多项式的整除.ppt

1、2.5 多项式的整除,设F是一个数域，Fx是F上一元多项式环。 一、多项式整除的定义与性质。 多项式整除的定义 定义：令f(x)和g(x)是数域F上多项式环Fx的两个多项式，如果存在Fx的多项式h(x),使 g(x)=f(x)h(x) 则称f(x)整除（能除尽）g(x). 记为 f(x)|g(x) 此时称f(x)是g(x)的因式， g(x)是f(x)的倍式。 否则，则称f(x)不整除g(x),记作f(x) g(x).,注： 1.f(x)|g(x)不能写作f(x)/g(x),以免与分式混淆。 2.整除性不是多项式的运算，它只是Fx元素间的一种关系。 3.若f(x)|g(x),则(f(x) (g(

2、x) 4.若f(x) g（x），则对任意h(x)Fx, g(x)=f(x)h(x)均不成立。,问题： 1。零多项式能否整除零多项式？ 2。任意非零多项式能否整除零多项式？ 3。零多项式能否整除任意非零多项式？ 4。零次多项式能否整除任意多项式？ 5。零次多项式能否被任意多项式整除？,分析： 1。因h(x) Fx,均有 0=0h(x) 成立， 故0|0有意义。,2。对0f(x)Fx, 不存在0h(x)F(x),使 0=f(x)h(x)成立。 欲使 0=f(x)h(x)成立， 只有 h(x)=0,3。 对0f(x)Fx, 不存在h(x) Fx,使 f(x) = 0 h(x)成立。,4。对f(x)F

3、x, 0 C F，均有 f(x)=C( f(x),5。 对 g(x)Fx,0 C F, 若存在h(x) Fx,使 C=g(x)h(x), 则g(x)与h(x)均为零多项 式。,结论： 1。零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2。零多项式能被任意多项式整除（即零多项式有任意多高次的因式）。 3。零次多项式只能被零次多项式整除。 4。零次多项式整除任一多项式。,多项式整除的基本性质,1。 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x). 证明：f(x)|g(x) h1(x) Fx 使 g(x)=f(x) h1(x) （1） g(x)|h(x) h2(x) Fx 使 h(x)=g

4、(x) h2(x) （2） 由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x) h2(x) 即 f(x)|h(x),2。如果h(x)|f(x),h(x)|g(x),那么 h(x)|(f(x) +g(x). 证明：h(x)|f(x) (x) Fx,使 f(x)=h(x) (x) （1） h(x)|g(x) (x) Fx,使 g(x)=h(x) (x) （2） 由（1），（2）得 f(x) +g(x)=h(x)(x) +(x) ) 即 h(x)|(f(x) +g(x).,注：此命题的逆命题不一定成立。 例1.令h(x)=x,g(x)=x -1,g(x)=x +1,有 h(x)|(f(x) +g(x)，

5、但h(x) f(x),h(x) g(x).,3。如果h(x)|f(x),那么g(x) Fx,均有 h(x)|f(x)g(x) 证明：h(x)|f(x) (x) F(x),使 f(x)= h(x)(x)，得 f(x)g(x) =h(x)(x)g(x),即 h(x)|f(x)g(x) 注：此命题逆命题不一定成立。,例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2) ,f(x)=(x-3) . 有h(x)|f(x)g(x),但h(x) g(x)且h(x) f(x). 4。若h(x)|f2(x),(i=1,2,，t),那么 gi(x) Fx,(i=1,2,，t),有 h(x)|(f1(x)g

6、1(x) + f2(x)g2(x) + + fi(x)gi(x) ) 5。每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，其中0 c F. 证明：由f(x)= (cf(x),可得。,注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x),其中c F. 2。g(x)|f(x) g(x)|cf(x). (c F) g(x)|f(x) cg(x)|f(x). (0 c F) 即：f(x)与cf(x) (c F)有相同的因式。 f(x)与cf(x) (0 c F)有相同的倍式。,6。若f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中 0 c F. 证明：由f(x)|g(x) (x) Fx,使

7、g(x)=f(x) (x) （1） 由g(x)|f(x) (x) Fx,使 f(x)=g(x) (x) （2） 由（1），（2）得：f(x)=f(x) (x) (x) 若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x). 若f(x)=0,则由（1）知(x) (x)=1，于是， （(x) (x)）=0，从而（(x)）=0， （ (x)）=0，令 (x)=c,(0 c F),则有：f(x)=cg(x). 说明：若f(x)与g(x)均有首项系数为1的多项式，则有c=1,f(x)=g(x).从而可用此性质判定两首项系数为1的多项式是否相等。,带余除法定理 定理2.2.1.设f(x)和g(

8、x)是Fx的任意两个多项式，并且g(x) 0,那么在Fx中可以找到多项式g(x)和r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) （*） 这里或者r(x)=0,或者 (r(x) (g(x). 满足以上条件的多项式q(x)和r(x)只有一对，此时分别称为f(x)除以g(x)的商式与余式。,证明：先证定理的前一部分。 若f(x)=0或（f(x)）m,令有 f1(x)=f(x)- b0-1 a0 xn-m g(x).,则f1(x)=0或（f1(x)）（g(x)）,令,F2 (x)= F1 (x)- b0-1 a10 xn1-m g(x) 其中b10是f1 (x)的首次系数。则f2 (x)=0或者

9、 （f2(x)） （ f2 (x) （ f3 (x) ） 最后一定存在fk(x): fk(x)= fk-1(x)-b0-1 ak-1,0 xnk-1-m g(x) 而fk(x)=0或（ fk (x)）m,于是有等式：,f(x)-b0-1a0 xn-mg(x)=f1(x), f1(x)-b0-1a10 xn1-mg(x)=f2(x), fk-1(x)-b0-1ak-1,0 xnk-1-mg(x)=fk(x),. 相加得： f(x)=b0-1a0 xn-m+b0-1a10 xn1-m+b0-1ak-1,0 xnk-1-m 令g(x)=b0-1a0 xn-m+b0-1 a10 xn1-m+b0-1 ak-1,0 xnk-1-m r(x)=f(x). 满足等式（*）且或者r(x)=0,或者 （r(x)(g(x). 下证唯一性。,假设存在 使 .(3) 且 或者 由（3），（*）得,若是 那么， 这时等式右边的次数将小于g(x)的次数，而等式左边的次数将不小于g(x)的次数，这是不可能的。因此必有： 因而 即,说