高中数学第三章函数的应用教案新人教版必修1（通用）

1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点三维目标定向知识与技能结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。过程与方法掌握判断方程根的个数的一般方法，从中体会函数与方程及数形结合的数学思想方法。情感、态度与价值观活跃学生的思维，养成多方面联系思考的习惯。教学重点与难点：函数零点的判别。教学过程设计一、问题情境设疑思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么联系？引例：（1）解下列一元二次方程：，。 （2）画出下列函数的图象：，。方程函数函数的图象xyx1x20xy0x1xy0方程的实数根无实数根函数的图象与x轴的交点（

2、1，0），（3，0）（1，0）无交点一般结论：判别式 0= 0 0方程ax 2 + bx + c = 0(a0)的根两个不等的实数根两个相等的实数根没有实数根函数y = ax 2 + bx + c = 0(a0)的图象xyx1x20xy0x1xy0函数的图象与x轴的交点（x1，0），（x2，0）（x1，0）没有交点二、核心内容整合1、函数零点的定义：对于函数y = f (x)，我们把使f (x) = 0的实数x叫做函数y = f (x)的零点。提问：零点是一个点吗？（零点指的是一个实数）2、一般结论方程有实数根 函数的图象与x轴有交点 函数有零点。课堂练习：课本P88练习1：利用函数图象判断下

3、列方程有没有根，有几个根：（1）； （2）；（3）； （4）。拓展：求下列函数的零点：（1）； （2）。评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。xyx1x203、零点存在定理探究：观察二次函数的图象（如图），我们发现函数在区间 2，1上有零点。计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2，4上是否也具有这种特点呢？结论：如果函数在区间 a , b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。三、例题分析示例例、求函数的零点的个数。计算器求值；几

4、何画板作图说明。练习：1、函数的零点所在的大致区间是（ ）（A）（1，2） （B）（2，3） （C）（1，）和（3，4） （D）2、若方程在（0，1）内恰有一个解，则a的取值范围是（ ）（A）a 1 （C） 1 a 1 （D）0 a 1四、课堂小结1、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。五、课后作业：1、求下列函数的零点：（1）； （2）。2、若函数的两个零点是2和3，求的值。教学反思：3.1.2 用二分法求方程的近似解三维目标定向知识与技能掌握用二分法求函数图象交点的横坐标的步骤。过程与方法根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，这种

5、方法是求方程近似解的常用方法。情感、态度与价值观培养学生实际问题实际分析的能力，以及初步了解数值逼近的思想。教学重点与难点如何利用二分法求方程的近似解。教学过程设计一、问题情境设疑问题：函数在区间（2，3）内有零点，如何找出这个零点？解决：策略一：用几何画板画出函数的图象，求出其与x轴交点的横坐标，也可以求函数与函数y = 6 2x的图象交点的横坐标。游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格。思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？合作探究：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程ln x + 2x 6 = 0？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？策略

6、二：“取中点”逐步缩小零点所在的范围二分法注：中点：称为区间 (a , b) 的中点。工具：（1）计算器或Excel表格；（2）零点存在定理。二、核心内容整合1、解决问题：请看下面的表格：区间端点的符号中点的值中点函数值的符号（2，3）f (2) 02.5f (2.5) 0（2.5，3）f (2.5) 02.75f (2.75) 0（2.5，2.75）f (2.5) 02.625f (2.625) 0（2.5，2.625）f (2.5) 02.5625f (2.5625) 0（2.5，2.5625）f (2.5) 02.53125f (2.53125) 0（2.53125，2.5625）f (

7、2.53125) 02.546875f (2.546875) 0（2.53125，2.546875）f (2.53125) 02.5390625f (2.5390625) 0（2.53125，2.5390625）f (2.53125) 02.53515625f (2.53515625) 0在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间市点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于| 2.5390625 2.53125 | = 0.0078125 0.01，所以，我们可以将x = 2.53125作为函数零点的近似值

8、，也即方程根的近似值。2、二分法的定义：对于在区间 a , b 上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。3、给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间 a , b ，验证，给定精度；（2）求区间 (a , b) 的中点c；（3）计算：若，则c就是函数的零点；若，则令b = c（此时零点）；若，则令a = c（此时零点）（4）判断是否达到精确度：即若 | a b | ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2 4。三、例题分析示例例、借助计算器或计算机用二分法求方程2 x + 3x = 7的近似解（精确度

9、为0.1）。解：原方程即，令，用计算机作出函数的对应值表与图象：x012345678 6 2310214075142273因为f (1) f (2) 0所以在（1，2）内有零点x0，取（1，2）的中点x1 = 1.5，f (1.5) = 0.33，因为f (1) f (1.5) 0所以x0（1，1.5）；取（1，1.5）的中点x2 = 1.25，f (1.25) = 0.87，因为f (1.25) f (1.5) 0，所以x0（1.25，1.5）；同理可得，x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.4375），由于| 1.375 1.4375 | = 0.0625 0且a 1）的图象有

10、两个公共点，则a的取值范围是 。五、课后作业：P92，习题3.1，A组3、4。补充：讨论方程的实根的个数。教学反思：3.2.1 几类不同增长的函数模型三维目标定向知识与技能掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。过程与方法通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。情感、态度与价值观提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。教学重点与难点：利用函数模型分析问题。教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了

11、脑筋。1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。二、例题分析例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10

12、元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？问题2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x天所得回报是y元，方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述。问题3、三个函数模型的增减性如何？三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型。问题4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？1、日回报效益分析：（1）三个方案所得回报的增长情况：（2）作出三个函数的图象：函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚

13、线连接离散的点。我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多，从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？（3）根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资58天选方案二，投资8天以上选方案三？由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第14天，方案一最多，在58天，方案二最

14、多；第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。2、累计回报效益分析：天数回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11 天）以上，刚应选择第三种投资方案。例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到1

15、0万元时，按销售利润进行奖励，且资金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间10，1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。（1）借助计算机作出函数的图象：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。（

16、2）列表计算确认上述判断： 模型奖金/万元利润102.51.022.182051.042.548004.954.448105.044.44210004.55（3）问题：当10，1000时，奖金是否不超过利润的25%呢？我们来看函数的图象：综上所述，模型确实能符合公司的要求。三、学习水平反馈：P98，练习1，2。四、课堂小结确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美。五、课后作业：P98，练习2。教学反思：第二课时一、探究：对数函数，指数函数

17、与幂函数在区间上增长差异的具体情况。特例引入：探究对数函数，指数函数与幂函数在区间上的增长差异情况。策略一：表格计算（学生可用计算器完成）x123456782481632641282561491625364964011.58522.3222.5852.8073策略二：用几何画板作出函数的图象进行比较。一般结论：在区间上，随着x的增大，的增长速度越来越快（指数爆炸），会超过并远远大于的增长速度（直线上升），而的增长速度则会越来越慢（对数增长）。因此，总会存在一个，当时，有。二、学生探究对数函数，指数函数与幂函数在区间上的衰减情况。特例探究：探究对数函数，指数函数与幂函数在区间上的增长差异情况。策

18、略一：表格计算（学生可用计算器完成）x1234567810 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3策略二：用几何画板作出函数的图象进行比较。一般结论：在区间上，随着x的增大， 的衰减速度比较快，会超过的衰减速度，而的衰减速度则会越来越慢。因此，总会存在一个，当时，有。练习：P1013.2.2 函数模型的应用实例三维目标定向知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。情感、态度与价值观通过实例，提高解决实

19、际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。教学重点与难点:函数模型的选取与求解。教学过程设计第一课时 已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2020 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。解：（1）阴影部分的面积为501 + 801 + 901 + 751 + 651 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。（2）根据上图，有，这个函数的图

20、象如右图所示。hVH小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。练习1：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ） (A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系

21、式；（）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102，时间单位：天）例2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，y 0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下表是1950 1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人551965630057482587966026661456628286456

22、26599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：（1）设19511959年的人口增长率分别为r1，r2，r9。由，可得1951年的人口增长率。同理可得，于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为。令，则我国在19501959年期间的人口增长模型为。根据上表的数据作出散点图，并作出函数的图象（如图）：可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合。（2

23、）将y = 130000代入，得。所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。小结：已知函数模型解实际问题主要有两类：（1）已知函数解析式形式，只须求待定系数，较易；（2）根据题目所给条件，能够列出两个变量、之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量诸元素之间的关系。归纳：解函数应用题的步骤：解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，基本程序如下：1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉将要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形

24、）处理数据，便于寻找数量关系。2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。3、合理求解纯数学问题。4、解释并回答实际问题。练习：P104，1、2。作业：P107，习题3.2，A组：2、3、4。教学反思：第二课时 函数拟合问题例1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。解：由上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。设在进价基础上增加x元后，日均

25、销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480 40 (x 1) = 520 40x（桶）。由于x 0，且520 40x 0，即0 x 13，于是可得。所以，当x = 6.5时，y有最大值。所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。练习1：（P106）某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元。（1）分别求出总成本y1（单位：万元），单位成本y2（单位：万元），销售总收入y3（单位：万元），总利润y4（单位：万元）与总产量x（单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析。练习2：某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元。对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台。已知销售收入函数为：，其中x是产品售出的数量，。（1）若x为年产量，y为利润，求y = f (x) 的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？例2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.863