 上是对增 广矩阵进 行的初等 行变换。,A1,A2,A3,A4,矩阵的初等变换不只是可用语言表述，而且可用矩阵的乘法运 算来表示。为此要引入初等矩阵的概念。,初等矩阵：将单位矩阵作一次初等（行/列）变换所得的矩阵 称为初等矩阵。 以非0常数 c 乘以矩阵的某一行（列） Ei ( c ) 将矩阵的某一行（列）乘以常数 c 并加到另一行（列）Eij(c) 将矩阵的某两行（列）对换位置 Eij,复习初等变换和初等矩阵,由线性代数可知，对

8、矩阵进行的初等行变换，相当于用相应的 初等矩阵左乘矩阵。,(1/2),A1,A2, , ,(1/2),1,1,单纯行 法的迭代 过程实际 上是对增 广矩阵进 行的初等 行变换。,A1,A2,A3,A4,A4, , ,(1/2),1,1,A1,A2,A3,E1(1/2),E12(1),E21(1),E1(1/2)A1=A2,E12(1)A2=A3,E21(1)A3=A4,即 E1(1/2)E12(1)E21(1)A1=A4,令 D=E1(1/2)E12(1)E21(1)，则有 DA1=A4,对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得 AB = BA = I（单位矩阵） 成立，则称A是可逆矩阵，并称B是

9、A的逆矩阵。 记作 A-1，即A-1 = B。当然，也可称A是B的逆矩阵。,复习逆矩阵的概念,A1,A4,即 DA1=A4,即用 D=E3E2E1左乘,现A4中基变量为x1和x3，P1和P3构成单位矩阵，如下,A4,互换下第2列与 第3列的位置,A4,类似，A1中也互换第2列与第3列的位置，有,A1,A1,A4,即 DA1=A4,即用 D=E3E2E1左乘,下面将A4进行分块处理,b,B,N,S,同理，将A1进行分块处理,有 DA1=A4,b,B,N,S,有,Db=b DB=B DN=N DS=S,由于 B =I 则有 DB=I 因此 D = B-1 即 D是基B的逆矩阵,由于 S =I DS

10、=S 因此 D = S= B-1,B-1,即 D( )=( ),b,B,N,S,Db=b DB=B DN=N DS=S,B-1,即 DA1=A4,证实,结论：单纯行法的迭代过程相当于用B-1 （基B的逆矩阵）左乘增广矩阵。,线性规划问题（2.9）的矩阵表达式加上松驰变量 Xs 后为：,（2.11）,上式中： Xs为松弛变量，Xs=（xn+1，xn+2，xn+m） I为mm单位矩阵,2.1 单纯形法计算的矩阵描述 P29,单纯形法计算时，总选取为初始基，对应基变量Xs 初始单纯形表可表示成如下形式（表1）,（2.11）,设迭代若干步后, 基变量变为XB，XB在初始单纯形表中的系数矩阵为B。,将B

11、在初始单纯形表中单独列出，而A中去掉B的若干列后剩下的列组成N。 于是其初始单纯形表可表示成如下形式（表2）。,当迭代若干步后，基变量为XB时，该步的单纯形表中由XB系 数组成的矩阵B转变为单位矩阵。,初始单纯形表,中间(最终)单纯形表,单纯行法的迭代计算实际上是对增广矩阵进行的初等行变换， 由线性代数可知，这就相当于用有限多个初等矩阵 E1，E2，Ek依次左乘增广矩阵。,EkE2E1,b,B,N,I,初等行变换的结果使初始单纯形表中的B变成了单位矩阵 I，这表明 EkE2E1BI，故EkE2E1B-1（基B的逆矩阵）,EkE2E1,b,B,N,I,因此，单纯行法的迭代过程相当于用B-1（基B

12、的逆矩阵）左乘 增广矩阵。,结论：单纯行法的迭代过程相当于用B-1（基B的逆矩阵）左乘 增广矩阵。,几个结论,（1）对应初始单纯形表中的单位矩阵，迭代后的单纯形表中 为B-1。,I,B-1,j,j,0 0 0 -1/4 -1/2,15/2,7/2,3/2,第1章中的例1,则,（2）初始单纯形表中基变量 Xs = b ，迭代后的单纯形表中为 XB = B-1b,（3）初始单纯形表中约束系数矩阵为（A, I）=（B, N, I）， 迭代后的表中的约束系数矩阵为（B-1A, B-1I） =（B-1B, B-1N, B-1I） =（I, B-1N, B-1）,（4）若初始单纯形表中变量 xj 的系数向

13、量为Pj， 迭代后为Pj，则有 Pj=B-1Pj。,P38 1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形表（见表1.17）和用 单纯形法迭代后得到的表（见表1.18），试求括弧中未知数al 的值。,表1.17,表1.18,表1.17,表1.18,当基变量变为 XB=（x1, x5）T时，XB在 初始单纯形表中的系数矩 阵为B = (P1, P5 ) =,表1.17,表1.18,已知，单纯形法的迭代 过程相当于用B-1左乘增广 矩阵。即,表1.17,表1.18,f=3 b/2=g，b/2-1=h c/2=2 c=4 c/2+3=i i=5 d/2=-1 d=-2 d/2+e=1 e=2,单纯形表的格式

14、：,表1.17,表1.18,b/2=g，b/2-1=h g=1 h=0 b=2 a、j、k、l ?,2 = -1( 2a+05 ) 即 -7 = -12a， a=3,（5）用单纯形法求解线性规划问题时，迭代的每一步在得到原 问题（2.9）的一个基可行解的同时，其检验数的相反数是其对 偶问题（2.10）的一个基解（不一定是基可行解，因为有可能有 负数存在）。 P47 第6个性质 当B为最优基时，其检验数的相反数是其对偶问题（2.10）的 一个基可行解（同时也是其对偶问题的最优解），且此时两个 问题的目标函数值相等。,第1章例1 原问题与对偶问题的变量及解之间的对应关系。,原 问 题,对 偶 问

15、题,对偶变量,y1 y2 y3,x1 x2,用单纯形法求得两个问题的最终单纯形表如下：,z = 015/2+27/2+ 13/2 = 8.5,w =241/4+51/2 = 8.5,2 对偶问题的基本性质,2.2 对偶问题的基本性质,（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。 由于这个性质，一对对偶规划中，“原问题”与“对偶问 题”都是相对而言的，即两个问题中，任意一个都可叫做“ 原问题”，而另一个就是它的“对偶问题”。 P43 例2,（2）弱对偶性。 如果 xj (j=1,n)是原问题的可行解，yi (i=1,m)是其对 偶问题的可行解，则恒有,即极大化LP问题的任何可行解的目标值 z ，不大于

16、极小 化DP问题的任何可行解的目标值 w 。 P64 2.2(c),（3）无界性：如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其 对偶问题（原问题）必定无可行解。 反证：设原问题有无界解，若对偶问题有可行解，则由 弱对偶性知道原问题有界，和已知矛盾。 注意：此性质的逆命题不成立。事实上，一对对偶的线性规 划问题，若其中一个无可行解，则另一个可能可能无可行解， 也可能有无界解。 P64 2.2(b)，2.3,P64 2.3 已知线性规划问题,max z x1x2,x1x2x32 2x1x2x31 x13 0,试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。,解：先写出上述问题的对偶模型，知上述问题具有对

17、称形式。,原问题,对偶问题,由对偶问题的约束条件、，可以知道对偶问题无可行解。,则根据无界性，可以确定原问题可能为无可行解，或为无界 解。,容易知道X=（0，0，0）为原问题的可行解，因此可以确定原 问题的最优解为无界解。,（4）最优性。 如果 xj (j=1,n) 是原问题的可行解，yi (i= 1,m)是其 对偶问题的可行解，且有,则 xj (j=1,n)是原问题的最优解， yi (i=1,m)是其对偶问题的最优解。,（5）强对偶性（对偶定理）。 若原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优 解，且具有 max z = min w。,根据以上定理，一对对偶问题解之间的关系归纳如下：,P64

18、 2.2（a）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问 题也一定存在可行解。,P64 2.3,（6）互补松弛性。 在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变 量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取 严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零，也即：,若 yi0，则有,bi ，即 xsi0（松弛变量为0）,若,因此一定有 xsi yi0。,第1章例1 原问题。,原 问 题,对偶变量,y1 = 0 y2 = 1/4 y3 = 1/2, ,对于约束条件，x3y1=0 对于约束条件，x4y2=0 对于约束条件，x5y3=0,松弛变量,x3 = 15/2 x4 = 0 x5

19、= 0,学习目标： 1 理解影子价格的定义及意义,3 影子价格,3 影子价格,当线性规划原问题求得最优解 xj* (j=1,n)时，其对偶问题 也得到最优解 yi*(i=1,.,m)，代入各自的目标函数后有：,其中，bi 代表第i 种资源的拥有量，对偶变量 yi* 的意义代表 在资源最优利用条件下对单位资源 i 的估价。 这种估计不是资源的市场价格，而是根据在生产中做出的贡 献而作的估价，为区别一般意义的价格，我们将其（yi*）称为 影子价格（shadow price）。,3.1 定义,3 影子价格,3.2 影子价格的意义,（1）影子价格不是运筹学中的概念，而是经济学中的概 念。它表示对某种资

20、源一个单位的估价，这种估价不是资 源的市场价格，而是该种资源在生产中具体使用时所体现 出来的价值。它随使用情况的不同而不同，比如它会因生 产任务、产品结构（约束条件）等情况发生变化，也随之 发生变化。,（2）前面的对偶问题的性质中讲到：原问题的松驰变量对 应对偶问题的决策变量。对偶问题的决策变量就是对原问 题中各种资源一个单位的估价。原问题松驰变量在单纯形 表中的检验数的相反数，即是各种资源影子价格的数值。,（3）影子价格是一种边际价格，在（2.23）式中 z = y1b1 + y2b2 + + ymbm 将b1，b2，bm看作变量，对右边项求偏导 = yi 这说明 yi 的值相当于在资源得到

21、最优利用的生产条件下， bi 每增加一个单位时（其他参数不变）目标函数 z 的增量。,（2.23）,x2,O,x1,12,6,3,5,6x12x2=24,（7/2，3/2），z = 8.5,如果第个约束条件右端项增 加1，变为6x1+2x225，可行域 边界线将移至 ，最优解的 点为（15/4，5/4），代入目标函 数得 z =8.75，说明第2种资源的边 际价格为0.25（=8.75 8.5）,如果第个约束条件右端项增 加1，变为x1+x26，可行域 边界线将移至 ，最优解的 点为（3，3），代入目标函数 得 z = 9，说明第3种资源的边际 价格为0.5（= 9 8.5）,（4）资源的影子

22、价格实际上又是一种机会成本，在纯市场 经济条件下，当第2种资源的市场价格低于 0.25 时，可以买 进这种资源；相反，当市场价格高于影子价格时，就会卖 出这种资源，随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随 之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平， 才处于平衡状态。,（5）在上一节对偶问题的互补松驰性质中有 这表明生产过程中如果某种资源 bi 未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零；又当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。,（6）从影子价格的含义上再来考察单纯形表的计算，因为由表 2-4知 上式中 cj 是代表第 j 种产品的产值， 是生产该种产品所 消耗各项资

23、源的影子价格的总和，即产品的隐含成本。当产品 值大于隐含成本时，表明生产该项产品有利，可在计划中安 排，否则用这些资源来生产别的产品更为有利，就不在生产计 划中安排。这就是单纯形表中各个检验数的经济意义。,学习目标： 1 理解对偶单纯形法的原理，正确使用此方法,4 对偶单纯形法,4 对偶单纯形法,4.1 对偶单纯形法的基本思路,求解线性规划的单纯形法的思路：,原问题基可行解 最优解判断,j0,（5）用单纯形法求解线性规划问题时，迭代的每一步在得到原 问题（2.9）的一个基可行解的同时，其检验数的相反数是其对 偶问题（2.10）的一个基解（不一定是基可行解，因为有可能有 负数存在）。 当B为最优

24、基时，其检验数的相反数是其对偶问题（2.10）的 一个基可行解（同时也是其对偶问题的最优解），且此时两个 问题的目标函数值相等。,由上一节对偶问题的性质，知道：,原问题基可行解 最优解判断,j0,对偶问题的可行解,从原问题的一个基解出发，此基解不一定可行（即b列有小 于0的情况），但它对应着一个对偶问题的基可行解（即单纯形 表中j0），所以也可以说是从一个对偶可行解出发； 然后检验原问题的基解是否可行，即b列是否有负的分量，如 果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基解，此基解对应着 另一个对偶可行解（检验数非正）。,求解线性规划的对偶单纯形法的思路：,原问题基可行解 最优解判断,j0,对偶问

25、题的可行解,对偶问题 最优解判断,对偶单纯形法 基本思路,如果得到的基解的分量皆非负（即b列0 ）则该基解为 最优解。也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持 对偶解的可行性（即检验数非正），使原问题的基解由不 可行逐步变为可行，当同时得到对偶问题与原问题的可行 解时，便得到原问题的最优解。,单纯形法与对偶单纯形法之间的比较,4 对偶单纯形法,建立初始单纯形表，对应一个基解，所有检验数均非正， 转； 若bi0，则得到最优解，停止；否则，若有bi0则 brminbibi0 选第r行的基变量为出基变量，转； 若所有arj0( j = 1,2,n )，则原问题无可行解，停止； 否则， xs为进基变

26、量，转； 以ars为主元素，作初等行变换使其变为1，该列其他元变 为0，转。,4.2 对偶单纯形法的计算步骤,P51 例5 用对偶单纯法求解下述线性规划问题：,分析： 先将问题加入相应的松弛变量，化为标准形式。,先标准形式的约束条件两端乘“1”后，得：,列出初始单纯形表,检查 b 列， 有 b10和b20 ，所 有检验数保持非 正，因此要继续进 行计算。,对偶问题的基可行解,由于 min b1=2，b2=1 = b1，所以 b1 对 应的变量 y4 为换 出变量。,确定换出基变量。,因为存在0的 bi，令 brminbibi0，其对应变量 yr 为换出基变量。,i,确定换入基变量。,检查 yr

27、 所在行的各系数 arj (j=1,2,n) 1）若所有 arj0，则原问题无可行解,若把表中第 r 行的约束方程列出有 yr + ar,m+1ym+1 +arj yj+arn yn = br 因为 arj 0 (j=m+1,.,n)，又 br0，故不可能存在 yj0 (j=1,2.n)，故原问题无可行解。,2）若存在 arj 0 (j =1,2,n)，则按最小比值原则计算,称 ars 为主元素，ys 为换入基的变量,用换入变量替换换出变量。,按高斯消元法继 续进行迭代，得到 新的单纯形表。, ,继续迭代。,按高斯消元法继 续进行迭代，得到 新的单纯形表。, ,是,是,是,是,否,否,否,否,

28、所有,所有,得到 最优解,计算k = maxj|j0,计算 br = minbi|bi0,原问题的基解是可行的,对偶问题的基解是可行的,所有,所有,计算,计算,确定主元素，进行迭代,停,无界解,无可行解,单纯形法,对偶单纯形法,小结,j0,aik0,=min aik0=,bi0,arj0,=min arj0=,确定主元素，进行迭代,入,出,出,入,（1）单纯形法计算的前提是基变量的值总保持是非负的（即所 有 bi0 ），而对偶单纯形法计算的前提是原问题的检验数总保 持是非正的。 （2）用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“” 时，不必加入人工变量，使计算简化。 （3）对偶单纯形法的局

29、限性：对大多数线性规划问题，很难保 证在初始单纯形表中所有j0，因此对偶单纯形法一般不单独 使用，而主要应用于灵敏度分析及整数规划等问题，,学习目标： 1 能够熟练准确地就C、b、A中的元素发生来进行灵敏 度分析，求出新的优化解,5 灵敏度分析,5 灵敏度分析,在前面讨论线性规划时，假定 aij、bi、cj 都是常数。但实 际上这些系数往往是估计值和预测值。 市场变化 cj 值变化 工艺变化 aij 值变化 资源变化 bi 值变化,5.1 灵敏度分析简介,问题： 当这些系数中的一个或多个发生变化时，原最优解 会怎样变化？ 当这些系数在什么范围内变化时，原最优解仍保持 不变？ 若最优解发生变化，

30、如何用最简单的方法找到现行 的最优解？,对于上述问题，如果将问题从头计算求解，当然是一种 方法，但是这样不仅麻烦、没有必要，而且也得不到更多 有用的信息。 灵敏度分析采用的方法是从已得到的最优解出发，通过 对变化数据进行一些简单的计算，便可迅速得到所需要的 结果以及变化后的最优解。因此，灵敏度分析也称优化后 分析。,灵敏度分析采用的方法：,将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来：,灵敏度分析的步骤：,初始单纯形表,迭代若干步后的单纯形表（最终单纯形表）,初始单纯形表： 系数列向量： Pj （j= 1,2,n） 右端项： b 价值系数: Cj （j= 1,2,n）,（1）将参数的改变通过计算

31、反映到最终单纯形表上来：,（2）检查原问题是否仍为可行解（即 b 列是否都0）,（3）检查对偶问题是否仍为可行解（即所有的 j 是否 都0）,灵敏度分析的三把尺子,（4）按下表所列的情况得出结论或者决定继续计算的步骤,5 灵敏度分析,线性规划目标函数中变量系数 cj 的变化仅仅影响到检验 数（cjzj）的变化。cj 的变化不会影响到解的可行性（即b 列的结果），我们只需要判断解的最优性（对偶问题的可 行性）即可。 cj 的变化只可能出现以下两种结果： 最优解不变 若该解不是最优，则使用单纯形法迭代直到得到最 优解,5.2 分析 cj 的变化,下面举例说明：,P53 例6 在第1章例1的美佳公司

32、的例子中， （1）若家电的利润 2元5元，而家电的利润1元1.5 元，美佳公司最优生产计划有何变化； （2）若家电的利润不变，则家电的利润在什么范围 内变化时，则该公司的最优生产计划不发生变化（即 最优解不变）。,j,解：（1）原问题的最终单纯形表如下：,j,将家电、的利润变化直接反映到最终单纯形表，有,0 0 0,-7/8,1/4, ,因变量x5的检验数大于零，故需继续用单纯形法迭代计算，有,即美佳公司随家电利润的变化应调整为只生产产品4件,（2） 若家电的利润不变，则家电的利润在什么范围内变化 时，则该公司的最优生产计划不发生变化。 解：设家电的利润为(2+)元，反映到最终单纯形表中，有,

33、为使上表的解仍为最优解，应有： 解得： -1 1 即家电的利润 c1 的变化范围（即 2+ ）应满足 ： 1 c1 3,0,0,5 灵敏度分析,右端项 bi 的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变化。由 于 bi 变化反映到最终单纯形表上仅引起 b 列数字的变化，故解的 最优性不受影响（即所有j0，对偶问题可行），我们只需要 判断解的可行性（即b列）即可。,若该解可行，则最优基不变 若该解不可行，则使用对偶单纯形法迭代直到找到最优解,5.3 分析 bi 的变化,P55 例7 在上述美佳公司的例子中： （1）若设备A和调试工序的每天能力不变，而设备B每天的能 力增加到 32 h，分析公司最优计

34、划的变化 （2）若设备A和调试工序每天可用能力不变，则设备B的能力 在什么范围变化时，问题的最优基不变,32,j,j,初始单纯形表,最终单纯形表,B-1,I,分析： （1）因为,将计算结果反映到最终单纯形表中去，有：,于是由式（2.30），有：,j,原问题的最终单纯形表如下：,j,由此，美佳公司的最优计划改变为只生产家电5 件,j,解：设设备B每天可用能力为（24+）h，因此有：,（2）若设备A和调试工序每天可用能力不变，则设备B的能力在 什么范围变化时，问题的最优基不变,将其反映到最终单纯形表中，其 b 列数字为,0 0,=,=,b =,原问题的最终单纯形表如下：,j,当 b0 时问题的最优基不变，解得 -6 6 由此，设备B的能力（24 +）应在 1830 h之间,5 灵敏度分析,增加一个变量在实际问题中反映为增加一种新的产品，其分析 步骤为：,1、计算,2、计算,5.4 增加一个变量 xj 的分析,P57 例8 美佳公司又计划推出新型号的家电，生产一件所需设 备A、B及调试工序的时间分别为3h、4h、2h，该产品的预期盈 利为3元/件， 试分析该种产品是否值得投产；如投产