高中数学论文：圆锥曲线中最值问题求解举例（通用）

1、圆锥曲线中最值问题求解举例 圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。一、 定义法 有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。例1、 已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP

2、|+|PQ|, 即为最小值。OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如图，, 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. . 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 。点悟 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。二、 参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例2、椭圆的切线 与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB的最小

3、面积 。分析；写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程。 解： 设切点为 ， 则切线方程为 .令y=0, 得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B(0,)= 点悟 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。 三 、二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。例3、过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中）的等轴双曲线系中 ， 当p为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。解：由 , 得 交点, 交点Q坐标代入双曲线,= =.当 , ,

4、又 ,；当p=3a时, 点悟 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。 四 、几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离等求解。例 4、 已知椭圆 和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。分析；设 是关于l对称点 ， 可求出 坐标 ，过的直线方程与x-y+9=0联立得交点M为所求。y lP O xM解 ：由椭圆方程 ，得， 设 是关于l对称点 ， 可求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=0

5、与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。由 ,得，, 所求椭圆方程为 .点悟 ：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。 五、不等式法 列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。例5 、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。 解 ： 椭圆焦点 ，设过焦点(0,1) ，直线方程为y=kx+1 与联立 ，消去y, 得 ， 其中两根为A,B横坐标 。 将三角形AOB看作与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 ., 其中 |OF|=c=1. =. 当 即k=0 时,取等号 ，即当直线为 y=1时 , 得到的面积最大值为 。点悟 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2